1.2.3空间中的垂直关系(2)

1.2.3空间中的垂直关系(2) 平面与平面垂直1．定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条直线互相垂直，就称这两个平面互相垂直。两个平面α，β互相垂直，记作：α⊥β。 两个平面互相垂直的画法：画两个互相垂直的平面，把直立平面的竖边画成和水平面的横边垂直，如图所示，平面α和平面β垂直，记作：α⊥β。 2．平面与平面垂直的判定定理：①文字语言：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；②图形语言：③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B，ABαα⊥β。 3．平面与平面垂直的性质定理：①文字语言：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；②图形语言：③符号语言：α⊥β,α∩β=a，ABα，AB⊥a，且垂足为B，AB⊥β. 已知：平面α⊥平面β，α∩β=CD，BAα，BA⊥CD，B为垂足，求证：BA⊥β.证明：在平面β内过点B作BE⊥CD，因为α⊥β，所以BA⊥BE，又因为BA⊥CD，CD∩BE=B，所以BA⊥β。 例1．已知：平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB=4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC=3cm，BD=12cm，求CD的长。解：连接BC，因为BD⊥AB，直线AB是两个互相垂直的平面α和β的交线， 所以BD⊥α，BD⊥BC，所以△CBD是直角三角形，在直角△BAC中，BC=在直角△CBD中，CD=所以CD的长为13cm. 例5．已知Rt△ABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角，求证：（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；（2）∠BAC=60°. 证明：（1）如图，因为AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC，因为平面ABD和ACD都过AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC； （2）在原图中，直角△BAC，因为AB=AC=a，所以BC=a，所以BD=DC=a，△BDC是等腰直角三角形。所以BC=BD=a△BDC是等腰直角三角形。所以AB=AC=BC，因此∠BAC=60°. 练习题1．下列命题中正确的是（）（A）平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β（B）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β（C）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β（D）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥βC 2．设两个平面互相垂直，则（）（A）一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面（B）过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面内（C）过交线上一点垂直于交线的直线必垂直于另一个平面（D）分别在两个平面内的两条直线互相垂直B 3.如图所示：四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EBD⊥平面ABCD.证明：连接AC，BD，交点为F，连接EF，EF是△SAC的中位线，∴EF//SC. ∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，又EF平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD. 4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=3，B1B=4，连接B1C，过B作BE⊥B1C，交B1C于F，交CC1于E，求证：平面BDE⊥平面A1BCD1。证明：连接AC，∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，∴AA1⊥面ABCD，又∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD， 又AC是A1C在面ABCD上的射影，由三垂线定理得A1C⊥BD.又A1B1⊥面B1BCC1，且B1C是A1C在面B1BCC1上的射影，BE⊥B1C，∴A1C⊥BE，A1C⊥面BDE，又A1C面A1BCD1，∴平面BDE⊥平面A1BCD1.