学案4 研究电场的能的性质(二)
[学习目标定位] 1.理解电势的概念，掌握电势的计算公式.2.知道什么是等势面，掌握等势面的特点.3.掌握电势差与电场强度的关系并会进行有关计算．
一、电势
1．把电荷在电场中某一点的电势能与其电荷量的比值，叫做这一点的电势．
2．定义式：φM＝.单位：V.
3．电势的相对性：电势也具有相对性，常取离场源电荷无限远处或大地的电势为零．
4．电场中任意两点A、B间的电势差可表示为UAB＝φA－φB.
若UAB为正值，表示A点的电势比B点的电势高．若UAB为负值，表示A点的电势比B点的电势低．
二、电势的等势面
1．电场中电势相等的点构成的线(面)叫做等势线(面)．在同一个等势线(面)上移动电荷时，电场力不做功．
2．等势面实例：孤立的点电荷电场的等势面是一簇以点电荷位置为球心的同心球面，匀强电场的等势面是一簇平行平面．
三、电势差与电场强度的关系
1．在匀强电场中，沿场强方向的两点间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积．用公式表示为E＝.
2．电场强度的单位是V/m，也可以是N/C.
一、电势
[问题设计]
1．如图1所示的匀强电场，场强为E，取O点为零势能点，A点距O点为l，AO连线与电场强度反方向的夹角为θ.电荷量分别为q和2q的试探电荷在A点的电势能各为多少？电势能与电荷量的比值是否相同？
图1
答案 由EpA－EpO＝WAO＝Eqlcos θ，知电荷量为q和2q的试探电荷在A点的电势能分别为Eqlcos θ、2Eqlcos θ；虽然电势能不同，但电势能与电荷量的比值相同，都为Elcos θ.
2．电势能与电荷量的比值与试探电荷的电荷量是否有关系？
答案 没有关系．
3．电场中两点间的电势差与两点的电势之间有怎样的关系？UAB与UBA意义是否相同？
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答案 A、B两点间的电势差与A、B两点的电势的关系为：
UAB＝φA－φB
同理UBA＝φB－φA
所以UAB＝－UBA.
UAB与UBA所表示的意义不相同．
[要点提炼]
1．电场中某点的电势φ＝，在计算时应代入各自的正负号．
2．电势的标量性：电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负之分，电势为正表示比零电势高，电势为负表示比零电势低．
3．电势的相对性：零电势点的选取原则：一般选大地或无限远处为零电势点，只有选取了零电势点才能确定某点的电势大小．
4．电势是描述电场性质的物理量，决定于电场本身，与试探电荷无关．
5．判断电势高低的方法：(1)利用电场线：沿着电场线方向电势逐渐降低(此为主要方法)；
(2)利用公式φ＝判断，即在正电荷的电势能越大处，电势越高，负电荷电势能越大处，电势越低．
[延伸思考] 选取不同的零电势参考面，电场中某两点的电势会不同，两点之间的电势差也会随之改变吗？
答案 不会，电势差与零电势面的选取无关．
二、等势面
[要点提炼]
1．电场中电势相同的各点构成的面叫等势面．
2．等势面的特点：
(1)在等势面上移动电荷时，电场力不做功．
(2)电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面．
(3)等势面密的地方，电场强度较强；等势面疏的地方，电场强度较弱．
(4)任意等势面不相交．
[延伸思考] 请大致画出点电荷、等量异号点电荷、等量同号点电荷和匀强电场的等势面．简述它们的特点？
答案
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(1)点电荷的等势面：点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面．
(2)等量异号点电荷的等势面：等量异号点电荷的连线上，从正电荷到负电荷电势越来越低，中垂线是一等势线．
(3)等量同号点电荷的等势面：等量正点电荷连线的中点电势最低，中垂线上该点的电势最高，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越低．连线上和中垂线上关于中点的对称点等势．等量负点电荷连线的中点电势最高，中垂线上该点的电势最低．从中点沿中垂线向两侧，电势越来越高，连线上和中垂线上关于中点的对称点等势．
(4)匀强电场的等势面：匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇平行等间距的平面．
说明：等势面密集处电场线也密集．任意两个等势面不会相交．
三、电势差与电场强度的关系
[问题设计]
如图2所示的匀强电场中有A、B两点，A、B两点位于同一条电场线上，B、C连线垂直电场线，已知场强大小为E，A、B两点间的电势差为UAB，A、B间距离为d，电荷q从A点移动到B点，回答下列问题：
图2
(1)电荷所受电场力是多少？从力和位移的角度计算电场力所做功的大小．通过A、B间的电势差计算电场力做功的大小．
(2)比较两次计算的功的大小，电势差与电场强度有何关系？
(3)在图2中，如果将电荷从A点移动到C点．再利用(1)问的推导过程试着推导，能获得何结论？(已知AB与AC的夹角为θ)
答案 (1)F＝qE WAB＝Fd＝qEd WAB＝qUAB
(2)UAB＝Ed
(3)WAC＝qELcos θ＝qEd，WAC＝qUAC，UAC＝Ed
[要点提炼]
1．公式U＝Ed只适用于匀强电场，其中d为A、B两点沿电场方向的距离．
2．电场中A、B两点的电势差UAB跟电荷移动的路径无关，由电场强度E及A、B两点沿电场方向的距离d决定．
