2015-2016学年高中数学 1.3.1第1课时柱体、锥体、台体的表面积练习 新人教a版必修2

【成才之路】2015-2016学年高中数学1.3.1第1课时柱体、锥体、台体的表面积练习新人教A版必修2基础巩固一、选择题1．若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的(　　)A．倍　　　　　　　B．3倍C．2倍D．5倍[答案]　C[解析]　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意知，l＝2r，于是S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2.故选C．2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是，则长方体的侧面积等于(　　)A．2B．4C．6D．3[答案]　C[解析]　设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则c＝1，ab＝2，·c＝，∴a＝2，b＝1，故S侧＝2(ac＋bc)＝6.3．(2014·全国高考福建卷)以边长为1的正方形的一边所在直线为轴旋转，将正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(　　)A．2π　　　　　　　　　B．πC．2D．1[答案]　A[解析]　S＝2πrh＝2π.4．(2015·广东佛山高三教学质量检测)若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于(　　)A．6B．6πC．3πD．6π[答案]　C [解析]　圆台的两底面半径分别是1,2，高为2，则母线长为＝，则其侧面积等于π(1＋2)×＝3π.5．(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(　　)A．32B．16＋16C．48D．16＋32[答案]　B[解析]　易知此四棱锥为正四棱锥，底面边长为4，高为2，则斜高为2，故S侧＝4××4×2＝16，S底＝4×4＝16，所以S表＝16＋16.6．(2013·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A．180B．200C．220D．240[答案]　D[分析]　　根据三视图可以确定此几何体为四棱柱，再由数量关系分别去确定侧面积与底面面积，相加为该几何体的表面积．[解析]　几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240.[易错警示]　本题在求解过程中易错误将3作为等腰梯形的腰长，从而误求结果为200.二、填空题7．已知圆柱OO′的母线l＝4cm，全面积为42πcm2，则圆柱OO′的底面半径r＝__________________cm. [答案]　3[解析]　圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，∴2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，∴圆柱的底面半径为3cm.8．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为__________________.[答案]　24＋2[解析]　该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(×2×)＋3×(4×2)＝24＋2.三、解答题9．如图所示的几何体是一棱长为4cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)[分析]　因为正方体的棱长为4cm，而洞深只有1cm，所以正方体没有被打透．这样一来打洞后所得几何体的表面积等于原来正方体的表面积，再加上圆柱的侧面积，这个圆柱的高为1cm，底面圆的半径为1cm.[解析]　正方体的表面积为4×4×6＝96(cm2)，圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2)，则挖洞后几何体的表面积约为96＋6.28＝102.28(cm2)．[小结]　求几何体的表面积时，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．10．一个棱锥的三视图如图所示，求该棱锥的表面积．(单位：cm2) [答案]　48＋12[解析]　由三视图可得：底面为等腰直角三角形，腰长为6，面积为18，垂直于底面积的面为等腰三角形，面积为×6×4＝12；其余两个面为全等的三角形，每个三角形的面积都为×6×5＝15.所以全面积为48＋12.[归纳总结]　由三视图求表面积时，关键是利用三视图还原出几何体．要注意三视图中的数据，还原成直观图(或实物)后的变化．能力提升一、选择题1．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了(　　)A．6a2　　　　　　　　B．12a2C．18a2D．24a2[答案]　B[解析]　原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，其表面积为6×2＝a2，总表面积S2＝27×a2＝18a2，∴增加了S2－S1＝12a2.2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是(　　)A．B．C．D．[答案]　A[解析]　设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，∴S全＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π) 又S侧＝h2＝4π2r2，∴＝.[点评]　圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．3．(2015·陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A．3πB．4πC．2π＋4D．3π＋4[答案]　D[解析]　由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为π×1×2＋×π×12×2＋2×2＝3π＋4.故答案选D．4．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm),则此几何体的表面积是(　　)A．(80＋16)cm2B．84cm2 C．(96＋16)cm2D．96cm2[答案]　A[解析]　依题意得，该几何体是在一个正方体的上表面上放置了一个同底面的正四棱锥，其中正方体的棱长为4，正四棱锥的底面边长为4，，高为2，该正四棱锥的一个侧面的面积等于×4×＝4，因此该几何体的表面积等于5×42＋4×4＝80＋16，选A．二、填空题5．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为__________________.[答案]　π[解析]　该几何体是圆柱，且母线长为1，底面半径为，则这个几何体的表面积为2π[()2＋×1]＝.6．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于__________________.[答案]　(4＋28)π[解析]　挖去的圆锥的母线长为＝2，则圆锥的侧面积等于4π.圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆柱的一个底面面积为π×22＝4π，所以组合体的表面积为4π＋24π＋4π＝(4＋28)π.三、解答题 7．(2015·嘉兴高一检测)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．[解析]　设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2.如图所示易知△AEB∽△AOC，∴＝，即＝，∴r＝1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π.∴S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π.8．(2012·辽宁)一个几何体的三视图如图所示．求该几何体的表面积．[答案]　38[解析]　该几何体为一个长方体中挖去一个圆柱构成，几何体的表面积S＝长方体表面积＋圆柱的侧面积－圆柱的上下底面面积．由三视图知，长方体的长、宽、高为4,3,1，圆柱的底面圆的半径为1，高为1，所以S＝2×(4×3＋4×1＋3×1)＋2π×1×1－2×π×12＝38.