空间两条直线之间的位置关系课件

空间两直线的位置关系1 复习：平面内两条直线的位置关系相交直线平行直线相交直线（有一个公共点）平行直线（无公共点）aboab观察实例 立交桥既不平行，又不相交 定义1:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。注：概念应理解为:“经过这两条直线无法作出一个平面”.或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”．一、异面直线: 在正方体A1B1C1D1-ABCD中，说出下列各对线段的位置关系ABCDA1B1C1D1（1）AB和C1D1；（2）A1C1和AC；（3）A1C和D1B：（4）AB和CC1；（5）BD1和A1C1； 2.异面直线的画法说明:画异面直线时,为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.如图：aabaAbb(1)(3)(2) a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abM答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？abab思考 按是否在同一平面内分同在一个平面内相交直线平行直线不同在任何一个平面内:异面直线有一个公共点:按公共点个数分相交直线无公共点平行直线异面直线空间直线与直线之间的位置关系 (1)在如图所示的正方体中，指出哪些棱所在的直线与直线BA1是异面直线？ABCDA1B1D1C1 ⑵已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线相交吗？ABCDA1B1D1C1MN abced我们知道,在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?观察:将一张纸如图进行折叠,则各折痕及边a,b,c,d,e,…之间有何关系？a∥b∥c∥d∥e∥…公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．———平行线的传递性 例1如图，空间四边行ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.AHEFCBGD∵EH是△ABD的中位线∴EH∥BD且EH=BD同理，FG∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一个平行四边形证明：连结BD变式：如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？ 思考？在平面内，我们容易证明“如果一个角的两边与另一角的两边分别平行，那么这这两个角相或互补”.空间中，结论是否成立呢？ ABCA1B1C1等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.DD1EE1推论:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.等角定理思考：什么时候两角相等呢？ 例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.【证明】(1)在正方形ADD1A1中，M、M1分别为AD、A1D1的中点，∴MM1綊AA1.又∵AA1綊BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．公理4与等角定理的应用 (2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1.∴∠BMC＝∠B1M1C1. 【点评】空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补，因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的． 互动探究在本例中，若N1是D1C1的中点，求证：四边形M1N1CA是梯形． 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义:相交直线平行直线异面直线空间两直线的位置关系6.课堂小结公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．等角定理：异面直线的画法用平面来衬托 作业：P51A组5,6 空间两直线的位置关系2 如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作a,b的平行线a′和b′,abPa′b′O则这两条线所成的锐角θ（或直角），θ称为异面直线a，b所成的角.？Oa′若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直.异面直线a与b垂直也记作a⊥b.平移两条异面直线所成的角 如果两条异面直线所成的角为直角，那么就称这两条异面直线垂直。异面直线a和b所成的角的范围： 强调:1)范围2)与O的位置无关；3)为了方便点O选取应有利于解决问题可取特殊点(如a或b上)；4)找两条异面直线所成的角，要作平行移动(平行线)，把两条异面直线所成的角，转化为两条相交直线所成的角. 例1如图表示一个正方体:(1)求直线BA1与CC1的夹角的度数.(2)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？BACDA1B1C1D1典例剖析 求异面直线所成角的方法与步骤：方法：平移转化法或补形法步骤：（1）定位：在适当的位置上做出两异面直线所成的角（2）定形：构造一个以这个角为一内角的可解三角形（最好是直角三角形，以便解题）（3）定量：求出角的值并选取适当的角使其满足范围（0，] 例2:在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a，E、F分别是棱A’B’，B’C’的中点，求：①异面直线AD与EF所成角的大小；②异面直线B’C与EF所成角的大小；③异面直线B’D与EF所成角的大小.平移法OGAC∥A’C’∥EF,OG∥B’DB’D与EF所成的角即为AC与OG所成的角,即为∠AOG或其补角. 如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解答：(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其补角）为所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其补角）为所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60oABGFHEDC2练一练： 例3已知三棱锥A-BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．求异面直线所成的角 信息提炼 层层剖析根据三角形中位线推出平行关系，确定两组异面直线所成的角．由PM＝PN，首先确定△PMN为等腰三角形，以下要分类讨论．AB与MN所成的角有两个值，勿漏值． 练一练： 定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）小结：求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化归的数学思想。（2）补形法化归的一般步骤：定角定形定量