第9章9.3直线、平面垂直的判定与性质

1第三课时第九章立体几何直线、平面垂直的判定与性质 21.直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的_________直线都垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直.2.直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的__________直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.两条相交任意一条 33.直线和平面垂直的性质若a⊥α，bα，则_________；若a⊥α，b⊥α，则_________；若a⊥α，a⊥β，则________.过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.4.平面与平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角为________，就这两个平面垂直.a⊥ba∥bα∥β90° 45.两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的_______,则这两个平面垂直.6.两平面垂直的性质定理：若两个平面垂直，则一个平面内_______________的直线与另一个平面垂直.垂线垂直于交线 57.点到平面的距离：过一点作平面的垂线,____________________叫做点到平面的距离.8.直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上______________到这个平面的距离叫做直线到平面的距离.任意一点点与垂足间线段的长度 61.下列命题中正确的个数是()①垂直于同一条直线的两个平面互相平行;②垂直于同一个平面的两条直线互相平行;③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.A.0B.1C.2D.3D 72.已知直线l⊥平面α，直线mβ.有下列四个命题：①α∥βl⊥m；②α⊥βl⊥m；③l∥mα⊥β；④l⊥mα∥β.其中正确的命题是()A.①②B.③④C.②④D.①③D 8①对，因为l⊥平面α，α∥β，所以l⊥β.又mβ，所以l⊥m；②错，因为l可以和m平行；③对，因为l⊥平面α,l∥m，所以m⊥α.又mβ，所以α⊥β；④错，因为α、β还可以相交.故选D. 93.如果直线l是平面α的斜线，那么在平面α内（）A.不存在与l平行的直线B.不存在与l垂直的直线C.与l垂直的直线只有一条D.与l平行的直线有无数多条A 104.如图，直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于点A和点B的任意一点.有下列四个结论：①PC⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PA⊥BC.其中不正确的是.③ 11依题意,∠ACB=90°,即BC⊥AC.又PA⊥底面ABC，所以PA⊥BC.而PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC.综上得①②④正确.假设③正确,则因为AC⊥PB,AC⊥BC,所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥PC.显然，这与由PA⊥底面ABC，得PA⊥AC矛盾.故不正确的结论是③. 125.如图，等腰Rt△ABC沿其斜边AB上的高CD对折，使△ACD与△BCD所在平面垂直，则∠ACB=_________.连接AB.由平面ACD⊥平面BCD，易知∠ADB=90°，且AD=DB，所以AB=AD.又△ADC与△BDC均为等腰直角三角形，所以AC=BC=AD，所以△ABC为等边三角形，所以∠ACB=60°.60° 131.直线与平面垂直的判定与性质(1)已知直线a,b和平面α，判断下列命题是否正确.①若a∥b,a⊥α,则b⊥α;()②若a⊥α,b⊥α，则a∥b;()③若a⊥α,a⊥b,则b∥α;()④若a∥α,a⊥b,则b⊥α.()√√×× 14(2)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，体对角线AC1与面对角线BD的位置关系是_________.(3)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，则四个侧面中直角三角形的个数为__.垂直4 152.面面垂直的判定与性质(1)过平面α外的一条直线，且与平面α垂直的平面有()A.一个B.无数个C.不存在D.一个或无数个(2)已知两平面α,β满足α⊥β，直线aα，则直线a与平面β的位置关系是()A.a⊥βB.a∥βC.a⊥β或a∥βD.以上都不对DD 16题型1：线线、线面、面面垂直关系的综合问题若l、m为两条不重合的直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面5个命题：①α⊥γ,β⊥γα⊥β；②α⊥γ,β∥γα⊥β；③l∥α,l⊥βα⊥β；④m∥l,m⊥α,l⊥βα⊥β; 17其中正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个命题①不正确.