2021年人教版高中数学高一上学期期末复习试题09（解析版）

人教版高中数学高一上学期期末复习试题一、单项选择题1.已知集合，则A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求，再求．【详解】由已知得，所以，故选C．【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．2.设：，：，则是的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解出不等式，根据集合的包含关系，可得到答案.【详解】解：因为：， 所以：或，因为：，所以是的充分不必要条件.故选：B【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，两个命题均是范围形式，解决问题常见的方法是判断出集合之间包含关系.3.已知正实数，满足，则的最小值为（）A.4B.6C.9D.10【答案】C【解析】【分析】变换展开利用均值不等式得到答案.【详解】∵，，，∴，当且仅当时，即时取“”.故答案选C【点睛】本题考查了均值不等式，1的代换是解题的关键.4.函数的两个零点分别位于区间（）A.和内B.和内C.和内D.和内【答案】A【解析】【分析】 将进行整理化简，可得为二次函数，求出零点即可.【详解】解：，令，解得：，因为，故选：A.【点睛】本题考查了函数零点问题，判断函数零点所在范围，可以将零点求出判断，也可以利用函数零点存在定理解决.5.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先将数据进行化简，然后利用中间值进行求解.【详解】解：由题得，，因，所以，因为，所以，所以，，即故选：A【点睛】本题考查了比较大小的问题，比较大小常见的方法是作差求解，单调性求解，中间值法求解等等.6.函数的大致图象是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再使用特殊值进行判断.【详解】解：的定义域为，，所以函数为偶函数，故正确答案在A、B中，当时，，故选：B【点睛】判断函数的大致形状可以从函数的对称性、函数值、单调性角度进行筛选.7.已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．8.若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】要求函数的最大值，可先分别探究函数与的单调性，从而得到的最大值．【详解】易知在上单调递增，上单调递增.因为，，所以的取值范围为.【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.二、多项选择题9.已知，且，则（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】求解出、，对选项逐一判断. 【详解】解：因为，且，所以，，A正确；，B正确；，，，C不正确；，D不正确；故选：AB【点睛】本题考查了同角三角函数关系、二倍角公式的运用，熟练运用公式是解决问题的关键.10.已知，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性进行判断.【详解】解：因为，为减函数，所以，因为，为增函数，所以，又因为在区间上为减函数，在区间上也为减函数，所以，同理可得，，故选：ACD 【点睛】本题考查了比较大小的问题，主要考查运用初等函数的单调性判断大小的问题，熟记初等函数的单调性是关键.11.若定义域为的函数同时满足以下三条：（ⅰ）对任意的总有（ⅱ）（ⅲ）若则有就称为“A函数”，下列定义在的函数中为“A函数”的有_______________①；②③④【答案】①②【解析】【分析】根据具体的函数解析式判断是否满足三个条件即可.【详解】①显然在[0，1]满足条件①≥0；也满足条件②f（1）=1．若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则f(x1+x2)−[f(x1)+f(x2)]＝(x1+x2)−(x1+x2)≥0，即满足条件③，故f（x）为A函数．②显然=2x-1在[0，1]满足条件①g（x）≥0；也满足条件②g（1）=1．若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则g(x1+x2)−[g(x1)+g(x2)]＝2x1+x2−1−[(2x1−1)+(2x2−1)]=2x1+x2−2x1−2x2+1＝(2x2−1)(2x1−1)≥0，即满足条件③，故f（x）为A函数．③显然在[0，1]不满足条件①f（x）≥0,不为A函数．④显然在[0，1]满足条件①f（x）≥0；也满足条件②f（1）=1．若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则f(x1+x2)−[f(x1)+f(x2)]＝不满足条件③，故f（x）不为A函数．【点睛】本题是考查新定义的题目，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的条件，注意性质的灵活运用．12.已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是（） A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据题意给出的定义，从代数、几何、反例等角度对每一个选项进行判断.【详解】选项A：任取，则，取，故，所以存在这样的使得成立，选项A正确；选项B：任取点，取点，表示的几何意义是，即对曲线每一个点与原点构成的直线，与之垂直的直线与曲线都存在交点，如图， 当点运动时，直线与曲线均有交点，选项B是正确的；选项C：任取点，取点，表示的几何意义是，即对曲线每一个点与原点构成的直线，与之垂直的直线与曲线都存在交点，如图，当点运动时，直线与曲线均有交点，选项C是正确的；选项D：在函数上取点时，若存在使得成立，则，则一定有，不满足函数的定义域，故不能满足题意中的任意一点这一条件，选项D不正确；故选：ABC【点睛】本题考查了新定义的问题，新定义问题首先需要有很强的阅读理解能力，其次题目考查的本质问题还是函数的图象、性质等等，解决问题的关键是要有将新定义问题转化为常规问题的能力.