8.4 因式分解
1．了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系，养成逆向思维的能力．
2．理解因式分解的常用方法，能灵活地应用因式分解的常用方法进行因式分解．
3．能用因式分解的知识解决相关的数学及实际问题．
1．因式分解
(1)因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
(2)因式分解的注意事项
①因式分解的实质是多项式的恒等变形，与整式乘法的过程恰好相反，整式乘法是“积化和差”，而因式分解是“和差化积”，利用这种关系可以检验因式分解结果是否正确．
②分解因式的对象必须是多项式，如把5a2bc分解成5a·abc就不是分解因式，因为5a2bc不是多项式；再如把－1分解为也不是分解因式，因为－1不是整式．
③分解因式的结果必须是积的形式，如x2＋x－1＝x(x＋1)－1就不是分解因式，因为结果x(x＋1)－1不是积的形式．
④分解因式结果中每个因式都必须是整式，如x2－x＝x2就不是分解因式，因为x2不是整式的乘积形式．
⑤分解因式的结果中各因式中的各项系数的最大公约数是1.如4x2－6x＝x(4x－6)．结果中的因式4x－6中4和6的公约数不为1，正确的分解结果应是4x2－6x＝2x(2x－3)．
【例1－1】在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是( )．
A．x2y＋x＝x2
B．x2－4－3x＝(x＋2)(x－2)－3x
C．ab2－2ab＝ab(b－2)
D．(x－3)(x＋3)＝x2－9
解析：选项A右边的其中一个因式不是整式，不符合；选项B的结果不是整式的乘积，只分解了一部分；选项D是整式乘法；选项C符合因式分解的意义，故选C．
答案：C
分解因式与整式乘法是两种相反方向的变形过程，即它们互为逆过程，互为逆关系，例如：
n(a＋b＋c)na＋nb＋nc，因式分解是把多项式化为积的形式，注意一要是整式，二要是多项式．
【例1－2】下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？
(1)12a2b＝3a·4ab；
(2)(x＋3)(x－3)＝x2－9；
(3)4x2－8x－1＝4x(x－2)－1；
(4)2ax－2ay＝2a(x－y)；
(5)a2－4ab＋b2＝(a－2b)2.
解：(1)不是分解因式．因为等号左边必须是一个多项式，而12a2b是单项式．
(2)不是分解因式．因为等号左边(x＋3)(x－3)是积的形式，右边x2－9是一个多项式，不符合分解因式的定义．
(3)不是分解因式．因为等号左边虽然是一个多项式，但是等号右边的4x(x－2)－1不是整式积的形式．
(4)是分解因式．因为等号左边2ax－2ay是一个多项式，且等号右边2a(x－y)是整式积的形式．
(5)不是分解因式．因为分解因式是多项式的恒等变形，左右两边必须相等，而此题左边＝a2－4ab＋b2；右边＝(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2.因为左、右两边不相等，即不是恒等变形，当然不是分解因式．
判断一个式子由左到右的变形是不是分解因式，关键看它是不是把多项式变形为几个整式积的形式，也就是说，变形后第一必须是整式；第二必须是乘积的形式．
2．因式分解的基本方法——提公因式法
(1)公因式的意义
多项式中的每一项都含有一个相同因式，这个相同因式叫做这个多项式各项的公因式．如多项式ab＋ac＋ad中，各项都含有因式a，故a是这个多项式的公因式．
(2)公因式的确定
准确地确定公因式，是运用提公因式法因式分解的关键．确定一个多项式各项的公因式，其方法如下：
①确定公因式系数，即数字因数．当各项系数都是整数时，取各项的最大公约数作为公因式的系数；当各项系数中有分数时，则公因式的系数为分数，分母取各项系数分母的最小公倍数，分子取各项系数分子的最大公约数．
②确定公因式的字母及字母指数．公因式的字母应是多项式各项都含有的字母，其指数取最低的．如：多项式4x4＋6x2＋12x3y中，系数的最大公约数是2，相同字母为x，它的最低指数是2，所以这个多项式的公因式应为2x2.
