学案3 习题课：交变电流的产生及描述
[学习目标定位] 1.理解交变电流的产生过程，能够求解交变电流的瞬时值.2.理解交变电流图象的物理意义.3.知道交变电流“四值”的区别，会求解交变电流的有效值．
1．线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴匀速转动时产生正弦式交变电流，瞬时值表达式e＝Emsin_ωt(从中性面开始计时)．
2．正弦式交变电流的最大值Em＝nBSω，即最大值由线圈匝数n、磁感应强度B、转动角速度ω及线圈面积S决定，与线圈的形状、转轴的位置无关(填“有关”或“无关”)．
3．线圈在转动过程中的平均电动势，要用法拉第电磁感应定律计算，即＝n.
4．正弦交流电的有效值U＝，I＝.其他非正弦交流电的有效值根据电流的热效应求解.
一、对交变电流产生规律的理解
求解交变电动势瞬时值时：(1)先要计算峰值Em＝nBSω；(2)确定线圈从哪个位置开始转动，以便确定瞬时值表达式是按正弦规律变化还是按余弦规律变化；(3)确定线圈转动的角速度ω(以rad/s作单位)；(4)最后确定感应电动势的瞬时值表达式．
例1 图1甲为小型旋转电枢式交流发电机的原理图．其矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO′匀速转动，线圈的匝数n＝100匝，电阻r＝10 Ω，线圈的两端经集流环与电阻R连接，电阻R＝90 Ω，与R并联的交变电压表为理想电表．在t＝0时刻，线圈平面与磁场方向平行，穿过每匝线圈的磁通量Φ随时间t按图乙所示正弦规律变化．求：
图1
(1)交流发电机产生的电动势最大值；
(2)电动势的瞬时值表达式．
(3)线圈转过 s时电动势的瞬时值．
(4)电路中交变电压表的示数．
解析 (1)交流发电机产生电动势的最大值Em＝nBSω
而Φm＝BS，ω＝，所以Em＝
由Φ－t图线可知，Φm＝2.0×10－2 Wb，T＝0.2 s
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所以Em＝20π V＝62.8 V.
(2)线圈转动的角速度ω＝＝ rad/s＝10π rad/s，由于从垂直中性面处开始计时，所以感应电动势瞬时值表达式为e＝Emcos ωt＝62.8cos (10πt) V
(3)当线圈转过 s时
e＝20πcos (10π×) V＝10π V≈31.4 V
(4)电动势的有效值E＝＝10π V
U＝E＝×10π V＝9π V≈40 V
答案 (1)62.8 V (2)e＝62.8cos (10πt) V (3)31.4 V
(4)40 V
二、交变电流图象的应用
正弦交流电的图象是一条正弦曲线，从图象中可以得到以下信息：
(1)交变电流的峰值Im、Em、周期T、频率f.
(2)可根据线圈转至中性面时电流为零的特点，确定线圈处于中性面的时刻，确定了该时刻，也就确定了磁通量最大的时刻和磁通量变化率最小的时刻．
(3)可根据线圈转至与磁场平行时感应电流最大的特点，确定线圈与中性面垂直的时刻．此时刻也就是磁通量为零的时刻和磁通量变化率最大的时刻．
例2 (双选)如图2所示，图线a是线圈在匀强磁场中匀速转动时所产生的正弦交流电的图象，当调整线圈转速后，所产生正弦交流电的图象如图线b所示，以下关于这两个正弦交流电的说法正确的是( )
图2
A．在图中t＝0时刻穿过线圈的磁通量均为零
B．线圈先后两次转速之比为2∶3
C．交流电a的瞬时值为u＝10sin (5πt) V
D．交流电b的最大值为 V
解析 由题图可知，t＝0时刻线圈均在中性面，穿过线圈的磁通量最大，A错误；由题图可知Ta∶Tb＝2∶3，故na∶nb＝3∶2，B错误；由题图可知，C正确；因ωa∶ωb＝3∶2，交流电最大值Um＝nBSω，故Uma∶Umb＝3∶2，Umb＝Uma＝ V，D正确．
答案 CD
三、交变电流有效值的计算
求解有效值的一般方法和技巧：
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(1)首先要分析交变电流的变化规律，正弦式交变电流的最大值和有效值的关系是I＝、U＝，非正弦式交变电流一般不符合此关系．
(2)对于非正弦式交变电流，可在一个周期内分段求出产生的热量，再求热量的总和Q.将总热量Q用相应的物理量I或U来表示(如Q＝I2RT或Q＝T)，则I或U为非正弦式交变电流的相应有效值．
例3 (单选)如图3表示一交流电电流随时间变化的图象，其中电流的正值为正弦曲线的正半周，其最大值为Im；电流的负值强度为Im，则该交流电的有效值为 ( )
图3
A. B.Im C．Im D.Im
解析 根据有效值的定义，取一个周期T，则
Q＝()2R＋IR＝I2RT
解得：I＝Im，故选D.