由α⊥γ,β⊥γ,则α与β可能相交或平行；命题②正确.因为α⊥γ，所以在α内必定可以作一条直线a垂直于两平面的交线，所以a⊥γ.又β∥γ，所以a⊥β.而aα，故α⊥β成立.B 18命题③正确.由l∥α，知过l作平面γ与α相交于直线m，则l∥m,mα.又因为l⊥β,所以m⊥β,从而α⊥β成立.命题④不正确.因为m∥l,m⊥α,所以l⊥α.又l⊥β，所以α∥β.综上，只有②③正确,故选B. 19【评注】跟平行问题一样，本题主要考查线线、线面、面面的垂直问题.高考几乎年年都单独考查学生对线面、面面垂直的判定定理和性质定理的理解，考查学生对符号语言、图形语言、文字语言熟练转换的能力.以选择题、填空题居多，既可能就平行或垂直单独进行考查，又可能在平行中渗透垂直，垂直中兼顾平行，既考查空间想象能力，又考查逻辑推理能力. 20设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是()A.m⊥α,nβ,m⊥nα⊥βB.α∥β,m⊥α,n∥βm⊥nC.α⊥β,m⊥α,n∥βm⊥nD.α⊥β,α∩β=m,n⊥mn⊥βB 21A错，由m⊥α,nβ,m⊥nα,β相交或平行；B对，因为由α∥β,m⊥αm⊥β，又n∥β，所以m⊥n;C错，m,n垂直、相交、异面均有可能;D错，只有当nα时才会有n⊥β.综上，选B. 22题型2：线面垂直的定义、判定定理和性质定理及其应用如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE. 23(1)在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故PA⊥CD.又因为AC⊥CD，PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得△ABC是等边三角形，故AC=PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC. 24由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，所以AE⊥PD.又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.由已知得AB⊥AD，且PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD.又PD平面PAD，所以AB⊥PD.因为AB∩AE=A，所以PD⊥平面ABE. 25【评注】本题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.立体几何的证明关键是学会分析和掌握一些常规的证明方法.如：已知中点证明垂直时要首先考虑等腰三角形中的“三线合一”；已知线段或角度等数量关系较多时最好标示出来，充分进行计算，从而发现蕴含的垂直等关系；已知线面垂直时会有哪些结论，是选择线线垂直还是选择面面垂直；要证明结论或要得到哪个结论，就必须满足什么条件等. 26在四棱锥S-ABCD中,侧棱SA=SB=SC=SD,底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点.（1）求证：AC⊥平面SBD；（2）若E为BC的中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的转迹，并证明你的结论. 27（1）证明：连接SO.因为底面ABCD为菱形，O为中心，所以AC⊥BD.又SA=SC，O为AC的中点，所以AC⊥SO.因为BD∩SO=O，所以AC⊥平面SBD. 28（2）取棱SC的中点M，CD的中点N，连接MN，则动点P的轨迹即是线段MN.证明：连接EM，EN.因为E是BC的中点，M是SC的中点，所以EM∥SB.同理，EN∥BD.因为AC⊥平面SBD，AC⊥SB，所以AC⊥EM.又AC⊥BD，所以AC⊥EN.因为EM∩EN=E，所以AC⊥平面EMN.因此，当点P在线段MN上运动时，总有AC⊥EP. 29题型3：面面垂直的定义、判定定理和性质定理及其应用如下图，已知平面α、β、γ满足α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,求证：l⊥γ. 30证法1：设α∩γ=AB,β∩γ=BC,如图所示.在γ内任取一点P，过P作直线m,n分别垂直于直线AB，BC.因为α⊥γ,β⊥γ，所以m⊥α,n⊥β.又α∩β=l,所以lα且lβ,所以m⊥l,n⊥l.而m∩n=P,所以l⊥γ.证明 31证法2：设α∩γ=AB,β∩γ=BC,如图所示.在α、β内分别作直线a、b,使得a⊥AB,b⊥BC.由面面垂直的性质定理得a⊥γ,b⊥γ.所以a∥b，且aβ,bβ.由线面平行的判定定理得a∥β.又因为aα,α∩β=l，故由线面平行的性质定理得a∥l.综上有a⊥γ,a∥l，所以l⊥γ. 32【评注】本题是人教版必修2中73页的习题，题目文字少，但有一定难度.只有真正对面面垂直的性质定理熟练掌握后才能得心应手.