..空间直线与直线之间的位置关系
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..空间直线与直线之间的位置关系

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时间:2022-08-15

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资料简介
第二课时空间中直线与直线之间的位置关系(一)教学目标1.知识与技能(1)了解空间中两条直线的位置关系;(2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力;(3)理解并掌握公理4;(4)理解并掌握等角公理;(5)异面直线所成角的定义、范围及应用。2.过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3.情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣.(二)教学重点、难点重点:1、异面直线的概念;2、公理4及等角定理.难点:异面直线所成角的计算.(三)教学方法师生的共同讨论与讲授法相结合;教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题:在同一平面内,两条直线有几种位置关系?空间的两条直线还有没有其他位置关系?师投影问题,学生讨论回答生1:在同一平面内,两条直线的位置关系有:平行与相交.生2:空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系,如教室里的电灯线与墙角线……师(肯定):这种位置关系我们把它称为异面直线,这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.探索新知相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点1.空间的两条直线位置关系:共面直线异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.师:根据刚才的分析,空间的两条直线的位置关系有以下三种:①相交直线—有且仅有一个公共点②平行直线—在同一平面内,没有公共点.③异面直线—不同在任何一个平面内,没有公共点.随堂练习:现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类 如图所示P50-16是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.答案:4对,分别是HG与EF,AB与CD,AB与EF,AB与HG.生:按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类:一类是平行直线和相交直线,它们是共面直线.一类是异面直线,它们不同在任何一个平面内.师(肯定)所以异面直线的特征可说成“既不平行,也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”学生讨论发现不能去掉“任何”师:“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面,使两异面直线在该平面内”培养学生分类的能力,加深学生对空间的一条直线位置关系的理解(1)公理4,平行于同一条直线的两条直线互相平行(2)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补例2如图所示,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.证明:连接BD,因为EH是△ABD的中位线,所以EH∥BD,且.同理FG∥BD,且.因为EH∥FG,且EH=FG,所以四边形EFGH为平行四边形.师:现在请大家看一看我们的教室,找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.师:我们把上述规律作为本章的第4个公理.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.师:现在请大家思考公理4是否可以推广,它有什么作用.生:推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.师(肯定)下面我们来看一个例子观察图,在长方体ABCD–A′B′C′D′中,∠ADC与∠A′D′C′,∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?生:从图中可以看出,∠ADC=∠A′D′C′,∠ADC+∠A′B′C′=180°师:一般地,有以下定理:……这个定理可以用公理4证明,是公理4的一个推广,我们把它称为等角定理.培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.通过分析和引导,培养学生解题能力. 师打出投影片让学生尝试作图,在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师:在图中EH、FG有怎样的特点?它们有直接的联系吗?引导学生找出证明思路.探索新知3.异面直线所成的角(1)异面直线所成角的概念.已知两条异面直线a、b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b,记作a⊥b.例3如图,已知正方体ABCD–A′B′C′D′.(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线?(2)直线BA′和CC′的夹角是多少?(3)哪此棱所在的直线与直线AA′垂直?解:(1)由异面直线的定义可知,棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.(2)由BB′∥CC′可知,∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角,∠B′BA′=45°.(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.师讲述异面直线所成的角的定义,然后学生共同对定义进行分析,得出如下结论.①两条异面直线所成角的大小,是由这两条异面直线的相互位置决定的,与点O的位置选取无关;②两条异面直线所成的角;③因为点O可以任意选取,这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便,具体运用时,为了简便,我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上;④找出两条异面直线所成的角,要作平行移动(作平行线),把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角;⑤当两条异面直线所成的角是直线时,我们就说这两条异面直线互相垂直,异面直线a和b互相垂直,也记作a⊥b;⑥以后我们说两条直线互相垂直,这两条直线可能是相交的,也可能是不相交的,即有共面垂直,也有异面垂直这样两种情形.然后师生共同分析例题加深对平面直线所成角的理解,培养空间想象能图力和转化化归以能力.随堂练习1.填空题:学生独立完成答案:.2.(1)因为BC∥B′C′,所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与 (1)如图,AA′是长方体的一条棱,长方体中与AA′平行的棱共有条.(2)如果OA∥O′A′,OB∥O′B′,那么∠AOB和∠A′O′B′.答案:(1)3条.分别是BB′,CC′,DD′;(2)相等或互补.2.如图,已知长方体ABCD–A′B′C′D′中,AB=,AD=,AA′=2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度?(2)AA′和BC′所成的角是多少度?BC所成的角.在Rt△A′B′C′中,A′B′=,B′C′=,所以∠B′C′A′=45°.(2)因为AA′∥BB′,所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′所成的角.在Rt△BB′C′中,B′C′=AD=,BB′=AA′=2,所以BC′=4,∠B′BC′=60°.因此,异面直线AA′与BC′所成的角为60°.归纳总结1.空间中两条直线的位置关系.2.平行公理及等角定理.3.异面直线所成的角.学生归纳,教师点评并完善培养学生归纳总结能力,加深学生对知识的掌握,完善学生知识结构.作业2.1第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力附加例题例1“a、b为异面直线”是指:①a∩b=,且a∥b;②a面,b面,且a∩b=;③a面,b面,且∩=;④a面,b面;⑤不存在面,使a面,b面成立. 上述结论中,正确的是()A.①④⑤正确B.①③④正确C.仅②④正确D.仅①⑤正确【解析】①等价于a和b既不相交,又不平行,故a、b是异面直线;②等价于a、b不同在同一平面内,故a、b是异面直线.故选D例2如果异面直线a与b所成角为50°,P为空间一定点,则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有条.abAa′b′OPA′B′【解析】如图所示,过定点P作a、b的平行线a′、b′,因a、b成50°角,∴a′与b′也成50°角.过P作∠A′PB′的平分线,取较小的角有∠A′PO=∠B′PO=25°.∵∠APA′>A′PO,∴过P作直线l与a′、b′成30°角的直线有2条.例3空间四边形ABCD,已知AD=1,BD=,且AD⊥BC,对角线BD=,AC=,求AC和BD所成的角。【解析】取AB、AD、DC、BD中点为E、F、G、M,连EF、FG、GM、ME、EG.∥=∥=则MGEM∵AD⊥BC∴EM⊥MG在Rt△EMG中,有在RFG中,∵EF=∴EF2+FG2=EG2∴EF⊥FG,即AC⊥BD∴AC和BD所成角为90°. 【点评】根据异面直线成角的定义,异面直线所成角的求法通常采用平移直线,转化为相交直线所成角,注意角的范围是.

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