2018年秋人教版必修高中数学 2.2.1 对数与对数运算 学案

第2课时 对数的运算学习目标：1.理解对数的运算性质．(重点)2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)[自主预习·探新知]1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．思考：当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？[提示] 不一定．2．对数的换底公式若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有logab＝.[基础自测]1．思考辨析(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(  )(2)loga(xy)＝logax·logay.(  )(3)log2(－3)2＝2log2(－3)．(  )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．计算log84＋log82等于(  )A．log86      B．8C．6D．1D [log84＋log82＝log88＝1.]3．计算log510－log52等于(  )【导学号：37102270】A．log58B．lg5C．1D．2C [log510－log52＝log55＝1.]4．log23·log32＝________.1 [log23·log32＝×＝1.][合作探究·攻重难] 对数运算性质的应用 计算下列各式的值：(1)lg－lg＋lg；(2)lg52＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3).【导学号：37102271】[解] (1)原式＝(5lg2－2lg7)－·lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝＝＝＝.[规律方法] 1.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数． [跟踪训练]1．求下列各式的值：(1)lg25＋lg2·lg50；(2)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.[解] (1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.(2)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3.对数的换底公式 计算：(1)lg20＋log10025；(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52).【导学号：37102272】[解] (1)lg20＋log10025＝1＋lg2＋＝1＋lg2＋lg5＝2.(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝log25·(1＋1＋1)log52＝·3＝13.[跟踪训练]2．求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．[解] (1)原式＝··＝＝＝4.(2)原式＝＝＝·＝. 对数运算性质的综合应用[探究问题]1．若2a＝3b，则a，b间存在怎样的等量关系？提示：设2a＝3b＝t，则a＝log2t，b＝log3t，∴＝log23.2．若log23＝a，log25＝b，你能用a，b表示log415吗？提示：log415＝＝＝. 已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值.【导学号：37102273】思路探究：[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴＝logc3，＝logc5，∴＋＝logc15.由logc15＝2得c2＝15，即c＝.母题探究：1.把本例条件变为“3a＝5b＝15”，求＋的值．[解] ∵3a＝5b＝15，∴a＝log315，b＝log515，∴＋＝log153＋log155＝log1515＝1.2．若本例条件改为“若a，b是正数，且3a＝5b＝c”，比较3a与5b的大小．[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴3a－5b＝3log3c－5log5c＝－＝＝