第4单元指数函数与对数函数（强化篇）基础知识讲解1．分段函数的解析式求法及其图象的作法【基础知识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．2．函数单调性的性质与判断【基础知识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2
时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【技巧方法】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论3．复合函数的单调性【基础知识】复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．【技巧方法】求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：
（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．4．奇函数、偶函数【奇函数】如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．【技巧方法】①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x【偶函数】如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【技巧方法】①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
5．函数奇偶性的性质与判断【基础知识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【技巧方法】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．6.函数解析式的求解及常用方法【基础知识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等．7.幂函数的单调性、奇偶性及其应用【基础知识】1.幂函数定义：一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．（1）指数是常数；
（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是y＝xa，其中a是常数．8.幂函数的性质【基础知识】所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、图象都通过点（1，1）（0，0）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、图象都通过点（1，1）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．9.五个常用幂函数的图象和性质（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y＝；（5）y＝x﹣1
y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x﹣1定义域RRR[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）10.幂函数的奇偶性（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．11．函数最值的应用【基础知识】函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．【技巧方法】
这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．12．根据实际问题选择函数类型【基础知识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．【技巧方法】常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．习题演练
一．选择题（共12小题）1．若，则“且”是“且”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】因为且，所以根据同向正数不等式相乘得，根据同向不等式相加得，即成立，因此充分性成立；当时满足且，但不满足且，即必要性不成立；从而“且”是“且”的充分不必要条件，故选：A2．已知二次函数，满足：对任意实数，都有，且当时，有成立，又，则为（）A．1B．C．2D．0【答案】B【解析】由条件对任意实数x，都有f（x）≥x，知f（2）≥2成立∵当x∈（1，3）时，有成立，∴取x=2时，成立，∴f（2）=2．
∴4a+2b+c=2①∵f（－2）=0∴4a－2b+c=0②由①②可得，∴4a+c=2b=1，∴b=，故选B．3．已知函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时,因为，所以，即;当时0，即;当时，，由图可知;综上的取值范围是，故选：D.
4．函数的图象A．关于原点对称B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称【答案】D【解析】，因为，所以为偶函数．所以的图象关于y轴对称．故选D.5．函数的单调递增区间是A．B．C．D．【答案】D【解析】由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=，则y=lnt，
∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；x∈(4,+∞)时,t=为增函数；y=lnt为增函数，故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.6．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即.本题选择C选项.7．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式，即，解得，内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，而外层函数在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数的单调递增区间为，由于函数在区间上单调递增，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.8．已知函数则（）A．对任意实数，方程无解B．存在实数，方程有2个根C．存在实数，方程有3个根D．对任意实数，方程有1个根
【答案】B【解析】由题意，函数，作出函数的图象，如图所示:设，则方程，即为，结合图象，可得①当时，此时方程有两个根，其中，此时方程有1个根或2个根；②当时，此时方程有两个根，此时方程没有实数根；③当时，此时方程只有一个根，其中，此时方程没有实数根；④当时，此时方程没有实数根，此时方程没有实数根.综合可得，存在实数，方程有2个根.故选：B.
9．已知函数为一次函数，若，有，当时，函数的最大值与最小值之和是（）A．10B．8C．7D．6【答案】D【解析】由题意，设一次函数，因为，可得，解得，所以，故的图象关于对称，又设，可得函数为单调递增函数，且，即，所以是奇函数，则，则，，所以即为的最大值与最小值之和6.故选：D.10．在直角坐标系中，函数的图象大致是（）
A．B．C．D．【答案】A【解析】令，，为奇函数可排除B，当时，，且，故选：A.11．若，，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于函数在上是增函数，则由基本不等式可得
因此，12．方程的解所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数与的上都是递增函数，所以在上单调递增，故函数最多有一个零点，而，，根据零点存在定理可知，有一个零点，且该零点处在区间内，故选答案C.一．填空题（共6小题）13．已知函数，则函数的所有零点所构成的集合为________.【答案】【解析】令，由，即或，解得或，当时，解得或；当由，解得，即函数的所有零点所构成的集合为.故答案为：.