面面垂直的性质定理的关键是“垂直于交线，则垂直于平面”，所以已知面面垂直，首先应找交线，看是否在某个平面内存在直线垂直于交线，若无，肯定要向交线作垂线.在不同平面内向交线作垂线都能解决问题，但难度显然不同，做题前应认真分析.本题的证法1虽简单，但证法2将平行和垂直的位置关系的判定和性质考查得淋漓尽致，不失为一个训练的好题. 33（2009·茂名二模）如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6.将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.（1）求证：BC⊥A1D；（2）求证：平面A1BC⊥平面A1BD；（3）求三棱锥A1-BCD的体积. 34（1）证明：因为A1在平面BCD上的射影O在CD上，所以A1O⊥平面BCD.又BC平面BCD，所以BC⊥A1O.因为BC⊥CO，A1O∩CO=O，所以BC⊥平面A1CD.而A1D平面A1CD，所以BC⊥A1D. 35（2）证明：因为四边形ABCD为矩形，所以A1D⊥A1B.由（1）知A1D⊥BC，又A1B∩BC=B，所以A1D⊥平面A1BC.而A1D平面A1BD，所以平面A1BC⊥平面A1BD.（3）因为A1D⊥平面A1BC，所以A1D⊥A1C.因为A1D=6，CD=10，所以A1C=8，所以 36证明线线、线面、面面平行或垂直时需要注意以下几点：(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找解题思路.(2)利用题设条件添加适当的辅助线或辅助面是解题的常用方法之一.例如：证明平行时遇到中点要设法构造中位线或平行四边形，而证明垂直时则要构造等腰三角形的中线、高线、角平分线三线合一；证明线面、面面垂直时要注意条件的充分性，已知线面垂直或面面垂直时要用好性质，构造适当的辅助面. 371.新教材中删去了三垂线定理，用传统方法求角和距离的要求也相当低，教学中不要过分强调.但是必须明确斜线、垂线、以及斜线在平面内的射影之间的联系，会作出斜线在平面内的射影，从而为线线或线面垂直做好铺垫. 382.线面垂直的性质可以用来证明两条直线垂直和平行，也可以实现面面垂直的证明，因此线面垂直关系是线线垂直、线线平行、面面垂直的枢纽，进而是整个线面位置关系的核心.3.在线面垂直的定义中，一定要弄清楚“任意”与“无数”这两个术语内涵的差异，后者存在于前者中.“任意”的理解最终转化为“两条相交直线”，证明时此条件不可缺少. 394.面面垂直的性质的理解中三个条件也不可缺少，即：①两个平面垂直；②其中一个平面内的直线；③垂直于交线.所以无论何时见到已知两个平面垂直，都要首先找其交线，看是否存在直线垂直于交线来决定是否该作辅助线，这样就能目标明确，事半功倍. 405.注意充分利用好身边的物体进行比划和举反例，如将教室当成六面体，将书桌、课本、纸张当成平面，笔当成直线等，这些方法依然是解决空间线面位置关系的最佳方法. 411.（2009·广东卷）给出下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 42③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是（）A.①②B.②③C.③④D.②④D 432.（2009·福建卷）如图，平行四边形ABCD中,∠DAB=60°，AB=2,AD=4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.（1）求证：AB⊥DE;（2）求三棱锥E-ABD的侧面积. 44（1）证明:在△ABD中，因为AB=2,AD=4,∠DAB=60°，所以所以AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD.又因为平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,AB平面ABD,所以AB⊥平面EBD.因为DE平面EBD,所以AB⊥DE. 45（2）由（1）知AB⊥BD.因为CD∥AB,所以CD⊥BD，从而DE⊥BD.在Rt△DBE中，因为DB=,DE=DC=AB=2,所以S△DBE=DB·DE=.又因为AB⊥平面EBD,BE平面EBD，所以AB⊥BE. 46因为BE=BC=AD=4,所以S△ABE=AB·BE=4.因为DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD,所以ED⊥平面ABD.而AD平面ABD,所以ED⊥AD，所以S△ADE＝AD·DE=4.综上，三棱锥E-ABD的侧面积S=8+. 47试题透析和平行关系一样，空间的线面垂直关系的定义、判定与性质，同样是立体几何的核心内容.将平行和垂直问题混合在一起的试题，几乎年年都有，一般还是以选择、填空题为主，主要目的是考查文字语言、符号语言和图形语言三种语言的相互转化，考查学生对定理的理解和熟练掌握程度，考查学生空间想象能力、推理论证能力和动手实践能力. 48解答题中对线面垂直的证明几乎年年都考，有时还考查学生作出适当辅助线的能力.关于体积和高的问题，如果不考虑用等体积法，就必须先作出高，并证明线面垂直，再转化为相应的解三角形问题.