高中数学教案必修三：2.4 线性回归方程（1）.doc

教学目标： 1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直 观认识变量间的相关关系； 2. 在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性 回归方程进行预测； 3. 知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归 方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义． 教学重点： 散点图的画法，回归直线方程的求解方法． 教学难点： 回归直线方程的求解方法． 教学方法： 引导发现、合作探究． 教学过程： 一、创设情景，揭示课题 客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在 的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联 系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说 事实上数学和物理 成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函 数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系． 二、学生活动 提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？ （1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示； （2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示．说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量 间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度 就可认为没有关系． 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某 6 天 卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： 气温/ C 26 18 13 10 4 杯数 20 24 34 38 50 64 如果某天的气温是 ，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数 吗？ 从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示 热茶销量与气温之间的关系. 选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？ 我们有多种思考方案： （1）选择能反映直线变化的两个点,例如取 这两点的直线； （2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数 基本相同； （3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线 斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距； …… 怎样的直线最好呢? 三、建构数学 1．最小平方法： 用方程为 的直线拟合散点图中的点，应使得该直线 与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线 与图中六 个点的接近程度呢？ 0 1− 5− 0 C (4,50),(18,24) ˆy bx a= + ˆy bx a= +我们将表中给出的自变量 的六个值带入直线方程,得到相应的六个 的值: .这六个值与表中相应的实际值应该越 接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和 说明： 是直线 与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平 方和,可以用来衡量直线 与图中六个点的接近程度,所以,设法取 的 值,使 达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法)（method of least square）. 先把 看作常数,那么 是关于 的二次函数.易知,当 时, 取得最小值.同理, 把 看作常数,那么 是关于 的二次函数.当 时, 取得最小值.因此,当 时， 取的最小值，由此解得 .所求直线方程为 .当 时, ,故当气温为 时,热茶销量约为 杯. 2．线性相关关系： 像这样能用直线方程 近似表示的相关关系叫做线性相关关系(liner correlation). 3．线性回归方程： 一般地,设有 个观察数据如下： … … x ˆy 26 ,18 ,13 ,10 ,4 ,b a b a b a b a b a b a+ + + + + − + 2 2 2 2 2 2 ( , ) (26 20) (18 24) (13 34) (10 38) (4 50) ( 64) Q a b b a b a b a b a b a b a = + − + + − + + − + + − + + − + − + − 21286b= 26 140 3820 460 10172a ab b a+ + − − + ( , )Q a b ˆy bx a= + ˆy bx a= + ,a b ( , )Q a b a Q b 140 3820 2 1286 ab −= − × Q b Q a 140 460 12 ba −= − Q 140 3820 2 1286 140 460 12 ab ba − = − × − = − Q 1.6477, 57.5568b a≈ − ≈ ˆ 1.6477 57.5568y x= − + 5x = − ˆ 66y ≈ 5− 0 C 66 ˆy bx a= + n x 1x 2x 3x nx y 1y 2y 3y ny当 使 取得最小值时,就 称 为拟合这 对数据的线性回归方程（linear regression equation）, 该方程所表示的直线称为回归直线． 上述式子展开后，是一个关于 的二次多项式，应用配方法，可求出使 为 最小值时的 的值．即 结论： ,（*） , 说明：公式（*）的推导比较复杂，这里不作要求． 四、数学运用 例题　 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动 车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线 性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由． 机动车辆数 ／千台 95 110 112 120 129 135 150 180 交通事故数 ／千件 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 1．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据（单位：10 t）试分别估计 1996 年和 2004 年我国居民生活污水排放量． 年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 排放量 151 189.1 194.8 203.8 220.9 227.7 232.3 ,a b 2 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n nQ y bx a y bx a y bx a= − − + − − + + − − ˆy bx a= + n ,a b Q ,a b 1 1 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) n n n i i i i i i i n n i i i i n x y x y b n x x a y bx = = = = =  −  = −  = − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = n i ixnx 1 1 ∑ = = n i iyny 1 1 x y 32.一个工厂在某年里每月产品的总成本 y(单位：万元)与月产量（单位：万件） 之间有如下一组数据： x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 （1）画出散点图； （2）求线性回归方程． 五、归纳整理，整体认识 1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形， 再依系数 的计算公式，算出 ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术 手段，认真细致，谨防计算中产生错误． 2.求线性回归方程的步骤： ①计算平均数 ；②计算 的积，求 ；③计算 ；④将结果 代入公式求 ；⑤用 求 ；⑥写出回归方程 ,a b ,a b yx, ii yx 与 ∑ ii yx ∑ 2 ix a xayb −= b