几类不同增长的函数模型(共课时)上课讲义

3.2.1几类不同增长的函数模型高一数学备课组集体备课主备人:唐强2013.11.5(共2课时) 有人说，一张普通的报纸对折30次后，厚度会超过10座珠穆朗玛峰的高度，会是真的吗？ 例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优.(1)比较三种方案每天回报量；(2)比较三种方案一段时间内的累计回报量.我们来看两个具体问题： 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。解：设第x天所得回报为y元，则方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元。函数关系为y=10x(x∈N*)；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。函数关系为y=0.4×2x-1(x∈N*)。分析：方案一：每天回报40元。函数关系为y=40(x∈N*)； x/天方案一方案二方案三y/元增长量/元y/元增长量/元y/元增长量/元140100.4240200.8340301.6440403.2540506.46406012.87407025.68408051.294090102.4…………3040300214748364.8我们来计算三种方案所得回报的增长情况：1010101010101010…1000000000…00.40.81.63.26.412.825.651.2…107374182.4 我们看到，底数为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？三个函数的图象 投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三。累计回报表天数方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑回报的累积值.你能把前11天回报的累积值算出来吗?根据以上分析,你认为该作出何种选择?结论 由例1得到解决实际问题的步骤：实际问题读懂问题抽象概括数学问题演算推理数学问题的解还原说明实际问题的解解决 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？本题中涉及了哪几类函数模型?实质是什么?本例涉及了一次函数、对数函数、指数函数三类函数模型,实质是比较三个函数的增长情况。思考例2 思考怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公司的要求呢?要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元,以及奖励比例是否超过25%进行分析,才能做出正确选择。由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润。于是只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合公司的要求即可。 借助计算机作出三个函数的图象 三个函数的图象如下可以看到：在区间[10,1000]上只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方 对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上递增，当x=20时，y=5，因此x∈(20,1000)时，y>5，因此该模型不符合要求。对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0=5，由于它在[10,1000]上递增，因此当x>x0时，y>5，因此该模型也不符合要求。通过计算确认上述判断 (1)由函数图象可以看出，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55x0时，就会有ax>xn. 结论2：一般地，对于指数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，通过探索可以发现：在区间(0,+∞)上，随着x的增大，logax增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数。(2)随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会远远大于y=xn(n>0)的增长速度。(3)随着x的增大，y=logax(a>1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn(n>0)的增长速度。总存在一个x0，当x>x0时，就有:logax