14．已知，则________．【答案】【解析】解：因为，所以，，．故答案为：.15．已知函数，，则________．【答案】【解析】因为，，且，则.故答案为-216．已知函数若，是互不相同的正数，且，则的取值范围是_____．【答案】【解析】
先画出函数的图象，如图所示：因为互不相同，不妨设，且，而，即有，可得，则，由，且，可得，且，当时，，此时，但此时b，c相等，故的范围为．故答案为．17．已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数解，且最小实数解为，则的值为______．【答案】【解析】由题意，作出函数图象，如图所示：令，根据图象可知，
关于x的方程有6个不同的实数解，可转化为关于t的方程有2个不同的实数解，且必有一个解为0，另一个解大于0，所以．则，解为，．所以，即．所以．故答案为：．18．已知函数为奇函数，且的图象和函数的图象交于不同两点、，若线段的中点落在直线上，则实数的值为______.【答案】【解析】为奇函数，，即，解得，
经检验为奇函数，设，联立两个函数的方程，消去得到关于的二次方程，，因为中点纵坐标为，所以，，解得.故答案为：.三．解析题（共6小题）19．已知函数，且，．（1）求，的值．（2）判断的奇偶性．（3）试判断函数在上的单调性，并证明．（4）求函数的最小值．【答案】（1）；（2）为偶函数；（3）在上为减函数，证明见解析；（4）2.【解析】
解：（1）由已知，得，解得．（2）由（1）可知．任取，则，又的定义域为，所以为偶函数．（3）在上为减函数，证明如下：任取，且，则．因为，且，所以，从而，，，故，即.所以函数在上为减函数．（4）因为在上为减函数，且为偶函数，所以在上是增函数，所以当时，．又因为在上为减函数，所以当时，，从而对于任意的，都有，所以的最小值为2．20．已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求，的值；（2）用定义证明在上为减函数；（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围．【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.【解析】解：（1）为上的奇函数，，可得又（1），解之得经检验当且时，，满足是奇函数．（2）由（1）得，任取实数、，且则，可得，且，即，函数在上为减函数；（3）根据（1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数．不等式恒成立，即也就是：对任意的都成立．
变量分离，得对任意的都成立，，当时有最小值为，即的范围是．21．（1）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上，求不等式的解集；（2）已知，求函数的最大值和最小值.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由题意知定点A的坐标为，∴解得.∴.∴由得，.∴.∴.∴.∴不等式的解集为.（2）由得令，则，
.∴当，即，时，，当，即，时，.22．若函数f(x)满足f(logax)＝·(x－)(其中a＞0且a≠1).(1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．【答案】（1）见解析．（2）[2－，1)∪(1,2＋]．【解析】(1)令logax＝t(t∈R)，则x＝at，∴f(t)＝(at－a－t)．∴f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)．∵f(－x)＝(a－x－ax)＝－(ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且＞0，∴f(x)为增函数．当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且＜0，∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数．(2)∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数．
由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，只需f(2)－4≤0，即(a2－a－2)≤4.∴()≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，∴2－≤a≤2＋.又a≠1，∴a的取值范围为[2－，1)∪(1,2＋]．23．已知函数，.（1）若在区间上单调递增，求m的取值范围；（2）求在区间上的最小值；（3）讨论在区间上的零点个数.【答案】（1）；（2）；（3）当时，函数有2个零点，当或时，函数有1个零点.【解析】（1）由题意，函数开口向上，对称轴的方程为，若使得函数在上单调递增，则满足，解得，即实数m的取值范围.（2）①当即时，函数在区间单调递增，所以函数的最小值为；
②当，即时，函数在区间单调递减，在区间上单调递增，所以函数的最小值为；③当即时，函数在区间单调递减，所以函数的最小值为，综上可得，函数的最小值为.（3）因为函数的对称轴方程为，且恒成立，①当，即时，函数在区间上有2个零点；②当，此时m不存在；③当，此时m不存在；④当，即，解得或时，函数在区间上有1个零点.
综上可得：当时，函数在区间上有2个零点，当或时，函数在区间上有1个零点.24．设为实数，函数.（I）若，求实数的取值范围；（II）当时，讨论方程在上的解的个数.【答案】（I）；（II）2个.【解析】（I）因为，即，当时，不等式为恒成立，满足条件，当时，不等式为，解得，综上所述的取值范围是.（II）由题意，函数，可得当时，函数的对称轴方程为；当时，函数的对称轴方程为；当时，函数的对称轴方程为，所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
因为，又由，所以在上单调递减，所以，所以在和上各有一个零点，综上所述时，函数在上有两个解.
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