新教材高中数学人教版必修第一册:2.1《等式与不等式的性质》精品讲义(含解析)
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新教材高中数学人教版必修第一册:2.1《等式与不等式的性质》精品讲义(含解析)

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资料简介
2.1等式与不等式的性质思维导图 常见考法 考点一等式性质【例1】(2019·全国高一课时练习)下列变形中错误的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】D【解析】根据等式的性质易知A,B,C正确;对于D,当时,两边都除以无意义,故本选项错误.故选:D.【一隅三反】1.(2019·全国高一课时练习)根据等式的性质判断下列变形正确的是()A.如果,那么B.如果,那么C.如果,那么D.如果,那么【答案】D【解析】对于A,没有的条件,等式的两边不能都除以,故选项A不正确;对于B,等式的左边减去5,等式的右边乘以后加上5,等式不成立,故选项B不正确;对于C,等式的左边乘以2,等式的右边除以2,等式不成立,故选项C不正确;对于D,等式的两边都乘以 ,等式成立,故选项D正确.故选:D.2.(2019·全国高一课时练习)若,则下列变形正确的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】对于A,根据等式的性质,得,故该选项错误;对于B,根据等式的性质,得-,故该选项正确;对于C,根据等式的性质,得或,故该选项错误;对于D,根据等式的性质,得,故该选项错误.故选:B.考点二不等式性质【例2】(2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末)对于任意实数a,b,c,则下列四个命题:①若,,则;②若,则;③若,则;④若,则.其中正确命题的个数为()A.3B.2C.1D.0【答案】C【解析】时,若,则,①错误;若,则,②错误;若,则,∴,③正确;,若,仍然有,④错误.正确的只有1个.故选:C.本题考查不等式正误的判断,常用的判断方法有:不等式的基本性质、特殊值法以及比较法【一隅三反】1.(2020·上海高一开学考试)下列命题正确的是() A.若,则B.若,则C.若,,则D.若,,则【答案】C【解析】A.若,则,取不成立B.若,则,取不成立C.若,,则,正确D.若,,则,取不成立故答案选C2.(2020·全国高一开学考试)若、、为实数,则下列命题正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】B【解析】对于A选项,若,则,故A不成立;对于B选项,,在不等式同时乘以,得,另一方面在不等式两边同时乘以,得,,故B成立;对于选项C,在两边同时除以,可得,所以C不成立;对于选项D,令,,则有,,,所以D不成立.故选B.3.(2020·高一月考)下列结论正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】C【解析】对于A,取时,,则A错误;对于B,取时,,则B错误;对于C,因为,所以由不等式的性质可知,则C正确;对于D,取时,,则D错误;故选:C 考点三比较大小【例3】(2020·全国高一课时练习)已知a,b均为正实数,试利用作差法比较与的大小.【答案】【解析】∵.又a,b均为正实数,当时,;当时,,则.综上所述,.一.作差法、作商法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法.①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论.②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论.二.介值比较法也是比较大小的常用方法,其实质是不等式的传递性:若a>b,b>c,则a>c;若a<b,b<c,那么a<c.其中b是介于a与c之间的值,此种方法的关键是通过恰当的放缩,找出一个比较合适的中介值.三.比较大小时应注意:(1)比较代数式的大小通常采用作差法,如果含有根式,也可以先平方再作差,但此时一定要保证代数式大于零;(2)作差时应该对差式进行恒等变形(如配方、因式分解、有理化、通分等),直到能明显看出其正负号为止;【一隅三反】1.(2020·全国高一课时练习)已知,那么的大小关系是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由,则,所以,所以,故选C. 2.(2020·浙江高一课时练习)设,则的大小关系为().A.B.C.D.【答案】B【解析】,,,,.又,故.综上可得:.故选:.考点四代数式的取值范围【例4】(1)(2019·广东高考模拟(理))已知,,则的取值范围是(  )A.B.C.D.(2)(2019·浙江高一月考)已知实数,满足,,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】(1)C(2)B【解析】(1)令则,∴,又,…∴①,∴…②∴①②得.则.故选C. (2)令,,,则又,因此,故本题选B.代数式的取值范围的一般思路:(1)借助性质,转化为同向不等式相加进行解答;(2)借助所给条件整体使用,切不可随意拆分所给条件;(3)结合不等式的传递性进行求解【一隅三反】1.(2020·安徽金安.高一期中(文))已知二次函数的图象过原点,且,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】B【解析】二次函数的图像过原点,设二次函数为:,,,……①,……②,则3①+6②得:即,故选:B.2.(2020·山东济宁.高一月考)若,则的范围为_______________【答案】【解析】依题意可知,由于,由不等式的性质可知.故填:.3.(2019·全国高一课时练习)已知,,则的值为____________. 【答案】24【解析】由题得.故答案为:2考点五不等式证明【例5】(2020·全国高一课时练习)已知,,求证:.【答案】证明见解析.【解析】,因为,,所以,,故,即证:.【一隅三反】1.(2020·全国高一课时练习)证明不等式().【答案】证明见解析.【解析】证明:因为,所以,所以两边同除以4,即得,当且仅当时,取等号.2.(2020·全国高一课时练习)如果,,证明:.【答案】证明见解析.【解析】证明:由,,则,又,,则,又,故.3.(2020·全国高一)已知,.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)证明:.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析【解析】(Ⅰ)由a>b>c>d>0得a-d>b-c>0,即(a-d)2>(b-c)2, 由ad=bc得(a-d)2+4ad>(b-c)2+4bc,即(a+d)2>(b+c)2,故a+d>b+c.(Ⅱ).因为,所以,故.同理,.从而.即

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