2021年人教版高中数学高一上学期期末复习试题05（解析版）

人教版高中数学高一上学期期末复习试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.3.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值可求出的值．【详解】由诱导公式得，故选A．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算，考查诱导公式的应用，解题时熟悉“奇变偶不变，符号看象限”这个规律的应用，考查计算能力，属于基础题． 2.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接根据交集的含义进行运算．【详解】解：由，得，，解得，或，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，描述法表示集合时要注意代表元素，属于基础题．3.设命题，则命题的否定为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题，据此可得答案．【详解】解：∵命题是一个特称命题，它的否定是一个全称命题，∴命题的否定为，故选：B．【点睛】本题主要考查含一个量词的命题的否定，属于基础题． 4.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意得，解不等式即可．【详解】解：∵函数，∴，即，∴或，∴函数的定义域为，故选：D．【点睛】本题主要考查含根式和分式的函数的定义域，属于基础题．5.已知，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较详解】则．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．6.若与互为相反数，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】由题意得，再根据对数的运算性质可得答案．【详解】解：∵与互为相反数，∴，即，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．7.在中，，BC边上的高等于,则（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：设,故选C.考点：解三角形.【此处有视频，请去附件查看】8.若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是（）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】采用分离变量法，由方程的根与函数的零点的关系结合函数图象判断即可．【详解】解：∵函数，∴，不是函数的零点，∴当时，由得，令，则，令，则，，，函数在区间内恰有一个零点函数的图象与函数，的图象有且只有一个交点，由图可知，，故选：B．【点睛】本题主要考查函数零点个数问题，通常采用分离变量法，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列函数中是偶函数，且在上为增函数的有（） A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据偶函数的定义及增函数的定义，结合常见函数的性质对选项一一判断即可．【详解】解：函数是偶函数，但在上不单调，A不符合；函数是偶函数，开口向上的二次函数，对称轴为轴，在上为增函数，B符合；函数是奇函数，C不符合；函数是偶函数，当时，，在上为增函数，D符合；故选：BD．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判断，注意掌握常见基本初等函数的性质，属于基础题．10.已知函数，则（）A.函数的定义域为B.函数的图象关于轴对称C.函数在定义域上有最小值0D.函数在区间上是减函数【答案】AB【解析】【分析】求出函数和的解析式，再判断函数的定义域、奇偶性、借助复合函数的单调性与最值即可得出结论．【详解】解：∵，，∴，由且得，故A对；由得函数是偶函数，其图象关于轴对称，B对； ∵，∴，∵在上单调递减，由复合函数的单调性可知，当时，函数在上单调递增，有最小值；当时，函数在上单调递减，无最小值；故C错；∵，当时，在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增；故D错；故选：AB．【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的性质应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．11.如图，某湖泊的蓝藻的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法正确的是（）A.蓝藻面积每个月的增长率为B.蓝藻每个月增加的面积都相等C.第6个月时，蓝藻面积就会超过D.若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则一定有【答案】ACD【解析】【分析】 由函数图象经过可得函数解析式，再根据解析式逐一判断各选项即可．【详解】解：由图可知，函数图象经过，即，则，∴；∴不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为，A对、B错；当时，，C对；若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则，，，则，即，则，D对；故选：ACD．【点睛】本题主要考查指数函数的性质及指数的运算法则，属于基础题．12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数的最小正周期是B.函数是奇函数C.函数在区间上的最小值为D.函数的单调减区间是【答案】ACD【解析】【分析】化简函数的解析式，然后再一一判断．【详解】解：∵，∴最小正周期，A对； ，不是奇函数，B错；∵，∴，∴，∴，C对；由得，D对；故选：ACD．【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分成6000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于_________rad.【答案】【解析】【分析】根据周角为，结合新定义计算即可．【详解】解：∵圆周角为，∴1密位，∴60密位，故答案为：．【点睛】本题主要考查弧度制的应用，属于基础题．14.若不等式对任意恒成立，则实数取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】由不等式恒成立可得函数的图象始终在轴下方，从而得出结论．【详解】解：∵不等式对任意恒成立，∴函数的图象始终在轴下方， ∴，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，通常转化为最值问题，本题借助三个二次（二次函数、一元二次不等式、一元二次方程）之间的关系解题，考查数形结合，属于基础题．15.爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身体健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度，现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为，下山（原路返回）的速度为，乙上下山的速度都是（两人途中不停歇），则甲、乙两人上下山所用时间之比为：______；甲、乙两人上下山所用时间之和最少的是_______（填甲或乙）.【答案】(1).(2).乙【解析】【分析】设上山路程1，求出甲、乙两人上下山所用时间，再计算．【详解】解：设上山路程为1，则甲上下山所用时间为，乙上下山所用时间为，∴甲、乙两人上下山所用时间之比为；∵，∴，∴，即乙上下山所用时间之和最少；故答案为：；乙．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题． 16.已知函数,且，则________.【答案】【解析】【分析】由讨论求出，再求．【详解】解：当时，，故，则，∴，得，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查分段函数求值问题，考查对数的运算，属于基础题．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系中，锐角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为.（1）求和；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求，再根据同角的平方关系求；（2）由同角的商关系求出，再用二倍角公式的正切公式求．【详解】解：（1）由题意可知，，∵角为锐角，∴；（2）由（1）知， 则．【点睛】本题主要考查三角函数的定义，考查同角的三角函数关系，考查二倍角的正切公式，属于基础题．18.请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合.（1）求集合；（2）若是成立的______条件，判断实数是否存在？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1），（2）答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）解一元二次不等式即可求出集合；（2）选①，得集合是集合的真子集；选②，得集合是集合的真子集；选③，得集合等于集合；再求值．【详解】解：（1）由得，故集合，由得，因为，故集合；（2）若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合是集合的真子集，则有，解得，所以，实数的取值范围是．若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合的真子集，则有，解得，所以，实数的取值范围是． 若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合等于集合则有，方程组无解，所以，不存在满足条件的实数．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查充分条件与必要条件，考查集合间的包含关系与集合相等，属于基础题．19.为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：）的变化情况如下图所示，在药物释放的过程中，与成正比：药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，与之间的函数关系式.（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教空？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用函数图象经过点，分段讨论即可得出结论；（2）利用指数函数的单调性解不等式．【详解】解：（1）依题意，当时，可设，且，解得又由，解得， 所以；（2）令，即，得，解得，即至少需要经过后，学生才能回到教室．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查指数不等式的解法，属于中档题．20.已知函数f（x）=a﹣（a∈R）（Ⅰ）判断函数f（x）在R上的单调性，并用单调函数的定义证明；（Ⅱ）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析（2）a=1．【解析】试题分析：（1）定义域任取两个变量x1，x2，并设x1＜x2，作差f（x1）﹣f（x2），差式变形成分式，利用指数函数的单调性判断正负，进而得函数的单调性．（2）因为定义域为R，所以，解方程求得．利用奇函数定义证明．试题解析：（1）证明：函数f（x）定义域为R，对任意x1，x2∈R，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==．∵y=2x是R上的增函数，且x1＜x2，∴2x1﹣2x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0．即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）为R上的增函数；（2）解：若函数f（x）为奇函数，则f（0）=a﹣1=0，∴a=1．当a=1时，f（x）=1﹣．∴f（﹣x）==﹣f（x）， 此时f（x）为奇函数，满足题意，∴a=1．21.某自然资源探险组织试图穿越某峡谷，但峡谷内被某致命昆虫所侵扰，为了穿越这个峡谷，该探险组织进行了详细的调研，若每平方米的昆虫数量记为昆虫密度，调研发现，在这个峡谷中，昆虫密度是时间（单位：小时）的一个连续不间断的函数其函数表达式为，其中时间是午夜零点后的小时数，为常数.（1）求的值；（2）求出昆虫密度的最小值和出现最小值的时间；（3）若昆虫密度不超过1250只/平方米，则昆虫的侵扰是非致命性的，那么在一天24小时内哪些时间段，峡谷内昆虫出现非致命性的侵扰.【答案】（1）（2）昆虫密度的最小值为0，出现最小值的时间为和（3）至至【解析】【分析】（1）由题意得，解出即可；（2）将看成一个整体，将函数转化为二次函数，根据二次函数的单调性即可得出结论；（3）解不等式即可得出结论．【详解】解：（1）因为它是一个连续不间断函数，所以当时，得到，即；（2）当时，，，则当时，达到最小值0，，解得，所以在和时，昆虫密度达到最小值，最小值为0； （3）时，令，得，即，即，即，解得，，因为，令得，令得所以，所以，在至至内，峡谷内昆虫出现非致命性的侵扰．【点睛】本题主要考查分段函数在实际问题中的应用，同时考查了三角函数的应用，属于中档题．22.若函数满足下列条件：在定义域内存在使得成立，则称函数具有性质；反之若不存在，则称函数不具有性质.（1）证明函数具有性质，并求出对应的的值；（2）已知函数，具有性质，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）将代入，求出即可证明；（2）由题意，存在，使，化简得有实根，分类讨论即可求出答案．【详解】（1）证明：代入得：，即，解得 所以函数具有性质；（2）解：的定义域为，且可得.因为具有性质，所以存在，使，代入得：，化为，整理得：有实根，①若，得；②若，得，即，解得：，∴；综上可得【点睛】本题是在新定义下对函数的综合考查，关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题，属于难题．