专题3.4 幂函数 2022年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(讲)解析版
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专题3.4 幂函数 2022年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(讲)解析版

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资料简介
专题3.4幂函数新课程考试要求1.了解幂函数的概念.掌握幂函数,的图象和性质.2.了解幂函数的变化特征.核心素养培养学生数学抽象(例1)、数学运算(例5--10)、数学建模、逻辑推理(例10)、直观想象(例2.3.4)等核心数学素养.考向预测1.与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外,多在题目中应用函数的图象和性质;2.幂函数的图象与性质的应用.3.在分段函数中考查幂函数的图象和性质.【知识清单】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域RRR[0,+∞){x|x∈R,且x≠0}值域R[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R,且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇【考点分类剖析】考点一:幂函数的概念例1.已知函数f(x)=(m2+2m)·xm2+m-1,m为何值时,f(x)是:(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数. 【答案】(1)m=1.(2)m=-1.(3).(4)-1±.【解析】(1)若f(x)为正比例函数,则,∴m=1.(2)若f(x)为反比例函数,则,∴m=-1.(3)若f(x)为二次函数,则,∴m=.(4)若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,∴m=-1±.【总结提升】形如y=xα的函数叫幂函数,这里需有:(1)系数为1,(2)指数为一常数,(3)后面不加任何项.例如y=3x、y=xx+1、y=x2+1均不是幂函数,再者注意与指数函数的区别,例如:y=x2是幂函数,y=2x是指数函数.【变式探究】(2021·全国高一课时练习)设α∈,则使函数y=xα的定义域为R的所有α的值为()A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3【答案】A【解析】利用幂函数的性质逐一验证选项即可.【详解】当时,函数y=的定义域为,不是R,所以不成立;当时,函数y=的定义域为,不是R,所以不成立;当或时,满足函数y=xα的定义域为R,故选:A.考点二:幂函数的图象例2.(2020·四川省高一期末)若四个幂函数,,,在同一坐标系中的部分图象如图,则、、、的大小关系正确的是() A.B.C.D.【答案】B【解析】由幂函数的图象与性质,在第一象限内,在的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数依次增大,可得.故选:B.例3.若幂函数与在第一象限的图象如图所示,则与的取值情况为()A.B.C.D.【答案】D【解析】在第一象限作出幂函数的图象,在内取同一值,作直线,与各图象有交点,则由“指大图高”,可知如图,故选D. 例4.(2021·浙江高一期末)已知幂函数的图像过点,则________,_________.【答案】【解析】将点的坐标代入解析式求解即可.【详解】由题意知,,所以可得,所以,可知.故答案为:;【总结提升】1.函数y=xα的形式的图象都过点(1,1).它们的单调性要牢记第一象限的图象特征:当α>0时,第一象限图象是上坡递增;当α<0时,第一象限图象是下坡递减.然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可.2.幂函数y=xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”,往往利用待定系数法,求幂指数,得到函数解析式,进一步解题.【变式探究】1.(2020·广西壮族自治区高二月考(文))函数的图像大致是()A.B. C.D.【答案】A【解析】,该函数的定义域为,所以排除C;因为函数为偶函数,所以排除D;又,在第一象限内的图像与的图像类似,排除B.故选A.2.(2020·上海高一课时练习)如图是幂函数的部分图像,已知取这四个值,则于曲线相对应的依次为()A.B.C.D.【答案】A【解析】方法一曲线过点,且在第一象限单调递增,,为.显然对应,对应.曲线过点,且在第一象限单调递减,,为.显然对应,对应. 方法二令,分别代入,得,,所以曲线相对应的依次为.故选:.3.(2020·上海高一课时练习)下列四个结论中,正确的是()A.幂函数的图像过和两点B.幂函数的图像不可能出现在第四象限C.当时,是增函数D.的图像是一条直线【答案】B【解析】幂函数的图像都过点,但不一定过点,如,所以A错;因为当时,所以幂函数的图像不可能出现在第四象限,即B对;当时,不一是增函数,如在上单调递减,所以C错;的图像是一条去掉一点的直线,所以D错.