答案 D
四、交变电流“四值”的应用比较
交变电流的四值，即峰值、有效值、瞬时值、平均值，在不同情况下的使用：
(1)在研究电容器的耐压值时，只能用峰值．
(2)在研究交变电流做功、电功率及产生的热量时，只能用有效值，交流电表显示的也是有效值．
(3)在研究交变电流通过导体横截面的电荷量时，只能用平均值．
(4)在研究某一时刻线圈受到的安培力时，只能用瞬时值．
特别提醒 (1)交变电流的平均值是针对某一过程的物理量，在不同的时间内平均值一般不相同．
(2)平均电动势不等于初、末两时刻瞬时值的平均值，必须用法拉第电磁感应定律计算即＝n.
例4 一个电阻为r、边长为L的正方形线圈abcd共N匝，线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴OO′以如图4所示的角速度ω匀速转动，外电路电阻为R.
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图4
(1)写出此刻线圈感应电流的方向．
(2)线圈转动过程中感应电动势的最大值为多大？
(3)线圈平面与磁感线夹角为60°时的感应电动势为多大？
(4)设发电机由柴油机带动，其他能量损失不计，线圈转一周柴油机做多少功？
(5)从图示位置开始，线圈转过60°的过程中通过R的电荷量是多少？
(6)图中电流表和电压表的示数各是多少？
解析 (1)由右手定则可判定电流的方向沿adcba.
(2)Em＝NBSω＝NBωL2.
(3)线圈平面与B成60°角时的瞬时感应电动势
e＝Emcos 60°＝NBωL2.
(4)电动势的有效值E＝.
电流的有效值I＝，由于不计能量损失，柴油机做的功全部转化为电能，线圈转一周，柴油机做的功
W＝EIt＝t＝·＝.
(5)通过R的电荷量
q＝·Δt＝·Δt
＝N＝＝
(6)电流表示数I＝＝＝
电压表示数U＝IR＝
答案 见解析
1．(交变电流图象的应用)(双选)图5甲、乙分别表示两种电压的波形，其中甲电压按正弦规律变化．下列说法正确的是( )
图5
A．甲表示交流电，乙表示直流电
B．两种电压的有效值相等
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C．甲电压的瞬时值表达式为u＝311sin (100πt) V
D．甲交变电流的有效值比乙交变电流的有效值大
答案 CD
解析 两题图中电压的大小和方向都随时间变化，在t轴的上方为正，下方为负，A错．有效值E＝只对正弦交流电适用，将两个图象叠放在一起，可以看出两个交变电流的最大值相等，甲对应的有效值大，所以B错，D对．由题图甲可知C对．
2．(交变电流有效值的计算)(单选)如图6所示，图甲和图乙分别表示正弦脉冲波和方波的交变电流与时间的变化关系．若使这两种电流分别通过两个完全相同的电阻，则经过1 min的时间，两电阻消耗的电功之比W甲∶W乙为( )
图6
A．1∶ B．1∶2
C．1∶3 D．1∶6
答案 C
解析 电功的计算，I要用有效值计算，题图甲中，由有效值的定义得()2R×2×10－2＋0＋()2R×2×10－2＝IR×6×10－2，得I1＝ A；题图乙中，I的值不变，故I2＝1 A，由W＝UIt＝I2Rt可以得到W甲∶W乙＝1∶3.C正确．
3．(对交变电流产生规律的理解)如图7所示，在匀强磁场中有一个“π”形导线框可绕AB轴转动，已知匀强磁场的磁感应强度B＝T，线框的CD边长为20 cm，CE、DF长均为10 cm，转速为50 r/s.若从图示位置开始计时：
图7
(1)写出线框中感应电动势的瞬时值表达式；
(2)在e－t坐标系中作出线框中感应电动势随时间变化关系的图象．
答案 (1)e＝10cos (100πt) V (2)见解析图
解析 (1)线框转动，开始计时的位置为线圈平面与磁感线平行的位置，在t时刻线框转过的角度为ωt，此时刻e＝Bl1l2ωcos ωt，即e＝BSωcos ωt，其中B＝ T，S＝0.1×0.2 m2＝0.02 m2，ω＝2πn＝2π×50 rad/s＝100π rad/s，
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故e＝×0.02×100πcos (100πt) V，
即e＝10cos (100πt) V.