③注意：公因式可能是单项式，也可能是多项式．当公因式是多项式时，要把这个多项式看作一个整体，这时要注意符号的变化，经常用的变形有：
(b＋a)n＝(a＋b)n(n为正整数)，
(b－a)n＝(a－b)n(n为偶数)，
(b－a)n＝－(a－b)n(n为奇数)．
【例2－1】指出下列各多项式中各项的公因式：
(1)4x2y3z＋12x3y4；
(2)(x＋1)2y3－12(x＋1)3y4；
(3)12xny2n＋16xn－1yn＋1(n为大于1的整数)．
解：(1)系数4和12的最大公约数为4，相同字母有x和y，x的最低次数是2，y的最低次数是3，所以公因式为4x2y3.
(2)系数和12，分母的最小公倍数是7，分子的最大公约数是4，所以公因式的系数为，有相同的因式(x＋1)和相同的字母y，(x＋1)的最低次数是2，y的最低次数是3，因此公因式是(x＋1)2y3.
(3)系数12和16的最大公约数是4，相同的字母是x和y，而指数n＞n－1,2n＞n＋1，因此，公因式是4xn－1yn＋1.
(3)提公因式法
①如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而把多项式化成两个整式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法．
我们在学习乘法分配律时知道，m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc，现在把它反过来就有ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，这正是提公因式法，可见提公因式法在实质上是逆用乘法分配律．
②提公因式法的步骤
运用提公因式法分解因式一般分为三步：
第一步，确定公因式；
第二步，把多项式的各项写成含公因式的乘积形式；
第三步，把公因式提到括号前面，余下的项写在括号内．
(1)若首项系数为负数时，一般先要提出“－”，但要注意，此时多项式的各项都要变号，如－x2－2x＝－x(x＋2)；
(2)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能含有公因式；
(3)提出公因式后，另一个因式必须化简整理，不能带有中括号，如2x(y－z)2－4y(y－z)3＝2(y－z)2[x－2y(y－z)]＝2(y－z)2(x－2y2＋2yz)；
(4)多项式中各项的公因式要一次提尽；
(5)公因式提取后，要用整式乘法来检验是否正确．
【例2－2】把下列各式分解因式：
(1)2(m－n)2－m(n－m)；
(2)5a(x－y)2＋10a(y－x)3.
分析：(1)观察该多项式，可发现其没有公因式，但是(n－m)可以变形为－(m－n)，从而原式变形为2(m－n)2＋m(m－n)，这样每一项都含有多项式(m－n)，且(m－n)的最低次数是1，所以变形后的多项式的公因式是(m－n)．
(2)这个多项式的两项的系数有公约数5，含有字母a，并且含有多项式x－y，因此该多项式的公因式是5a(x－y)2.还要注意(y－x)3＝－(x－y)3的变形．
解：(1)2(m－n)2－m(n－m)
＝2(m－n)2＋m(m－n)＝(m－n)(2m－2n＋m)＝(m－n)(3m－2n)．
(2)5a(x－y)2＋10a(y－x)3
＝5a(x－y)2－10a(x－y)3
＝5a(x－y)2[1－2(x－y)]
＝5a(x－y)2(1－2x＋2y)．
3．因式分解的基本方法——公式法
(1)公式法的意义：利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解的方法叫做公式法．
(2)公式的结构特征
运用公式法的关键是熟悉公式的结构特征．
①平方差公式的特征：左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，右边分解的结果是两个整式的和与两个整式的差的乘积．
凡符合平方差公式特点的二项式，都可运用平方差公式分解因式．分解时，先写成平方差的形式，确定公式中的a和b，再运用平方差公式分解因式．
注意公式中字母的广泛含义，既可以表示单项式，也可以表示多项式，如：(x－y)2－(x＋y)2＝[(x－y)＋(x＋y)][(x－y)－(x＋y)]＝2x(－2y)＝－4xy(其中x－y相当于公式中的a，x＋y相当于公式中的b)．
【例3－1】把下列多项式分解因式：
(1)4x2－9；(2)16m2－9n2；
(3)a3b－ab；(4)(x＋p)2－(x＋q)2.
