2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
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2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质

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时间:2022-08-16

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资料简介
第三课时直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质(一)教学目标1.知识与技能(1)使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理;(2)能运用性质定理解决一些简单问题;(3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.2.过程与方法(1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识;3.情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.(二)教学重点、难点两个性质定理的证明.(三)教学方法学生依据已有知识和方法,在教师指导下,自主地完成定理的证明、问题的转化.教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题1:判定直线和平面垂直的方法有几种?问题2:若一条直线和一个平面垂直,可得到什么结论?若两条直线与同一个平面垂直呢?师投影问题.学生思考、讨论问题,教师点出主题复习巩固以旧带新探索新知一、直线与平面垂直的性质定理1.问题:已知直线a、b和平面,如果,那么直线a、b一定平行吗?已知求证:b∥a.证明:假定b不平行于a,设=0b′是经过O与直线a平行的直线∵a∥b′,∴b′⊥a即经过同一点O的两线b、b′都与垂直这是不可能的,因此b∥a.2.直线与平面垂直的性质定理生:借助长方体模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间相互平行,所以结论成立.师:怎么证明呢?由于无法把两条直线a、b归入到一个平面内,故无法应用平行直线的判定知识,也无法应用公理4,有这种情况下,我们采用“反证法”师生边分析边板书.借助模型教学,培养几何直观能力.,反证法证题是一个难点,采用以教师为主,能起到一个示范作用,并提高上课效率. 垂直于同一个平面的两条直线平行简化为:线面垂直线线平行探索新知二、平面与平面平行的性质定理1.问题黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?2.例1设,=CD,,AB⊥CD,AB⊥CD=B求证AB证明:在内引直线BE⊥CD,垂足为B,则∠ABE是二面角的平面角.由知,AB⊥BE,又AB⊥CD,BE与CD是内的两条相交直线,所以AB⊥3.平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直简记为:面面垂直线面垂直.教师投影问题,学生思考、观察、讨论,然后回答问题生:借助长方体模型,在长方体ABCD–A′B′C′D′中,面A′ADD′⊥面ABCD,A′A⊥AD,AB⊥A′A∵∴A′A⊥面ABCD故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可.师:证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直,现AB⊥CD,需找一条直线与AB垂直,有条件还没有用,能否利用构造一条直线与AB垂直呢?生:在面内过B作BE⊥CD即可.师:为什么呢?学生分析,教师板书本例题的难点是构造辅助线,采用分析综合法能较好地解决这个问题.典例分析例2师投影例2并读题 如图,已知平面,,直线a满足,,试判断直线a与平面的位置关系.解:在内作垂直于与交线的直线b,因为,所以因为,所以a∥b.又因为,所以a∥.即直线a与平面平行.例3设平面⊥平面,点P作平面的垂线a,试判断直线a与平面的位置关系?证明:如图,设=c,过点P在平面内作直线b⊥c,根据平面与平面垂直的性质定理有.因为过一点有且只有一条直线与平面垂直,所以直线a与直线b垂合,因此.生:平行师:证明线面平行一般策略是什么?生:转证线线平行师:假设内一条直线b∥a则b与的位置关系如何?生:垂直师:已知,怎样作直线b?生:在内作b垂直于、的交线即可.学生写出证明过程,教师投影.师投影例3并读题,师生共同分析思路,完成证题过程,然后教师给予评注.师:利用“同一法”证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下,所采用的一种数学方法,这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线不易想到,二是证直线b与直线a重合,相对容易一些,本题注意要分类讨论,其结论也可作性质用.巩固所学知识,训练化归能力.巩固所学知识,训练分类思想化归能力及思维的灵活性.随堂练习1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”错误的画“×”.(1)a.垂直于同一条直线的两个平面互相平行.(√)b.垂直于同一个平面的两条直线互相平行.(√)c.一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直.(√)(2)已知直线a,b和平面学生独立完成巩固、所学知识 ,且a⊥b,a⊥,则b与的位置关系是.答案:b∥或b.2.(1)下列命题中错误的是(A)A.如果平面⊥平面,那么平面内所有直线垂直于平面.B.如果平面⊥平面,那么平面内一定存在直线平行于平面.C.如果平面不垂直平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面.D.如果平面⊥平面,平面⊥平面,,那么.(2)已知两个平面垂直,下列命题(B)①一个平面内已积压直线必垂直于另一平面内的任意一条直线.②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数是()A.3B.2C.1D.03.设直线a,b分别在正方体ABCD–A′B′C′D′ 中两个不同的面所在平面内,欲使a∥b,a,b应满足什么条件?答案:不相交,不异面4.已知平面,,直线a,且,,a∥,a⊥AB,试判断直线a与直线的位置关系.答案:平行、相交或在平面内归纳总结1.直线和平面垂直的性质2.平面和平面垂直的性质3.面面垂直线面垂直线线垂直学生归纳总结,教材再补充完善.回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力.课后作业2.3第三课时习案学生独立完成固化知识提升能力备选例题例1把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面,另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直,a是内一条直线,若斜边AB与a垂直,则BC是否与a垂直?【解析】【评析】若BC与垂直,同理可得AB与也垂直,其实质是三垂线定理及逆定理,证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法:“线线垂直→线面垂直→线线垂直”.例2求证:如果两个平面都垂直于第三个平面,则它们的交线垂直于第三个平面.已知⊥r,⊥r,∩=l,求证:l⊥r.【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面、垂直.或由面面垂直的性质易在、内作出平面r的垂线,再设法证明l 与其平行即可.【证明】法一:如图,设∩r=a,∩r=b,在r内任取一点P.过点P在r内作直线m⊥a,n⊥b.∵⊥r,⊥r,∴m⊥a,n⊥(面面垂直的性质).又∩=l,∴l⊥m,l⊥n.又m∩n=P,m,nr∴l⊥r.法二:如图,设∩r=a,∩r=b,在内作m⊥a,在内作n⊥b.∵⊥r,⊥r,∴m⊥r,n⊥r.∴m∥n,又n,m,∴m∥,又∩=l,m,∴m∥l,又m⊥r,∴l⊥r.【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键.证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化;证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化.此题是线线、面面垂直转化的典型题,通过一题多解,对沟通知识和方法,开拓解题思路是有益的.

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