吉林省东北师大附中2015-2016学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5-18 “点差法”在解析几何题中的应用教案（新人教A版选修2-1）.doc

课题：“点差法”在解析几何题中的应用 课时：18‎ 课型：复习课 复习引入：‎ 在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.‎ 1 求弦中点的轨迹方程 例1 已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.‎ 解 设弦的两个端点分别为，的中点为.‎ 则，（1），（2）‎ 得：，‎ ‎.‎ 又，.‎ 弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知椭圆内）.‎ 例2 直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 .‎ 解 设，中点，则.‎ ‎，过定点，.‎ 又，（1），（2）‎ - 5 -‎ 得：，‎ ‎.‎ 于是，即.‎ 弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知抛物线内）.‎ 1 求曲线方程 例3 已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程.‎ 解 由已知抛物线方程得.设的中点为，则三点共线，且，分所成比为，于是，‎ 解得，.‎ 设，则.‎ 又，（1），（2）‎ 得：，.‎ 所在直线方程为，即.‎ 例4 已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的中点为，求椭圆方程.‎ 解 设，则，且，（1）‎ - 5 -‎ ‎，（2）得：，，，，（3）又，，（4）‎ 而，（5）由（3），（4），（5）可得，‎ 所求椭圆方程为.‎ 1 求直线的斜率 例5 已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.（1）求证：；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率.‎ ‎（1）证 略.‎ ‎（2）解 ，设线段的中点为.‎ 又在椭圆上， ，（1），（2）‎ 得：，‎ ‎.‎ 直线的斜率，直线的方程为.令，得，即，直线的斜率.‎ 2 确定参数的范围 - 5 -‎ 例6 若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.‎ 解 当时，显然满足.‎ 当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为，且的中点为，则，（1），（2）得：，，‎ 又，.‎ 中点在直线上，，于是.中点在抛物线区域内 ‎，即，解得.‎ 综上可知，所求实数的取值范围是.‎ 1 证明定值问题 例7 已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值.‎ 证明 设且，‎ 则，（1），（2）‎ 得：，‎ ‎，.‎ 又，，（定值）.‎ 2 处理存在性问题 - 5 -‎ ‎ 例8 已知双曲线，过能否作直线，使与双曲线交于，两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.‎ ‎ 解 假设这样的直线存在，设的坐标分别为，则，，又，（1），（2）‎ ‎ 得：，‎ ‎ ‎ ‎ 的斜率 ‎ ‎ 又直线过三点，的方程为 ，即.‎ ‎ 但若将代入整理得方程，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.‎ ‎ ‎ - 5 -‎