3．公式E＝说明电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，且场强方向就是电势降低最快的方向．
4．在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等；在匀强电场中，相互平行且长度相等的线段两端点的电势差相等．
[延伸思考] 公式U＝Ed是在匀强电场中得到的，在非匀强电场中能否适用？
答案 在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题．
一、对电场力做功与电势能、电势、电势差关系
例1 有一个带电荷量q＝－3×10－6 C的点电荷，从某电场中的A点移到B点，电荷克服电场力做6×10－4 J的功，从B点移到C点，电场力对电荷做9×10－4 J的功，问：
(1)AB、BC、CA间电势差各为多少？
10
(2)如以B点电势为零，则A、C两点的电势各为多少？电荷在A、C两点的电势能各为多少？
解析 (1)解法一：先求电势差的绝对值，再判断正、负．
|UAB|＝＝ V＝200 V，
因负电荷从A移到B克服电场力做功，必是从高电势点移到低电势点，即φA＞φB，UAB＝200 V.
|UBC|＝＝ V＝300 V，
因负电荷从B移到C电场力做正功，必是从低电势点移到高电势点，即φB＜φC，UBC＝－300 V.
UCA＝UCB＋UBA＝－UBC＋(－UAB)＝300 V－200 V＝100 V.
解法二：直接取代数值求．
电荷由A移向B克服电场力做功，即电场力做负功，
WAB＝－6×10－4 J，
UAB＝＝ V＝200 V.
电荷从B到C电场力做正功，
UBC＝＝ V＝－300 V.
UCA＝UCB＋UBA＝－UBC＋(－UAB)＝300 V－200 V＝100 V.
(2)若φB＝0，由UAB＝φA－φB，得φA＝UAB＝200 V.
由UBC＝φB－φC，得φC＝φB－UBC＝0－(－300) V＝300 V.
电荷在A点的电势能
EpA＝qφA＝－3×10－6×200 J＝－6×10－4 J.
电荷在C点的电势能
EpC＝qφC＝－3×10－6×300 J＝－9×10－4 J.
答案 见解析
二、对电势和电势差的理解
例2 如图3所示，某电场的等势面用实线表示，各等势面的电势分别为10 V、6 V和－2 V，则UAB＝________，UBC＝________，UCA＝________.
图3
解析 由电势差的定义可知：因A、B两点在同一个等势面上，
故有φA＝φB＝10 V，φC＝－2 V，
所以UAB＝φA－φB＝(10－10)V＝0.
B、C间的电势差为
UBC＝φB－φC＝[10－(－2)] V＝12 V.
C、A间的电势差为
10
UCA＝φC－φB＝(－2－10) V＝－12 V.
答案 0 12 V －12 V
三、对电势差与电场强度关系的理解
例3 如图4所示，P、Q两金属板间的电势差为50 V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10 cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4 cm.求：
图4
(1)P板及A点的电势．
(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5 cm，则A点的电势将变为多少？
解析 板间场强方向水平向左，可见Q板是电势最高处．Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值．利用公式E＝可求出板间匀强电场的场强，再由U＝Ed可求出各点与Q板间的电势差，即各点的电势．
(1)场强E＝＝ V·m－1＝5×102 V·m－1
Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2 V＝30 V
所以A点电势φA＝－30 V，P点电势φP＝UPQ＝－50 V
(2)当Q板向左平移5 cm时，两板间距离d″＝(10－5) cm＝5 cm
Q板与A点间距离变为d＝(10－4) cm－5 cm＝1 cm
电场强度E′＝＝ V·m－1＝1.0×103 V·m－1
Q、A间电势差UQA′＝E′d＝1.0×103×1.0×10－2 V＝10 V
所以A点电势φA＝－10 V
答案 (1)－50 V －30 V (2)－10 V
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1．(对电势差与电场强度的理解)对公式E＝的理解，下列说法正确的是( )
A．此公式适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差
B．A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大
C．公式中的d是指A点和B点之间的距离
D．公式中的d是A、B所在两个等势面间的垂直距离
答案 D
解析 公式E＝，仅适用于匀强电场，所以A错；公式中的d是指A、B两点沿电场线方向的距离，即A、B所在两等势面间的垂直距离．所以B、C均错，D对．
2．(对电势和电势差的理解)在电场中A、B两点间的电势差UAB＝75 V，B、C两点间的电势差UBC＝－200 V，则A、B、C三点的电势高低关系为( )
A．φA＞φB＞φC B．φA＜φC＜φB
C．φC＞φA＞φB D．φC＞φB＞φA
解析 UAB＝75 V，φA－φB＝75 V，φA＝φB＋75 V；UBC＝－200 V，φB－φC＝－200 V，φC＝φB＋200 V；φC＞φA＞φB.
