2022年中考数学总复习第27讲《图形与变换(2)图形平移与旋转》讲解(含答案)

第2课时　图形平移与旋转1．图形的平移考试内容考试要求定义在平面内，将一个图形沿某个移动一定的，这样的图形运动称为平移．a性质1.对应线段____________________(或共线)且相等，对应点连线____________________且平行(或共线)；2．平移前后的图形形状和大小都没有发生变化(即两个图形)．c画平移图形　必须找出平移的方向和距离，其依据是平移的性质．2.图形的旋转考试内容考试要求定义在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度的图形运动称为旋转．这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角．a性质1.对应点到旋转中心的距离____________________；2．任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于____________________；3．旋转前后的图形．c旋转作图步骤(1)分析题目要求，找出旋转中心、旋转方向和旋转角；(2)分析所作图形，找出构成图形的关键点；(3)沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法， 作出各个关键点；(4)连结作出的各个关键点，并标上相应字母；(5)写出结论．考试内容考试要求基本思想运动变换思想，以局部带整体，先找出图形的关键点，进行图形变换．c1．如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′＝____________________.2．(·金华)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(－2，－2)，B(－4，－1)，C(－4，－4)．(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；(2)作出点A关于x轴的对称点A′，若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部(不包括顶点和边界)，求a的取值范围． 【问题】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点．(1)将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1；(2)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；(3)通过(1)、(2)作图，你认为利用旋转变换、平移变换作图要注意哪些？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理旋转变换、平移变换，以及利用旋转变换、平移变换作图．类型一　识别(画)图形的平移、旋转变换　(1)(·荆门)两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F.已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，则CF＝　　　　　　　　cm.【解后感悟】此题是旋转的性质以及直角三角形的性质，正确得出∠ AFC的度数是解题关键．(2)如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．①将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；②以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．【解后感悟】本题利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构是解题的关键．1．(1)(•永州)在等腰△ABC中，AB＝AC，则有BC边上的中线，高线和∠BAC的平分线重合于AD(如图1)．若将等腰△ABC的顶点A向右平行移动后，得到△A′BC(如图2)，那么，此时BC边上的中线、BC边上的高线和∠BA′C的平分线应依次分别是　　　　(填A′D、A′E、A′F)．(2)(•吉林模拟)在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)．①将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；②将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标． 类型二　网格、平面直角坐标系中的图形变换　如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形；(2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为(－2，－6)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形；(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．【解后感悟】本题是旋转的性质以及图形的平移等知识运用，根据题意得出对应点坐标是解题关键．2．(·温州模拟)如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上)．(1)把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；(3)如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过(1)、(2)变换的路径总长． 类型三　平移、旋转变换解决路径、面积等问题　(·丽水模拟)如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠的面积为32时，它移动的距离AA′等于________．【解后感悟】解决本题的关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．3．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC.把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，若AB＝2，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是　　　　　　　　　.(结果保留π)4．(·张家界)如图，在边长均为1的正方形网络纸上有一个△ABC，顶点A、B、C及点O均在格点上，请按要求完成以下操作或运算：(1)将△ABC向上平移4个单位，得到△A1B1C1(不写作法，但要标出字母)；(2)将△ABC绕点O旋转180°，得到△A2B2C2(不写作法，但要标出字母)；(3)求点A绕着点O旋转到点A2所经过的路径长． 【经验积累题】【提出问题】(1)如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)，连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN.求证：∠ABC＝∠ACN；【类比探究】(2)如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由；【拓展延伸】(3)如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)，连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．　　　　　　　　【方法与对策】这是一道从特殊到一般设置的题型，通过基础图形等边三角形到等腰三角形，步步深入设置问题，其实解决问题的策略也是从简单到复杂，即全等三角形到相似三角形解决问题，通过前面方法来解决后面问题， 在学习上是经验积累．这是中考热门题型．【考虑不全，出现漏解】如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小是________．参考答案第2课时　图形平移与旋转【考点概要】1．方向　距离　平行　相等　全等　2.相等　旋转角全等【考题体验】 1．5　2.(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；(2)∵点A′坐标为(－2，2)，由图可知，平移4个单位和6个单位时，刚好落在△A1B1C1的边界上，∴若要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的内部，即4＜a＜6.【知识引擎】【解析】(1)将点A、B、C分别向左平移6个单位长度，得出对应点，即可得出△A1B1C1.如图所示：△A1B1C1，即为所求；(2)将点A、B、C分别绕点O按逆时针方向旋转180°，得出对应点，即可得出△A2B2C2.如图所示：△A2B2C2，即为所求．(3)画平移图形，必须找出平移的方向、距离；画旋转图形，必须找出旋转中心、方向、角度．运用图形的平移和旋转，要根据已知得出对应点坐标是解题关键．【例题精析】例1　(1)∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，∴DC＝AC，∠D＝∠CAB，∴∠D＝∠DAC，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，∴∠D＝∠CAB＝60°，∴∠DCA＝60°，∴∠ACF＝30°，可得∠AFC＝90°，∵AB＝8cm，∴AC＝4cm，∴FC＝4cos30°＝2(cm)．故答案为：2.　(2)①平移后的三角形如图1；②如图2，旋转后的三角形如图所示．例2　(1)如图所示：△A1B1C即为所求；(2)如图所示：△A2B2C2 即为所求；(3)旋转中心坐标(0，－2)．例3　设AC交A′B′于H，∵∠A＝45°，∠D＝90°，∴△A′HA是等腰直角三角形，设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝12－x，∴x·(12－x)＝32，∴x＝4或8，即AA′＝4或8.【变式拓展】1．(1)A′D、A′F、A′E　(2)①如图，△A1B1C1即为所求；　②如图，△AB2C2即为所求，点B2(4，－2)，C2(1，－3)．2．(1)如图；　(2)如图；(3)BB1＝＝2；弧B1B2的长＝＝.点B所走的路径总长＝2＋π.　3.4．(1)△A1B1C1如图所示；　(2)△A2B2C2如图所示；(3)∵OA＝4，∠AOA2＝180°，∴点A绕着点O旋转到点A2所经过的路径长为＝4π. 【热点题型】【分析与解】(1)利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论．证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN(SAS)，∴∠ABC＝∠ACN.(2)也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和(1)的思路完全一样．解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN(SAS)，∴∠ABC＝∠ACN.(3)首先得出∠BAC＝∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到＝，根据∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，得到∠BAM＝∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论．结论：∠ABC＝∠ACN.理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴＝，又∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN.【错误警示】15°或165°①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，BE＝DF，∵AB＝AD，AE＝AF，∴△ABE≌△ADF(SSS)，∴∠BAE＝∠FAD.∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝30°，∴∠BAE＝∠FAD＝15°.②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时，如图2，∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，BE＝DF，AB＝AD，AE＝AF，∴△ABE≌△ADF(SSS)，∴∠BAE＝∠FAD，∵∠EAF＝60°，∴2∠BAE－∠EAF＋90°＝360°，∴∠BAE＝165°.故答案为15°或165°.图1　图2