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5.3 用待定系数法确定二次函数表达式
教学目标：1．通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求二次函数表达式的方
法；
2．能灵活的根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化；
3．从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣．
教学重点：会用待定系数法求二次函数的表达式．
教学难点：会选用适当方法求二次函数的表达式．
一、课前专训
1．二次函数关系式有哪几种表达方式？
2．还记得我们是怎样求一次函数和反比例函数的表达式吗？
二、新知
活动一：
由一般式 确定二次函数的表达式．
例 1：已知二次函数 的图像经过点 ,求 的值．
例 2：已知二次函数 的图像经过点 和 ,求 的值．
例 3：已知二次函数 的图像经过点 和 ，求这个二次函数
的表达式．
归纳总结．
求二次函数 的表达式，关键是求出待定系数 的值，由已知条件列出
关于 的方程或方程组，并求出 就可以写出二次函数的表达式．
要求：通过例题讲解，学生交流，学生讲解等方法让学生熟悉二次函数表达式的求法．总结
方法时，让学生明确解题方法及规范解题过程．
活动二：
由顶点式 确定二次函数的表达式．
例 4 已知抛物线的顶点为 ，与 y 轴交点为 ，求抛物线的表达式．
方法一：设抛物线的表达式为 ，函数图像经过点 ，得 ．解得
．
2y ax bx c＝ ＋ ＋
2y ax＝ ( 2 8)－ ， a
2y ax c＝ ＋ ( 2 8)－ ， ( 15)－ ， a c、
2y ax bx c＝ ＋ ＋ ( 3 6) ( 2 1)− − −，、 ， (0 3)−，
2y ax bx c= + + a b c、 、
a b c、 、 a b c、 、
2( )y a x h k＝ ＋ ＋
( 1, 3)− − (0 5)−，
2( 1) 3y a x＝ ＋ － (0, 5)− 5 3a− ＝ －
2a −＝2
所求的抛物线表达式为 ．
方法二：由抛物线的顶点为 ，与 y 轴交点为 ，得 解得
．
所求的抛物线表达式为 ．学生可能还会有不同于以上解法的其他解法，
教师可给予鼓励．
归纳总结．
当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式 ，将 h，k 换为顶点坐标，再
将另一点的坐标代入即可求出 a 的值．
要求：1．使学生能够灵活的选择二次函数的表达式来求函数关系式．
2．通过对比，让学生感受到适当选择函数表达式求解的便捷之处．
3．总结方法，让学生明确解题方法及规范解题过程．
三、小结：
1．已知图像上三点的坐标或给定 x 与 y 的三对对应值，通常选择一般式．
2．已知图像的顶点坐标，对称轴和最值，通常选择顶点式．确定二次函数的表达式时，应
该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式．
四、练习
1、根据下列已知条件，选择合适的方法求二次函数的解析式：
（1）．已知二次函数 的图像经过点 和 ，求这个二次函数的表达
式．
（2）．已知二次函数的图像经过原点，且当 x＝1 时，y 有最小值－1，求这个二次函数的表
达式．
拓展延伸：如图所示，已知抛物线的对称轴是过（3，0）的直线，它与 x 轴交于 A、B 两点，
22( 1) 3y x−＝ ＋ －
( 1 3)− −， (0 5)−，
2
12
4 34
5
b
a
ac b
a
c
− −
− −
−
＝ ，
＝ ，
＝ ，
2
4
5
a
b
c
＝－ ，
＝－ ，
＝－ ．
22 4 5y x x−＝ － －
2( )y a x h k＝ ＋ ＋
2y ax bx＝ ＋ ( 2 8)− ， ( 15)− ，3
与 y 轴交于 C 点，点 A、C 的坐标分别是（8，0）、（0，4），求这个抛物线的表达式
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