几类增长函数

3.2.1几类不同增长的函数模型 1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了。兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番。1950年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭到了极大损失。绝望之中，人们从巴西引入了多发黏液瘤病，以对付迅速繁殖的兔子。整个20世纪中期，澳大利亚的灭兔行动从未停止过。“指数爆炸”模型生态故事：“一群兔子引发的危机” 想一想：我们学过的基本初等函数在上有哪几类是单调递增的？指数函数（a>1）对数函数幂函数同样是递增函数它们有什么不同？ 例1：小李今年大学刚毕业,找工作四处碰壁,父母考虑再三,最后决定筹措一笔资金用于投资,现有三种投资方案供小李选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番.请问，小李会选择哪种投资方案？①例1涉及哪些数量关系？投资天数、回报金额②如何用函数描述这些数量关系？日回报累计回报 思考投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优比较三种方案每天回报量(2)比较三种方案一段时间内的总回报量哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。 40404040401010+10=10×210+10+10=10×310+10+10+10=10×410+10+10+10+10=10×50.40.4×20.4×2×2=0.4×220.4×2×2×2=0.4×230.4×2×2×2×2=0.4×24方案一方案二方案三12345则方案一可以用函数________________描述；方案二可以用函数__________________描述；方案三可以用______________________描述。设第x天的日回报金额是y元 x/天方案一方案二方案三y/元增长量/元y/元增长量/元y/元增长量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.2…………………3040030010214748364.8107374182.4三种方案的增长情况：“指数爆炸”式增长! xy2040608010012014042681012三个函数的图象3579111底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。 从日回报量来看：第1~3天:方案一最多；第4天:方案一、二一样多；第5~8天:方案二最多：第9天之后：方案三最多(即y)结论： 思考如果小李要在某段时间进行投资我们应如何选择投资方案呢？ 累计回报数表：81940920410250.8251262.81.20.4三660550450360280210150100603010二4404003603202802402001601208040一1110987654321天数回报/元方案327616389107805204801312方案一方案一或二方案三投资1~6天，应选择,投资7天，应选择,投资8~10天，应选择,投资11天（含11天）以上，应选择,方案一方案一或方案二方案二方案三方案二 由例1得到解决实际问题的步骤：实际问题读懂问题抽象概括数学问题演算推理数学问题的解还原说明实际问题的解解决 四个变量随变量变化的数据如下表：1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331785.294.478545053130200511305051305302520151050关于x呈指数型函数变化的变量是练习一指数型函数是爆炸式的增长. 问题提出1.指数函数y=ax(a>1)，对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间（0，+∞）上的单调性如何？2.利用这三类函数模型解决实际问题，其增长速度是有差异的，我们怎样认识这种差异呢？ 思考3:在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系如何？请画出其大致图象.xyo1124y=2xy=x2y=log2xy=log2x 综上所述：(1)在区间(0,+∞)上，y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数。(2)随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会远远大于y=xn(n>0)的增长速度。(3)随着x的增大，y=logax(a>1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn(n>0)的增长速度。总存在一个x0，当x>x0时，就有:logax