专题3.1 函数的概念及其表示 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）原卷版

专题3.1函数的概念及其表示新课程考试要求1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.核心素养培养学生数学抽象（例1.3）、数学运算（例2--12）、数学建模（例9）、直观想象（例5.10）等核心数学素养.考向预测1.分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．2．函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查.【知识清单】1．函数的概念函数两个集合A，B设A，B是两个非空数集对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【考点分类剖析】考点一函数的概念【典例1】【多选题】（2021·浙江高一期末）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（）A．，B．， C．，D．，【规律方法】函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．【变式探究】（2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数是相等函数的是（）A．B．C．D．【易混辨析】1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．2.从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点.考点二：求函数的定义域【典例2】（2019·江苏高考真题）函数的定义域是_____.【典例3】（2021·全国高一课时练习）（1）已知的定义域为，求函数的定义域；（2）已知的定义域为，求的定义域；（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．【规律方法】1.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．【变式探究】1.函数的定义域为（　　）A．B． C．D．2．（2020·河南省高二期中（文））已知函数定义域是，则的定义域是（）A．[0,]B．C．D．【特别提醒】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．高频考点三：求函数的解析式【典例4】（2021·全国高一课时练习）已知f=x2+，则函数f(x)=_______，f（3）=_______．【典例5】（2021·全国高三专题练习）如图所示，函数的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0，4)、(2，0)、(6，4)，求函数的解析式．【规律方法】1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法．4.若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．5.应用题求解析式可用待定系数法求解．【变式探究】1.已知单调函数f(x)，对任意的x∈R都有f[f(x)-2x]=6，则f(2)=()A.2B.4C.6D.8 2．（2021·全国高一课时练习）已知二次函数满足，．（1）求的解析式．（2）求在上的最大值．考点四：求函数的值域 【典例6】函数的值域为（）A．B．C．D．【典例7】【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数的定义域为，值域为，则（）A．函数的定义域为B．函数的值域为C．函数的定义域和值域都是D．函数的定义域和值域都是【典例8】（2021·浙江高一期末）函数的定义域是_________，函数的值域为__________．【规律方法】函数值域的常见求法：(1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．(2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题）(4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则y最小＝f(a)，y最大＝f(b)；若y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则y最小＝f(b)，y最大＝f(a)．②形如y＝ax＋b＋的函数，若ad＞0，则用单调性求值域；若ad＜0，则用换元法．③形如y＝x＋(k＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y＝x＋ (k＞0)的单调减区间为(0，]，单调增区间为[，＋∞)．一般地，把函数y＝x＋(k＞0，x＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(，2)，至于x＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．*(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．高频考点五：分段函数及其应用【典例9】（2021·河南新乡市·高三月考（理））如图，在正方形中，点从点出发，沿向，以每个单位的速度在正方形的边上运动；点从点出发，沿方向，以每秒个单位的速度在正方形的边上运动.点与点同时出发，运动时间为(单位：秒)，的面积为(规定共线时其面积为零，则点第一次到达点时，的图象为（）A．B．C．D．【典例10】（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数若，则的取值范围是__________．【典例11】（2021·全国高一课时练习）对于任意的实数，表示中较小的那个数，若，，则集合_______；的最大值是_______.【典例12】（江苏高考真题）已知实数，函数，若，则a 的值为________【总结提升】1.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；2.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.【变式探究】1.（2021·全国高一课时练习）已知a>，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是（）A．a2+1B．a+C．a-D．a-2.（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x)则f（1）=_______，若f(f(0))=a，则实数a=_______.