答案 C
3．(对等势面的理解)位于A、B处的两个带有不等量负电的点电荷在平面内的电势分布如图5所示，图中实线表示等势线，则( )
图5
A．a点和b点的电场强度相同
B．正电荷从c点移到d点，电场力做正功
C．负电荷从a点移到c点，电场力做正功
D．正电荷从e点沿图中虚线移到f点，电势能先减小后增大
答案 CD
解析 等差等势面越密的地方，电场线越密，电场线的疏密表示电场的强弱；正电荷从c点移到d点，电场力做负功；负电荷从a点移到c点，电场力做正功；正电荷从e点沿图中虚线移到f点，电场力先做正功，后做负功，故电势能先减小后增大．
题组一 对电势和电势差的理解
1．关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是( )
A．UAB表示B点与A点之间的电势差，即UAB＝φB－φA
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B．UAB和UBA是不同的，它们有关系：UAB＝－UBA
C．φA、φB都有正负，所以电势是矢量
D．零电势点的规定虽然是任意的，但人们常常规定大地和无限远处为零电势点
答案 BD
2．下列关于电场的描述，正确的是( )
A．电场中某点电势的大小、正负与零电势点的选取有关
B．电场中某两点间的电势差与零电势点的选取有关
C．同一点电荷处于电场中的不同位置时，具有的电势能越大，说明那一点的电势越高
D．同一点电荷在电场中任意两点间移动时，只要电场力做的功相同，那么两点间的电势差一定相同
答案 AD
解析 电场中某两点间的电势差与零电势点的选取无关；对负电荷而言，它在电场中具有的电势能越大，说明该点电势越低，故B、C错，A、D对．
3.如图1所示，a、b、c是氢原子的核外电子绕核运动的三个可能轨道，取无限远电子的电势能为零，电子在a、b、c三个轨道时对应的电势能分别为－13.6 eV，－3.4 eV，－1.51 eV，由于某种因素(如加热或光照)的影响，电子会沿椭圆轨道跃迁到离核更远的轨道上运动，则：
图1
(1)φa＝________，φb＝________，φc＝________.
(2)Uab＝________，Ubc＝________.
答案 (1)13.6 V 3.4 V 1.51 V (2)10.2 V 1.89 V
解析 (1)电子的带电荷量q＝－e，据电势的定义φ＝得，φa＝＝＝13.6 V，
同理φb＝3.4 V，φc＝1.51 V.
(2)Uab＝φa－φb＝(13.6－3.4) V＝10.2 V
Ubc＝φb－φc＝1.89 V.
题组二 对等势面、电场线、场强的理解
4．关于等势面的说法，正确的是( )
A．电荷在等势面上移动时，由于不受电场力作用，所以说电场力不做功
B．在同一个等势面上各点的场强大小相等
C．两个不等电势的等势面可能相交
D．若相邻两等势面的电势差相等，则等势面的疏密程度能反映场强的大小
解析 等势面由电势相等的点组成，等势面处的电场线跟等势面垂直，因此电荷在等势面上移动时，电场力不做功，但并不是不受电场力的作用，A错．等势面上各点场强大小不一定相等，等势面不可能相交，B、C错．等差等势面的疏密反映场强的大小，D对．
答案 D
5．下列四个图中，a、b两点电势相等、电场强度也相等的是( )
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答案 D
解析 匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇等间距的平行平面，A中a、b两点不在同一等势面上，所以，这两点的电势是不相等的，但这两点的场强相等；B中a、b两点在同一个等势面上，电势相等，但这两点的场强大小相等、方向不同；C中a、b两点对称于两电荷的连线，所以电势相等，但在中垂线上场强的方向是平行于中垂线的，而且都指向外侧，故两点的场强的方向不同；在D中，a、b两点的电势相等，场强的方向是沿连线的，而且方向相同、大小相等，故本题选D.
