高中数学人教A版必修1 第二章 基本初等函数 2.3 幂函数 学案

2.3《幂函数》课前阅读材料（幂函数的前世）：幂乃土生土长的数学概念，距今已有两千年左右的历史。幂的古体字是  冖，《说文解字》：“幂，覆也。从一下垂也。”它的繁体字是幂，原义是遮盖东西用的布，后来衍义为面积，刘歆用幂这个词表示面积。〈〈九章算术〉〉方田章刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂。”后来又广义为多次乘方的结果，如元代朱世杰〈〈算学启蒙〉〉总括：“自相乘之曰幂”。到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂。清末，李善兰翻译《代微积拾级》时，先将power译为方，后来改译为幂。从此就将一个数的若干次方的结果理解为幂。我们现在定义y=x 为幂函数，源于此。一、“没有目标而学习，恰如没有罗盘而航行”：1、通过生活实例引出幂函数的概念，学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。2、学生能理解幂函数的概念，会画幂函数的图象；学生能结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质。3、学生通过观察，总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力，让学生进一步体会数形结合的思想；二、课堂学习：（幂函数的今生）(1)、“温故而知新，可以为师矣”：思考1：对于等式，我们知道：（1）如果a一定，则N随着b的变化而变化，我们建立了指数函数；（2）如果a一定，则b随着N的变化而变化，我们建立了对数函数；那么，如果b一定，则N随着a的变化而变化，是否也能确定一个函数呢？（2）、“万丈高楼平地起”：1、实例探究：阅读下面的5个实例，填写完整。根据实例中的函数模型，你能总结出它们有什么共同特征吗？问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=元，这里p是w的函数.问题2：如果如果正方形的桌面边长为a，那么该桌面的面积S=，这里S是a的函数. 问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V=，这里V是a的函数.问题4：如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a=，这里a是S的函数.问题5：如果t秒内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=km/s，这里v是t的函数.思考2：若将它们的自变量全部用x来表示，函数值用y来表示，则它们的函数关系式将是：。2、函数定义：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。思考：你能说出幂函数与指数函数的区别吗?3、牛刀小试：判断下列函数是否为幂函数.小结:对幂函数的几点认识：（3）、“有图有真相”：研究的情形yxO1、在同一平面直角坐标系中（用不同颜色的笔）画出函数，，，的图象列表： yxO2、在同一平面直角坐标系中（用不同颜色的笔）画出函数，的图象列表：问题1：（1）、注意到以上所有的幂函数图像都不经过第四象限，并且都经过第一象限，你觉得这是偶然还是必然？（2）、第二象限和第三象限的的图像是哪些函数的图像？你能总结出规律吗？（3）、在第一象限内，哪些函数是增函数，哪些函数是减函数？你能总结出规律吗？ 问题2：观察幂函数的图象，并将发现的结论填写在下表内。定义域值域奇偶性单调性公共点适当归纳性质:（4）、“过关斩将”：1、幂函数的表达式：例1、，变式：已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，求m的值。2、幂函数的单调性： 例2、证明幂函数在［0，+∞）上是增函数。变式：如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，则相应图象依次为:________（5）、反思总结：（1）、幂函数的定义；（2）、幂函数的性质；（3）、幂函数的简单应用。（6）、“功在课堂，成在作业”：《作业本》：2.3.幂函数