中考数学总复习动点问题练习(含答案word文档可下载)

[键入文字] 2018 中考数学总复习动点问题 因动点产生的等腰三角形问题练习 1.如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点 D 为边 BC 的中点，DE⊥BC 交边 AC 于点 E， 点 P 为射线 AB 上的一动点，点 Q 为边 AC 上的一动点，且∠PDQ＝90°． （1）求 ED、EC 的长； （2）若 BP＝2，求 CQ 的长； （3）记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F，若△PDF 为等腰三角形，求 BP 的长． 图 1 备用图 解：（1）在 Rt△ABC 中， AB＝6，AC＝8，所以 BC＝10． 在 Rt△CDE 中，CD＝5，所以 ， ． （2）如图 2，过点 D 作 DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为 M、N，那么 DM、DN 是 △ABC 的两条中位线，DM＝4，DN＝3． 由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN． 因此△PDM∽△QDN． 所以 ．所以 ， ． 图 2 图 3 图 4 ①如图 3，当 BP＝2，P 在 BM 上时，PM＝1． 此时 ．所以 ． ②如图 4，当 BP＝2，P 在 MB 的延长线上时，PM＝5． 此时 ．所以 ． （3）如图 5，如图 2，在 Rt△PDQ 中， ． 在 Rt△ABC 中， ．所以∠QPD＝∠C． 由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ． 因此△PDF∽△CDQ． 当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形． ①如图 5，当 CQ＝CD＝5 时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图 3 所示）． 此时 ．所以 ． ②如图 6，当 QC＝QD 时，由 ，可得 ． 所以 QN＝CN－CQ＝ （如图 2 所示）． 此时 ．所以 ． ③不存在 DP＝DF 的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图 5，图 6 所示）． 图 5 图 6 2.如图 1，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）在直线 l 上是否存在点 M，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的 坐标；若不存在，请说明理由． 图 1 解：（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(－1,0)、B(3, 0)两点，设 y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点 C(0 ,3)，得－3a＝3．解得 a＝－1． 所以抛物线的函数关系式是 y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． 3 15tan 5 4 4ED CD C= ⋅ ∠ = × = 25 4EC = 4 3 PM DM QN DN = = 3 4QN PM= 4 3PM QN= 3 3 4 4QN PM= = 3 194 4 4CQ CN QN= + = + = 3 15 4 4QN PM= = 15 314 4 4CQ CN QN= + = + = 3tan 4 QD DNQPD PD DM ∠ = = = 3tan 4 BAC CA ∠ = = 4 4 3 3PM QN= = 4 53 3 3BP BM PM= − = − = cos CHC CQ = 5 4 25 2 5 8CQ = ÷ = 25 74 8 8 − = 4 7 3 6PM QN= = 7 253 6 6BP BM PM= + = + =[键入文字] （2）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x＝1． 当点 P 落在线段 BC 上时，PA＋PC 最小，△PAC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H． 由 ，BO＝CO，得 PH＝BH＝2． 所以点 P 的坐标为(1, 2)． 图 2 （3）点 M 的坐标为(1, 1)、(1, )、(1, )或(1,0)． 3.如图 1，点 A 在 x 轴上，OA＝4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的位置． （1）求点 B 的坐标； （2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若 存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 图 1 解：（1）如图 2，过点 B 作 BC⊥y 轴，垂足为 C． 在 Rt△OBC 中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以 BC＝2， ． 所以点 B 的坐标为 ． （2）因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为 y＝ax(x－4)， 代入点 B ， ．解得 ． 所以抛物线的解析式为 ． （3）抛物线的对称轴是直线 x＝2，设点 P 的坐标为(2, y)． ①当 OP＝OB＝4 时，OP2＝16．所以 4+y2＝16．解得 ． 当 P 在 时，B、O、P 三点共线（如图 2）． ②当 BP＝BO＝4 时，BP2＝16．所以 ．解得 ． ③当 PB＝PO 时，PB2＝PO2．所以 ．解得 ． 综合①、②、③，点 P 的坐标为 ，如图 2 所示． 图 2 图 3 4.如图 1，已知一次函数 y＝－x＋7 与正比例函数 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B． （1）求点 A 和点 B 的坐标； （2）过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C，过点 B 作直线 l//y 轴．动点 P 从点 O 出 发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 O—C—A 的路线向点 A 运动；同时直 线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于 点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q．当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动．在运动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒． ①当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8？ ②是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的 值；若不存在，请说明理由． 图 1 解：（1）解方程组 得 所以点 A 的坐标是(3，4)． 令 ，得 ．所以点 B 的坐标是(7，0)． （ 2 ） ① 如 图 2 ， 当 P 在 OC 上 运 动 时 ， 0≤t ＜ 4 ． 由 ， 得 ．整理，得 ．解得 t＝2 或 t＝6（舍去）．如 图 3，当 P 在 CA 上运动时，△APR 的最大面积为 6． 