(2)线框中感应电动势随时间变化关系的图象如图所示．
4．(交变电流“四值”的应用比较)如图8所示，单匝线圈在匀强磁场中绕OO′轴从图示位置开始匀速转动．已知从图示位置转过时，线圈中电动势大小为10 V，求：
图8
(1)交变电动势的峰值；
(2)交变电动势的有效值；
(3)与线圈相接的交流电压表的示数．
答案 (1)20 V (2)10 V (3)10 V
解析 (1)图示位置为中性面，从此时开始计时，交变电动势的瞬时值为e＝Emsin ωt，
将ωt＝，e＝10 V代入上式，求得
Em＝20 V.
(2)此电流为正弦交变电流，所以交变电动势的有效值
E＝＝ V＝10 V.
(3)此交流电压表测的是电动势的有效值，大小为10 V.
题组一 对交变电流产生规律的理解
1．(单选)如图1所示，在水平方向的匀强磁场中，有一单匝矩形导线框可绕垂直于磁场方向的水平轴转动．在线框由水平位置以角速度ω匀速转过90°的过程中，穿过线框面的最大磁通量为Φ，已知导线框的电阻为R，则下列说法中正确的是 ( )
图1
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A．导线框转到如图所示的位置时电流的方向将发生改变
B．导线框转到如图所示的位置时电流的方向为badc
C．以图中位置作为计时起点，该导线框产生的交流电瞬时值表达式为e＝Φωsin ωt
D．以图中位置作为计时起点，该导线框产生的交流电瞬时值表达式为e＝Φωcos ωt
答案 D
2．(单选)面积均为S的两个电阻相同的线圈，分别放在如图2甲、乙所示的磁场中，甲图中是磁感应强度为B0的匀强磁场，线圈在磁场中以周期T绕OO′轴匀速转动，乙图中磁场变化规律为B＝B0cos t，从图示位置开始计时，则 ( )
图2
A．两线圈的磁通量变化规律相同
B．两线圈中感应电动势达到最大值的时刻不同
C．经相同的时间t(t＞T)，两线圈产生的热量不同
D．从此时刻起，经T/4时间，流过两线圈横截面的电荷量不同
答案 A
解析 甲图中的磁通量变化规律为Φ甲＝B0Scos t，乙图中磁通量的变化规律为Φ乙＝B0Scos t.由于两线圈中的磁通量变化规律相同，则两线圈中感应电动势的变化规律相同，达到最大值的时刻也相同，有效值E也相同，又因两线圈电阻相同，所以Q＝t也相同，经过时间，流过两线圈横截面的电荷量q＝·也相同，故A正确．
题组二 交变电流图象的应用
3．(单选)某台家用柴油发电机正常工作时能够产生与我国照明电网相同的交变电流．现在该发电机出现了故障，转子匀速转动时的转速只能达到正常工作时的一半，则它产生的交变电动势随时间变化的图象是 ( )
答案 B
解析 线圈转速为正常时的一半，据ω＝2πn＝知，周期变为正常时的2倍，又据Em＝nBSω知，最大值变为正常时的一半，结合我国电网交流电实际情况，知正确选项为B.
