空间几何体的体积

立体几何等积法课后作业1.如图，在三棱锥中,是边长为4的正三角形,中点，平面平面,分别是的中点.(1)求证:.(2)求三棱锥的体积.2．如图，在四棱锥E-ABCD中，△EAD为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，1满足AB∥CD，AD＝DC＝2AB，且AE⊥BD.(1)证明：平面EBD⊥平面EAD；(2)若△EAD的面积为3，求点C到平面EBD的距离． 3．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°.(1)求证：BC1⊥平面ABC；3(2)E是棱CC1上的一点，若三棱锥E-ABC的体积为12，求线段CE的长．4.如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为正三角形，AA1＝2，M是A1C的中点，N是A1B1中点．（1）证明：MN∥平面BCCB；11（2）若三棱锥N﹣MAB的体积为，求该正三棱柱的底面边长． 立体几何等积法课后作业答案：1.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】(1)因为,所以,所以平面.又平面,所以.(2)因为,平面平面,平面平面,平面,所以平面.又,的中点,所以,到平面的距离为,又.所以.12.解：(1)证明：如图，取AB的中点M，连接DM，则DM∥BC，∴DM＝2AB，即点D在以线段AB为直径的圆上，∴BD⊥AD，又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，∴BD⊥平面EAD.∵BD?平面EBD，∴平面EBD⊥平面EAD.(2)∵BD⊥平面EAD，且BD?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面EAD.∵等边△EAD的面积为3，∴AD＝AE＝ED＝2，取AD的中点O，连接EO，则EO⊥AD，EO＝3， ∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，∴EO⊥平面ABCD.由(1)知△ABD，△EBD都是直角三角形，∴BD＝AB2－AD2＝23，∴S△＝1·＝，EBD2EDBD231BC·CDsin120＝°3.S△＝BCD2设点C到平面EBD的距离为h，由V＝V，得1△·＝1△·，解C-EBDE-BCD3SEBDh3SBCDEO3得h＝2.3∴点C到平面EBD的距离为2.3.解：(1)证明：∵AB⊥平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C，∴AB⊥BC1，在△CBC1中，BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝60°，222·∠由余弦定理得BC＝BC＋CC－2BC·CC111cosBCC1＝12＋22－2×1×2cos60＝°3，∴BC1＝3，222∴BC＋BC＝CC，∴BC⊥BC，111又AB，BC?平面ABC，BC∩AB＝B，∴BC1⊥平面ABC.(2)∵AB⊥平面BB1C1C，1∴VE-ABC＝VA-EBC＝3S△BCE·AB13＝3S△BCE·1＝12，∴S△BCE＝31π134＝CE·(BC·sin)＝CE·，2322∴CE＝1.4.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明：如图，连接B1C，∵M是A1C的中点，又N是A1B1的中点，∴MN∥B1C， 又MN?平面BCC1B1，B1C?平面BCC1B1，∴MN∥平面BCCB11（2）解：VN﹣MAB＝VM﹣ABN，∵M是A1C的中点，∴M到平面ABB1A1的距离是C到平面ABB1A1的距离的一半，如图，作CP⊥AB交AB于P，由正三棱柱的性质，易证CP⊥平面ABB1A1，设底面正三角形边长为a，则三棱锥M﹣ABN的高，，∴解得．故该正三棱柱的底面边长为．