第三章 圆
3．圆周角和圆心角的关系（二）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在上一节的内容中已掌握了圆心角的定义及圆心角的性质。掌握了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。在上一课时中，了解了同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系。初步了解研究图形的方法，如折叠、轴对称、旋转、证明等。
学生的活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
本节共分2个课时，这是第2课时，主要研究圆周角定理的几个推论，并利用这些解决一些简单问题。具体地说，本节课的教学目标为：
知识与技能
1． 掌握圆周角定理几个推论的内容。
2． 会熟练运用推论解决问题。
过程与方法
1．培养学生观察、分析及理解问题的能力。
2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式。
情感态度与价值观
培养学生的探索精神和解决问题的能力
教学重点：圆周角定理的几个推论的应用。
教学难点：理解几个推论的“题设”和“结论”。
三、教学过程分析
本节课分为五个教学环节：复习引入新课、新知学习、练习、课时小结、布置作业．
第一环节 复习引入新课
活动内容：
（一）复习
1．如图，∠BOC是 角， ∠BAC是 角。若∠BOC=80°，∠BAC= 。
A
B
C
O
第1题图 A
B
C
O
第2题图
2．如图，点A，B，C都 在⊙O上，若∠ABO=65° ，则∠BCA=（ ）
B
A
E
C
D
O
A. 25° B. 32.5° C. 30° D. 45°
（二）引入新课
观察图①，∠ABC， ∠ADC和∠AEC各是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？为什么？
解决上一课时中遗留的问题：如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小是相等的？为什么呢？
因为这三个角都对着AC弧，所以它们相等。
第二环节 新知学习
活动内容：
议一议
1．通过对上面问题的讨论，引导学生总结：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。
提问：如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？
进一步得到：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
问题：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们互相议一议。
2．观察图②，BC是⊙O的直径，它所对和圆周角是锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？观察图③，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？
A
B
C
O
图②
B
C
A
O
图③
由以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
活动目的：
通过互相交流讨论，总结规律。通过老师把问题进一步深化和变化，引导学生得到正确的定理。
实际教学效果：
在教学时注意
（1）“同弧”指“同一个圆”。
（2）“等弧”指“在同圆或等圆中”。
（3）“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”。
第三环节 练习
活动内容
（一）例题讲解
1．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？
A
B
C
D
O
2．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB。BD与CD的大小有什么关系？为什么？
分析：由于AB是⊙O的直径，故连接AD。由直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC=AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BD=CD。
3．船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？
（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？
活动目的：
这个定理的学习是比较容易理解。这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角-----直角；如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题。为了进一步熟悉推论，安排三个例子。
例子1只要通过观察图形，学生就可以得到答案。完成这个例子还可以帮助正确理解这个定理。
例子2是一题推理论证题。由图形AB是⊙O的直径可联系到所对的圆周角是直角，故连接AD，由等腰三角形的三线合一，可证得BD=CD。
例子3这是一个有实际背景的问题。解决这一问题不仅要用到圆周角定理的推论，而且还要应用分类假设的思想。由题意可知：“危险角∠ACB”实际上就是圆周角。船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内，当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证。
实际教学效果：
注意：用反证法证明命题的一般步骤：
（1）假设命题的结论不成立；
（2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾。
（3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
（二）学生练习
1．为什么有些电影院的坐位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。
2．如图，哪个角与∠BAC相等？
A
B
C
D
第2题图 A
B
C
O
第3题图
3．如图。⊙O的直径AB=10 cm，C为⊙O 上的一点，∠ABC=30° ，求AC的长。
第四环节 课时小结
1．要理解好圆周角定理的推论。
2．构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法。
3．要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一。
4．
圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化。但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁。如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角等。
第五环节 布置作业
课本第108页 习题3.5 1、2
四、教学反思
本节充分利用现实生活和数学中的素材，使学生探索与圆有关的概念和性质，尽可能地设计具有挑战性的情境，激发学生求知、探索的欲望。在得出本节结论的过程中，鼓励学生自觉地总结研究图形时所使用的方法。如度量与证明、分类与转化，以及类比等。本节容量较大，教学时要控制好时间。
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