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4．(单选)一矩形金属线圈共10匝，绕垂直磁场方向的转轴在匀强磁场中匀速转动，线圈中产生的交变电动势e随时间t变化的情况如图3所示，下列说法中正确的是 ( )
图3
A．此交流电的频率为0.2 Hz
B．此交变电动势的有效值为1 V
C．t＝0.1 s时，线圈平面与磁场方向平行
D．在线圈转动过程中，穿过线圈的最大磁通量为 Wb
答案 D
解析 由题图可知，此交流电的周期T＝0.2 s，频率f＝＝5 Hz，A错误．E＝＝ V，B错误．t＝0.1 s时，感应电动势为0，线圈平面与磁感线垂直，C错误．因Em＝nBSω，其中n＝10，ω＝＝10π rad/s，故Φ＝BS＝ Wb，D正确．
5．(单选)如图4(a)所示，一矩形线圈abcd放置在匀强磁场中，并绕过ab、cd中点的轴OO′以角速度ω逆时针匀速转动．若以线圈平面与磁场夹角θ＝45°时为计时起点，如图(b)所示，并规定当电流自a流向b时电流方向为正．则下列所示的四幅图中能正确描述该电流的是( )
图4
答案 D
解析 由楞次定律知，t＝0时，感应电流方向为负，线圈平面与中性面的夹角为－θ＝，线圈再转过到达中性面，所以，在线圈转过的过程中电流在减小，转过的角度α＝
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时，i＝0，因而只有D项正确．
题组三 交变电流有效值的计算
6．(单选)如图5所示是一交变电流的i－t图象，则该交变电流的有效值为 ( )
图5
A．4 A
B．2 A
C. A
D. A
答案 D
解析 根据有效值的定义可得：
()2R·＋(4)2R＝I2RT，
解得：I＝ A，故选D.
7．(单选)如图6所示，A、B是两个完全相同的电热器，A通以图甲所示的方波交变电流，B通以图乙所示的正弦交变电流，则两电热器的电功率PA∶PB等于 ( )
图6
A．5∶4 B．3∶2 C.∶1 D．2∶1
答案 A
解析 设方形波的有效值为I1，则IR＋IR＝IRT，解得：I1＝ I0
正弦交流电有效值为：I2＝
所以PA∶PB＝IR∶IR＝5∶4，故选A.
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题组四 交变电流“四值”的应用比较
8．(双选)如图7所示，单匝矩形线圈放置在磁感应强度为B的匀强磁场中，以恒定的角速度ω绕ab边转动，磁场方向垂直于纸面向里，线圈所围面积为S，线圈导线的总电阻为R.t＝0时刻线圈平面与纸面重合．则( )
图7
A．线圈中电流t时刻瞬时值表达式为i＝cos ωt
B．线圈中电流的有效值为I＝
C．线圈中电流的有效值为I＝
D．线圈消耗的电功率为P＝
答案 CD
解析 回路中感应电动势最大值Em＝BSω，电流最大值Im＝＝，t＝0时线圈在中性面，故电流瞬时值表达式i＝sin ωt.线圈中电流的有效值I＝＝，P＝I2R＝，故A、B错误，C、D正确．
9.如图8所示，在匀强磁场中有一个内阻r＝3 Ω、面积S＝0.02 m2的半圆形导线框可绕OO′轴旋转．已知匀强磁场的磁感应强度B＝ T．若线框以ω＝100π rad/s的角速度匀速转动．且通过电刷给“6 V、12 W”的小灯泡供电，则：
图8
(1)若从图示位置开始计时，求线框中感应电动势的瞬时值表达式；
(2)从图示位置开始，线框转过90°的过程中，流过导线横截面的电荷量是多少？该电荷量与线框转动的快慢是否有关？
(3)由题所给已知条件，判断外电路所接小灯泡能否正常发光？如不能，则小灯泡实际功率为多大？
答案 (1)e＝10cos (100πt) V (2) C 无关 (3)不能 W
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解析 (1)线框转动时产生感应电动势的最大值Em＝BSω＝×0.02×100π V＝
10 V
因线框转动从平行于磁感线位置开始计时，则感应电动势的瞬时值表达式
e＝Emcos ωt＝10cos (100πt) V.
(2)线框转过90°的过程中，产生的平均电动势＝.
流过导线横截面的电荷量q＝·Δt＝，
又灯泡电阻R＝＝ Ω＝3 Ω.
故q＝＝ C＝ C，与线框转动的快慢无关．
(3)线框产生的感应电动势的有效值E＝＝10 V，灯泡两端电压U＝R＝5 V.
因U＜6 V，
故灯泡不能正常发光．
其实际功率P＝＝ W＝ W.
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