故选:B考点三:幂函数的性质例5.(2021·北京高三其他模拟)已知定义在上的幂函数(为实数)过点,记,,,则的大小关系为()A.B.C.D.【答案】A【解析】首先求出,得到函数的单调性,再利用对数函数的图象性质得到,即得解.【详解】由题得.函数是上的增函数. 因为,,所以,所以,所以.故选:A例6.(2021·贵州省思南中学高三一模(理))已知幂函数,经过点,试确定的值,并求满足条件的实数的取值范围.【答案】,的取值范围为【解析】先根据幂函数的定义求出的值,再根据幂函数的单调性得到不等式组,解得即可.【详解】∵幂函数经过点,∴,即∴=.解得=或=.又∵,∴=.∴,则函数的定义域为,并且在定义域上为增函数.由得解得.∴的取值范围为.例7.(2021·全国高一课时练习)已知偶函数在上是减函数,则整数a的值是________.【答案】2【解析】 由在上是减函数,可得,进而可得结果.【详解】因为在上是减函数,所以,解得,又函数为偶函数,且,当时,为奇函数当时,为偶函数当时,为奇函数;所以故答案为:2【方法技巧】1.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,既不同底又不同次数的幂函数值比较大小:常找到一个中间值,通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断.准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大).当幂的底数不确定时,要注意讨论底数的不同取值情况.【变式探究】1.(2020·四川省高三二模(文))已知点(3,28)在函数f(x)=xn+1的图象上,设,b=f(lnπ),,则a,b,c的大小关系为()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b【答案】D【解析】根据题意,点(3,28)在函数f(x)=xn+1的图象上,则有28=3n+1,解可得n=3;则f(x)=x3+1,易得f(x)在R上为增函数,又由1<lnπ,则有c<a<b.故选:D. 2.(2020·上海高一课时练习)已知幂函数的图像满足,当时,在直线的上方;当时,在直线的下方,则实数的取值范围是_______________.【答案】【解析】当时,幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知,不满足题意当时,幂函数和直线重合,不满足题意当时,幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知,满足题意当时,幂函数和直线第一象限的图像如下 由图可知,满足题意当时,幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知,满足题意综上,故答案为3.(2020·内蒙古自治区高二月考(文))已知函数是幂函数,且在上单调递增,则实数________.【答案】2【解析】∵幂函数f(x)=(m2﹣m﹣1)xm在区间(0,+∞)上单调递增, ∴,解得m=2或-1(舍).故答案为2.考点四:幂函数综合问题例8.(2021·江西高三其他模拟(文))已知函数是幂函数,直线过点,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由幂函数的性质求参数a、b,根据点在直线上得,有且,进而可求的取值范围.【详解】由是幂函数,知:,又在上,∴,即,则且,∴.故选:D.例9.(江苏省高考真题)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为________.【答案】-1或【解析】设点,则 令令(1)当时,时取得最小值,,解得(2)当时,在区间上单调递增,所以当时,取得最小值,解得综上可知:或所以答案应填:-1或.例10.(2020·江西省高一月考)已知幂函数满足.(1)求函数的解析式;(2)若函数,是否存在实数使得的最小值为0?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;(3)若函数,是否存在实数,使函数在上的值域为?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,说明理由.【答案】(1);(2)存在使得的最小值为0;(3).【解析】()∵为幂函数,∴,∴或.当时,在上单调递减,故不符合题意.当时,在上单调递增,故,符合题意.∴. (),令.∵,∴,∴,.当时,时,有最小值,∴,.②当时,时,有最小值.∴,(舍).③当时,时,有最小值,∴,(舍).∴综上.(),易知在定义域上单调递减,∴,即,令,,则,,∴,∴,∴.∵,∴,∴,∴,∴.∵,∴,∴,∴.∴.【变式探究】1.(2019·内蒙古自治区高三月考(理))若幂函数的图象过点,则函数的最大值为() A.B.C.D.-1【答案】C【解析】设幂函数,图象过点,故故,,令,则,,∴时,.故选:C2.(2020·上海高一课时练习)若,求实数a的取值范围.【答案】【解析】由幂函数的定义域为,且满足,所以函数为偶函数,又由幂函数的性质,可得函数在单调递增,在单调递减,又由,则满足,解得或,所以实数a的取值范围.

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