6．如图2所示，B、C、D三点都在以点电荷＋Q为圆心的某同心圆弧上，将一试探电荷从A点分别移到B、C、D各点时，电场力做功大小比较( )
图2
A．WAB>WAC B．WAD>WAB
C．WAC＝WAD D．WAB＝WAC
答案 CD
解析 点电荷的等势面为同心球面，故B、C、D三点位于同一等势面上，故UAB＝UAC＝UAD，将同一试探电荷从A点分别移到B、C、D各点，由W＝qU可得电场力做功相同．
7．如图3所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列．A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上．A、C两点的电势依次为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势是( )
图3
A．一定等于6 V B．一定低于6 V
C．一定高于6 V D．无法确定
答案 B
题组三 对电势差与电场强度的关系的理解
8．如图4所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25 cm，由此可确定电场强度的方向及大小为( )
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图4
A．竖直向下，E＝0.4 N/C
B．水平向右，E＝0.4 N/C
C．水平向左，E＝40 N/C
D．水平向右，E＝40 V/m
答案 D
解析 电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低，故场强方向水平向右，场强大小E＝＝ V/m＝40 V/m，故D项正确．
9．如图5所示，沿x轴正向的匀强电场E中，有一动点A以O为圆心，r＝OA为半径做逆时针转动一周，O与圆周上的A点的连线OA与x轴正向(E方向)成θ角，则此圆周上各点与A点间最大的电势差为( )
图5
A．U＝Er B．U＝Er(sin θ＋1)
C．U＝Er(cos θ＋1) D．U＝2Er
答案 C
解析 由U＝Ed知，与A点间电势差最大的点应是沿场强方向与A点相距最远的点，dmax＝r＋rcos θ，所以Umax＝Er(cos θ＋1)，C对．
10．如图6所示的匀强电场场强为103 N/C，ab平行于电场线，ab＝cd＝4 cm，ac＝bd＝3 cm.则下述计算结果正确的是( )
图6
A．ab之间的电势差为40 V
B．ac之间的电势差为50 V
C．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，电场力做的功是－0.25 J
D．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功是0.25 J
答案 A
解析 A项，由U＝Ed得Uab＝103×0.04 V＝40 V；B项，a、c在同一等势面上，所以Uac＝0；C项，将电荷沿abdca移动一周，沿电场方向位移为0，故电场力做功为0；D项，Wad＝Wab＝qUab＝(－5×10－3)×40 J＝－0.2 J，只有A正确．
题组四 电场力做功与电势能、电势差、电势、场强的关系
11．如图7所示的匀强电场E的区域内，由A、B、C、D、A′、B′、C′、D′作为顶点构成一正方体空间，电场方向与面ABCD垂直．下列说法正确的是( )
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图7
A．AD两点间电势差UAD与AA′两点间电势差UAA′相等
B. 带正电的粒子从A点沿路径A→D→D′移到D′点，电场力做正功
C．带负电的粒子从A点沿路径A→D→D′移到D′点，电场势能减少
D．同一带电粒子从A点移到C′点，沿对角线A→C′与沿A→B→B′→C′电场力做功相同
答案 BD
12．如果把q＝1.0×10－8 C的电荷从无穷远处移到电场中的A点，需要克服电场力做功W＝1.2×10－4 J，那么，
(1)q在A点的电势能和A点的电势各是什么？
(2)q未移入电场前A点的电势是多少？
答案 (1)1.2×10－4 J 1.2×104 V (2)1.2×104 V
解析 (1)电场力做负功，电势能增加，无穷远处的电势为零，电荷在无穷远处的电势能也为零，即φ∞＝0，Ep∞＝0.
由W∞A＝Ep∞－EpA得EpA＝Ep∞－W∞A＝0－(－1.2×10－4 J)＝1.2×10－4 J
再由φA＝得φA＝1.2×104 V
(2)A点的电势是由电场本身决定的，跟A点是否有电荷存在无关，所以q未移入电场前，A点的电势仍为1.2×104 V.
13．如图8所示，在匀强电场中，有A、B两点，它们之间的距离为2 cm，两点的连线与场强方向成60°角．将一个电荷量为－2×10－5 C的电荷由A移到B，其电势能增加了0.1 J．问：
图8
(1)在此过程中，电场力对该电荷做了多少功？
(2)A、B两点的电势差UAB为多大？
(3)匀强电场的场强为多大？
答案 (1)－0.1 J (2)5 000 V (3)5×105 V/m
解析 (1)电势能增加多少，电场力就做多少负功，故电场力对电荷做了－0.1 J的功．
(2)由W＝qU，得UAB＝＝ V＝5 000 V.
(3)由U＝Ed，得E＝＝＝5×105 V/m.
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