解：(1)4x2－9＝(2x)2－32
＝(2x＋3)(2x－3)．
(2)16m2－9n2＝(4m)2－(3n)2
＝(4m＋3n)(4m－3n)．
(3)a3b－ab＝ab(a2－1)
＝ab(a＋1)(a－1)．
(4)(x＋p)2－(x＋q)2
＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]
＝(2x＋p＋q)(p－q)．
②完全平方公式的特征：左边是三项式，其中首末两项是两个数(或式子)的平方，且符号相同，中间的一项是首末两个数(或式子)的积的2(或－2)倍，右边的结果是两个数(或式子)的和(或差)的平方．运用完全平方公式分解因式，一定要检验中间的一项是否是首末两项乘积的2(或－2)倍．
凡是满足完全平方公式的多项式都可以直接用完全平方公式因式分解．
注意公式中字母的广泛含义，既可以表示单项式，也可以表示多项式，如：(x－y)2－4(x－y)＋4＝[(x－y)－2]2＝(x－y－2)2(其中x－y相当于公式中的a,2相当于公式中的b)．
【例3－2】把下列各式分解因式：
(1)－x2－2xy－y2；
(2)4(x＋y)2＋25＋20(x＋y)；
(3)(a＋b)2－4(a＋b－1)．
分析：(1)题有三项，首项含“－”，先提出“－”，得－x2－2xy－y2＝－(x2＋2xy＋y2)，此时，括号中的第一项与第三项构成平方和形式，中间一项恰好是x和y积的2倍，可以用完全平方公式来分解因式；(2)题把(x＋y)看作一个整体，也是三项，第一、二项构成2(x＋y)与5的平方和的形式，第三项化成2·2(x＋y)·5，恰好是前面两个数的积的2倍，所以也可以用完全平方公式．(3)题无法直接因式分解，应借助整体变形，使其变成具有公式特征的多项式．去括号，把a＋b看作整体，重新组合，使二项式变为三项式：(a＋b)2－4(a＋b－1)＝(a＋b)2－4(a＋b)＋4，此时，第一、三项构成a＋b与2的平方和的形式，中间一项是a＋b与2的乘积的－2倍，可以用完全平方公式来分解因式．
解：(1)－x2－2xy－y2＝－(x2＋2xy＋y2)
＝－(x＋y)2.
(2)4(x＋y)2＋25＋20(x＋y)
＝[2(x＋y)]2＋2·2(x＋y)·5＋52
＝[2(x＋y)＋5]2＝(2x＋2y＋5)2.
(3)(a＋b)2－4(a＋b－1)
＝(a＋b)2－4(a＋b)＋4＝(a＋b－2)2.
4．因式分解的步骤
(1)分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解，这种分解因式的方法叫分组分解法．
(2)因式分解的一般步骤是：“一提”、“二套”、“三分组”、“四检查”．
“一提”即先看是否有公因式，若有，先提取公因式；
“二套”是看能否运用公式法因式分解，若两项看是否符合平方差公式，若三项看是否符合完全平方公式；
“三分组”是指如果要分解的多项式多于三项时，要考虑分组，分组的原则是：分组后能提公因式或者运用公式法；
“四检查”是检查因式分解是不是彻底，要分解到每一个因式不能再分解为止．
一般地，把一个多项式因式分解都是在有理数范围内进行的，要求因式中的每个系数(包括常数)都是有理数，且最后的结果要分解到每一个因式都不能再分解为止，相同的因式应该写成幂的形式．
【例4－1】分解因式：
(1)3a2－6a＋3；(2)3xn＋3－27xn＋1.
分析：(1)多项式中都含有公因式3，提取公因式后变为3(a2－2a＋1)，再仔细观察发现括号中的三项式符合完全平方公式，因此继续分解为3(a－1)2；(2)多项式中各项系数的最大公约数是3，都含有字母x，x的最低次幂是xn＋1，所以公因式是3xn＋1，提取公因式后括号内的多项式为(x2－9)，能利用平方差公式分解因式．
解：(1)3a2－6a＋3＝3(a2－2a＋1)
＝3(a－1)2.
(2)3xn＋3－27xn＋1＝3xn＋1(x2－9)
＝3xn＋1(x＋3)(x－3)．
对于多项式的分解因式，应优先考虑提公因式，如果首项为负，可提取－1，然后对公因式已提取的或无公因式的三项式进行如下考虑：(1)按某一字母降幂排列，(2)对于二次三项式可考虑完全平方公式，(3)对于二项式可考虑平方差公式．
【例4－2】把下列多项式因式分解：
(1)(x2＋y2)2－4x2y2；
(2)1－a2＋2ab－b2.
