空间直线与直线的位置关系

教学目标 ［知识与技能］ 通过学习能知道空间直线的三种位置关系； 初步理解异面直线的概念，会判断两直线的异面关系，初步理解异面直线的衬托画法，初步理解异面直线所成角的概念，运用平移的方法求异面直线所成的角； 初步理解与运用公理4解决问题，初步了解等角定理． ［过程与方法］ 通过学习经历异面直线的概念的形成过程，借助平面的衬托，体会异面直线的直观画法，通过对等角定理的温故知新的探究，解决了异面直线的定义，并能求简单的异面直线所成的角；借助长方体的模型，发现与感知平行线的传递性质． ［情感、态度与价值观］ 经历师生的教与学的互动活动，让学生初步体会化归思想与空间想象能力的养成意义，通过学习让学生获得对空间直线的位置关系有一个清晰的认识，把问题交给学生解决，让学生自主发现问题与解决问题，养成独立思考的习惯． 重点、难点与关键点  重点：异面直线的概念、异面直线所成的角与简单角的求法；公理4的运用． 难点：异面直线概念的理解与求法． 关键点：异面直线的衬托画法，找异面直线的角． 教学准备：空间四边形模型、长方体模型，直线、平面教具，教学课件． 教学过程设计： 思考问题：空间直线与直线的位置关系有几种？ 设计意图：由教科书第44页“思考”中的问题，引起学生注意，诱发学生探知的欲望，养成思考问题的习惯． 师生活动：（虚拟）教师放课件图片，引导学生观察：日光灯所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系，让学生发现，直线与直线有既不平行又不相交的位置关系．我们今天上课的内容是： 板书：空间中直线与直线的位置关系 观察：如图2．1-13，长方体ABCD-A1B1C1D1中，线段A1B1所在直线与线段BC所在直线的位置关系如何？   （虚拟）学生：既不相交，又不平行．教师：这种关系我们定义为异面直线． 板书：1．异面直线的定义： 把不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线．（关键点：不同在任何一个平面内）． 概念辨析： 下列说法是否正确？请同学思考后回答： 如图，AD1平面，BC平面，问AD1，BC是否是异面关系。 教师：同学们要理解定义中关键词“不同在任何一个平面内”，虽然直线AD1，BC是不在同一底面上，但它们却在对角面A1BCD1内，因此，它们不是异面直线。 （虚拟）由学生归纳空间直线的位置关系有且仅有三种：  （幻灯片）： 2．空间直线的位置关系： 板书：  板书： 3．异面直线画法：（幻灯片给出图形及小标题）： （1）．一个平面衬托画法：        （2）．两个平面衬托画法：       动画设置：（教师与学生互动）（虚拟）把衬托平面移走，再看直线a与直线b的位置的异面关系是否直观？很显然，当把衬托平面移走后，异面直线很不明显，所以异面直线的平面衬托是很重要的，注意下列关键点：  强调关键点：1）．（一个平面衬托法）直线b与平面α交点在直线a外； 2）．（两个平面衬托法）直线a，b与棱都相交，且交点不重合． 师生活动：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥BB1，CC1∥BB1，那么AA1与CC1平行吗？  （虚拟互动）：由幻灯片闪烁AA1∥BB1，CC1∥BB1，再闪烁AA1∥CC1，由学生观察得到结论． 板书（幻灯片）： 4．公理4 平行于同一直线的两直线互相平行． 即若AA1∥BB1，CC1∥BB1，则AA1∥CC1． 教师与学生共同探出：公理是判断空间直线平行的依据；平行线的性质是具有传递性．  学以致用（1）： 例2如图2．1-17，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．  师生互动：（虚拟）教师先给学生观察空间四边形的教具，分析与回顾平行四边形定义，三角形中位线的性质，平行线与等式的传递性，要证明四边形是平行四边形，需要什么条件？请学生口述，教师写板书． （板书）：证明：连结BD，      ∵EH是△ABD的中位线， ∴EH∥BD，且EH=， 同理，FG∥BD，且FG=，  ∴ EH∥FG，且EH=FG， ∴ 四边形EFGH是平行四边形． 更上一层楼，变式探究：在例2中，若加条件AC=BD，那么四边形EFGH又是什么图形？  温故而知新：“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”．空间中，结论是否成立？教师提供图形，由学生在课后完成． 5．等角定理 完善体系：探究刻画异面直线的位置关系，引入异面直线所成的角的概念． 6．异面直线所成角的定义 引入：由幻灯片闪烁异面直线AA1和BC，B1D1和BC它们都是异面关系，但又有明显的区别，可以引入异面直线所成的角来刻画这种区别。  （幻灯片）：如图，已知两异面直线a，b，空间任取一点O，经过点O作直线∥，∥，把与所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角（或称夹角）．  特殊情形，若两异面直线成直角，则称两异面直线互相垂直，记作a⊥b． 教师与学生共同探讨，得到结论：异面直线所成的角可以通过平移变换，把异面直线成角化归成相交直线成角． 学以致用（2）：（由幻灯给出）  例3如图，已知正方体中．  （1）            哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ （2）            求棱和所成角； （3）            求和所成的角。 （虚拟互动）先由学生独立思考，再让学生举手发言，教师作补充、订正和结论（按三维方向或三对面分类进行分析）． 课堂练习 在例3中，直线和AC所成的角是多少？   课后思考： 1．若，，则直线和是异面直线；（  ） 2．如图，则直线和是异面直线；（ ）     3．若，，则∥．（ ） 教科书第48页练习 课堂小结  1.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线 2.空间两直线的位置关系 3.异面直线的画法：平面衬托 4.公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行 5．等角定理：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么它们相等或互补 6．异面角的求法：一作（找）二说三求。 课后练习： 1.举出你生活环境中异面直线的实例两例； 2.完成教科书第48页上练习； 3.第47页探究问题：如图2．1-18，观察长方体ABCD-A1B1C1D1中，   （1）有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线？ （2）如果两条平行直线中的一条与另一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？ （3）垂直于同一直线的两条直线是否垂直？ 设计意图：1．让学生养成借助长方体模型的判断问题的习惯；2．克服平面内两直线定势思维的影响． 课后研究： （用泡沫纸做成教具）图2．1-15是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有  对．   （互动）：由一名学生上台把（教具）展开图还原成正方体，二名学生上台画还原图；教师与学生共同归纳规律：1．选取一个正对面，然后确定左右两侧面，上下底面，最后定对面；2．这些线段都是面对角线． 板书设计． 空间中直线与直线的位置关系 1． 2．公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行 3．异面直线的画法 4． 例2证明：连结BD，  ∵EH是△ABD的中位线， ∴EH∥BD，且EH=，  同理，FG∥BD，且FG=， ∴ EH∥FG，且EH=FG， ∴ 四边形EFGH是平行四边形．