三、填空题13.计算：__________．【答案】 【解析】法一：．法二：．故答案为014.命题：，的否定是______．【答案】【解析】试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“”的否定是“”.考点：全称命题与特称命题.15.已知幂函数的图象过点______．【答案】3【解析】【分析】利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案．【详解】设幂函数为常数， 幂函数的图象过点，，解得．．．故答案为3．【点睛】本题考查幂函数的定义，正确理解幂函数的定义是解题的关键．16.已知函数，且，则实数______，函数的单调递增区间为______.【答案】(1).1(2).【解析】【分析】（1）由等式求解，（2）将（1）的结果代入化简得，然后根据复合函数的单调性求解单调区间.【详解】（1）因为，所以，解得：；（2）将代入，得，化简得，故，解得：，，故函数的增区间为：. 故答案为：；.【点睛】本题考查了两角和差公式的逆运用，即辅助角公式，同时也考查了三角函数的单调区间问题.四、解答题17.已知集合.（1）求集合,；（2）若集合且,求的取值范围.【答案】（1）,；（2）.【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法化简集合，利用指数函数的性质化简集合，从而可求出，再利用集合交集与并集的定义求解即可；（2）等价于，结合（1）的结论，利用集合的包含关系，分两种情况讨论，分别列不等式组求解即可求得的取值范围.试题解析：（1）,∴，,∴.（2）∵，，,当时，时满足∴;当时，要使，则 综上所述，.18.在①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数，的图象相邻两条对称轴间的距离为，______.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的单调递增区间.【答案】（1）选条件①②③任一个，均有；（2）选条件①②③任一个，函数在上的单调递增区间均为，.【解析】【分析】（1）由相邻两条对称轴间的距离为，得到；再选择一个条件求解出；（2）由（1）解得的函数，根据复合函数的单调性得到单调区间.【详解】解：函数的图象相邻对称轴间的距离为，，，.方案一：选条件①为奇函数，，解得：，.（1），，；（2）由，，得，， 令，得，令，得，函数在上的单调递增区间为，；方案二：选条件②，，，或，，（1），，；（2）由，，得，，令，得，令，得，函数在上的单调递增区间为，；方案三：选条件③是函数的一个零点，，，.（1），，；（2）由，，得，令，得，令，得.函数在上的单调递增区间为，【点睛】本题以一个相对开放的形式考查三角函数的性质，要求解的值，即要找出周期，求常见方法是代入一个点即可. 19.已知函数f(x)＝sin·sin＋sinxcosx(x∈R)．(1)求f的值；(2)在△ABC中，若f＝1，求sinB＋sinC的最大值．【答案】（1）1（2）【解析】【详解】（1）∵.∴.（2）由，而可得：，即.∴∵，∴，∴最大值为.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.20.已知函数，.（1）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在，使得为奇函数？若存在，求出值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）单调递减，证明见解析；（2）存在， 【解析】【分析】（1）利用作差法证明函数的单调性；（2）利用奇偶性的定义求解的值.【详解】解：（1）在上单调递减，证明：，且则，，，，，，，在上单调递减；（2）函数的定义域为，若为奇函数，则恒成立，即恒成立，，解得：，存在，使得为奇函数.【点睛】本题考查了函数的两大性质：单调性与奇偶性，刚学性质时，解决性质问题常见的方法是定义法.21.某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量不小于30百件时，；若每件电子产品的售价为5 万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（1）求年利润（万元）关于年产量（百件）的函数关系式；（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？【答案】（1）；（2）100百件【解析】【分析】（1）根据收益总收入成本，进行分情况讨论，构建出分段函数；（2）对分段函数每一段进行研究最大值，然后再求出整个函数的最大值.【详解】解：（1）当时，；当时，；；（2）当时，，当时，；当时，，当且仅当，即时，年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元.【点睛】本题考查了数学建模问题、分段函数最值问题，数学建模要能准确地从题意中抽象出函数模型，分段函数是一个函数，分段不分家，一般需要分情况讨论。22.若（，且）.（1）当时，若方程在上有解，求实数的取值范围；（2）若在上恒成立，求实数取值范围.【答案】（1）；（2） 【解析】【分析】（1）方程有解，转化为新函数在上有零点，利用零点存在定理求解；（2）由在上恒成立，即要求解的最大值，控制的范围，研究函数的单调性，从而解决问题.【详解】解：（1）时，，函数的定义域为.，，即，令，在上单调递增，要使有解，则，；（2）.由题意知，，.函数在区间上单调递增.①若，则在上单调递减，在上的最大值为.在上恒成立，，解得或，. ②若，则在上单调递增，在上的最大值为.在上恒成立，，，解得，，此时，不存在满足题意，综上，的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的性质问题，函数零点存在定理，恒成立问题，有解问题等等，还考查了分类讨论、数形结合的思想方法.