解：(1)(x2＋y2)2－4x2y2
＝(x2＋y2)2－(2xy)2
＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)
＝(x＋y)2(x－y)2.
(2)1－a2＋2ab－b2
＝12－(a2－2ab＋b2)＝1－(a－b)2
＝[1＋(a－b)][1－(a－b)]
＝(1＋a－b)(1－a＋b)．
5．利用因式分解计算、求值、证明
因式分解在许多的有理数计算、代数式的化简、求值、证明中起着重要作用．
(1)对于一些复杂的计算题，直接计算比较麻烦，学习了因式分解后，可以灵活运用因式分解，使问题的求解难度降到最低限度．
(2)在求某些代数式的值时，比较简便而常用的方法是先对所给的代数式进行因式分解，使之出现条件中的式子，再整体代入求值．
(3)因式分解是整式乘法的逆向变形，是代数恒等变形的重要手段，在解方程、不等式及恒等式的证明、几何等诸多方面也起着重要作用．
解答此类题常用的方法是通过对条件中的式子因式分解，使之含有所要求的因式即可．
【例5－1】计算2022－22.
分析：如果直接计算，2022不太容易计算，但是考虑到(202＋2)(202－2)＝2022－22，则2022－22利用分解因式的方法可以表示为(202＋2)(202－2)，即204×200，再计算就简单多了．
解：2022－22＝(202＋2)(202－2)＝204×200＝40 800.
【例5－2】(1)已知x－y＝1，xy＝2，求x3y－2x2y2＋xy3的值；
(2)已知2x－3＝0，求x(x2－x)＋x2(5－x)－9的值．
解：(1)x3y－2x2y2＋xy3
＝xy(x2－2xy＋y2)＝xy(x－y)2.
因为x－y＝1，xy＝2，所以原式＝2×12＝2.
(2)x(x2－x)＋x2(5－x)－9
＝x3－x2＋5x2－x3－9＝4x2－9
＝(2x＋3)(2x－3)．
因为2x－3＝0，所以原式＝6×0＝0.
6．因式分解的实际应用
因式分解是一种重要的式子变形，灵活应用的话可以解决许多问题，有关因式分解的实际应用主要是根据题意列出式子，解答时利用因式分解的方法，将列出的代数式按照因式分解的步骤进行分解，若所得的代数式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，再进行分解，从而使问题得到快速解答．
【例6】如图，在半径为R的圆形钢板上，除去半径为r的四个小圆，利用因式分解计算当R＝7.8 cm，r＝1.1 cm时剩余部分的面积．(π取3.14，结果精确到整数)
解：剩余部分的面积为πR2－4πr2.
当R＝7.8，r＝1.1时，
原式＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r)
＝π(7.8＋2×1.1)(7.8－2×1.1)
＝π×10×5.6＝56π≈56×3.14≈176(cm2)．
故剩余部分的面积约为176 cm2.
7．运用分解因式解决动手操作题
动手操作题是让学生在实际操作的基础上设计有关的问题．这类题对同学们的能力有更高的要求，有利于培养乐于动手、勤于思考的意识和习惯，有利于培养创新能力和实践能力．
这类题目主要考查动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图等．不仅考查动手能力，还考查想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．此类题目就是通过拼图，用不同的式子表示图形面积，以达到把多项式分解因式的目的．
【例7】某同学剪出若干个长方形和正方形卡片，如图①所示，请运用拼图的方法，选取图中相应的种类和一定数量的卡片拼成一个大长方形，使它的面积等于a2＋4ab＋3b2，并根据你拼成的图形的面积，把此多项式分解因式．
解：因为拼成一个面积等于a2＋4ab＋3b2的大长方形，就要用一个边长为a的正方形、3个边长为b的正方形和4个边长分别为a，b的长方形，可以拼成如图②所示的图形，由此知长方形的边长分别为(a＋b)和(a＋3b)．由面积可知a2＋4ab＋3b2＝(a＋b)(a＋3b)．
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