因此，当 t＝2 时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8． BH PH BO CO = 6 6− 2 3OC = ( 2, 2 3)− − ( 2, 2 3)− − 2 3 2 ( 6)a− = − × − 3 6a = − 23 3 2 3( 4)6 6 3y x x x x= − − = − + 2 3y = ± (2,2 3) 2 24 ( 2 3) 16y+ + = 1 2 2 3y y= = − 2 2 2 24 ( 2 3) 2y y+ + = + 2 3y = − (2, 2 3)− 4 3y x= 7, 4 ,3 y x y x = − + = 3, 4. x y =  = 7 0y x= − + = 7x = 8APR ACP PORCORAS S S S= − − =△ △ △梯形 1 1 13+7 ) 4 4 (4 ) (7 ) 82 2 2t t t t− × − × × − − × − =（ 2 8 12 0t t− + =[键入文字] 图 2 图 3 图 4 ②我们先讨论 P 在 OC 上运动时的情形，0≤t＜4． 如图 1，在△AOB 中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7， ，所以 OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB ＞∠B． 如图 4，点 P 由 O 向 C 运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以 PQ//x 轴． 因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP 的情况． 此时点 A 在 PQ 的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以 BR＝1，t＝1． 我们再来讨论 P 在 CA 上运动时的情形，4≤t＜7． 在△APQ 中， 为定值， ， ． 如图 5，当 AP＝AQ 时，解方程 ，得 ． 如 图 6 ， 当 QP ＝ QA 时 ， 点 Q 在 PA 的 垂 直 平 分 线 上 ， AP ＝ 2(OR － OP) ． 解 方 程 ，得 ． 如 7，当 PA＝PQ 时，那么 ．因此 ．解方程 ，得 ． 综上所述，t＝1 或 或 5 或 时，△APQ 是等腰三角形． 图 5 图 6 图 7 5.如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＝m（m 是大于 0 的常数），BC＝8，E 为线段 BC 上的动点（不与 B、 C 重合）．连结 DE，作 EF⊥DE，EF 与射线 BA 交于点 F，设 CE＝x，BF＝y． （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）若 m＝8，求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （3）若 ，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？ 图 1 解：(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以 △DCE∽△EBF ． 因 此 ， 即 ． 整 理 ， 得 y 关 于 x 的 函 数 关 系 为 ． (2)如图 2，当 m＝8 时， ．因此当 x＝4 时，y 取得最大值为 2． (3) 若 ，那么 ．整理，得 ．解得 x＝2 或 x＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在 ED＝EF 的情况．因为△DCE∽△EBF，所以 CE＝BF，即 x＝y．将 x＝y ＝2 代 入 ，得 m＝6（如图 3）；将 x＝y ＝6 代入 ，得 m＝2（如图 4）． 图 2 图 3 图 4 6.如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD//BC，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF//BC 交 CD 于点 F，AB＝4， BC＝6，∠B＝60°． （1）求点 E 到 BC 的距离； （2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过点 P 作 PM⊥EF 交 BC 于 M，过 M 作 MN//AB 交折线 ADC 于 N，连结 PN，设 EP＝x． 4 2AB = 3cos 5A∠ = 7AP t= − 5 5 20 3 3 3AQ OA OQ OA OR t= − = − = − 5 207 3 3t t− = − 41 8t = 7 2[(7 ) ( 4)]t t t− = − − − 5t = 1 2cos AQ A AP ∠ = 2 cosAQ AP A= ⋅ ∠ 5 20 32(7 )3 3 5t t− = − × 226 43t = 41 8 226 43 12y m = DC EB CE BF = 8m x x y −= 21 8y x xm m = − + 2 21 1 ( 4) 28 8y x x x= − + = − − + 12y m = 212 1 8x xm m m = − + 2 8 12 0x x− + = 12y m = 12y m =[键入文字] ①当点 N 在线段 AD 上时（如图 2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若 改变，请说明理由； ②当点 N 在线段 DC 上时（如图 3），是否存在点 P，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足条件的 x 的值；若不存在，请说明理由． 图 1 图 2 图 3 解：（1）如图 4，过点 E 作 EG⊥BC 于 G． 在 Rt△BEG 中， ，∠B＝60°， 所以 ， ． 所以点 E 到 BC 的距离为 ． （2）因为 AD//EF//BC，E 是 AB 的中点，所以 F 是 DC 的中点． 因此 EF 是梯形 ABCD 的中位线，EF＝4． ①如图 4，当点 N 在线段 AD 上时，△PMN 的形状不是否发生改变． 过点 N 作 NH⊥EF 于 H，设 PH 与 NM 交于点 Q． 在矩形 EGMP 中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝ ． 在平行四边形 BMQE 中，BM＝EQ＝1＋x． 所以 BG＝PQ＝1． 因为 PM 与 NH 平行且相等，所以 PH 与 NM 互相平分，PH＝2PQ＝2． 在 Rt△PNH 中，NH＝ ，PH＝2，所以 PN＝ ． 在平行四边形 ABMN 中，MN＝AB＝4． 因此△PMN 的周长为 ＋ ＋4． 图 4 图 5 ②当点 N 在线段 DC 上时，△CMN 恒为等边三角形． 如图 5，当 PM＝PN 时，△PMC 与△PNC 关于直线 PC 对称，点 P 在∠DCB 的平分线上． 在 Rt△PCM 中，PM＝ ，∠PCM＝30°，所以 MC＝3． 此时 M、P 分别为 BC、EF 的中点，x＝2． 如图 6，当 MP＝MN 时，MP＝MN＝MC＝ ，x＝GM＝GC－MC＝5－ ． 如图 7，当 NP＝NM 时，∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM＝120°． 又因为∠FNM＝120°，所以 P 与 F 重合． 此时 x＝4． 综上所述，当 x＝2 或 4 或 5－ 时，△PMN 为等腰三角形． 图 6 图 7 图 8 22 1 == ABBE 160cos =°⋅= BEBG 360sin =°⋅= BEEG 3 3 3 7 3 7 3 3 3 3