2014年中考数学总复习因式分解课件和训练
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资料简介
第四讲 因式分解 课 前 必 读 考纲要求 1. 了解因式分解的概念,会判断给定的等式变形是否是因式分解; 2. 会用提公因式法进行因式分解 ( 指数是正整数 ) ; 3. 会用公式法进行因式分解 ( 直接用公式不超过两次 ) ; 4. 能有意识地运用因式分解解决计算问题和实际问题 . 学.科.网 考情分析 近三 年浙 江省中考情况 年份 考查点 题型 难易度 2010 年 因式分解的概念 (3 分 ) 选择题 容易 2011 年 因式分解的方法及应用 (3 分 ) 填空题解答题 中等 2012 年 因式分解的概念和方法 (3 分 ) 学.科.网 选择题填空题 容易 网 络 构 建 概念最重要 结果整式积 方法有两种 一提二公式 分解要彻底 学.科.网 考 点 梳 理 定义:把一个多项式化成几个整式的① _____ 的形式,叫做把这个多项式因式分解. 如: x 2 + x = x ( x + 1) 就是② _________ . 而 x 2 + x - 2 = x ( x + 1) - 2 就不是③ _________ . 名师助学 1 .因式分解的结果必须是整式积的形式; 2 .因式分解与整式的乘法是互逆的. 因式分解的定义 乘积 因式分解 因式分解 1 .提公因式法: ma + mb + mc =④ ___________ . 2 .运用公式法 (1) 平方差公式: a 2 - b 2 =⑤ ____________ (2) 完全平方公式: a 2 ±2 ab + b 2 =⑥ ________ . 因式分解的基本方法 m ( a + b + c ) ( a - b )( a + b ) ( a ± b ) 2 1 .提取公因式.如果多项式的各项有公因式,那么先提⑦ _______ ; 2 .运用乘法公式.如果各项没有公因式,那么可以尝试运用⑧ _______ 来分解; 3 .因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再⑨ _____ 为止.简记为:一“提”、二“套”、三“检查”. 分解因式的基本步骤 公因式 公式法 分解 名师助学 分解必须要彻底,要注意以下三个方面: 1 .每一个多项式都不能再分解; 2 .重因式的乘积写成幂的形式; 3 .不能含有双重括号. 对 接 中 考 常考角度 1 .什么是因式分解? 2 .因式分解与整式乘法的关系. 对接点一:因式分解的概念 A . x 2 - 5 x + 6 = x ( x - 5) + 6 B . x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2)( x - 3) C . ( x - 2)( x - 3) = x 2 - 5 x + 6 D . x 2 - 5 x + 6 = ( x + 2)( x + 3) 【 例题 1】 下列式子变形是因式分解的是 (    ) 解析   A .右边不是积的形式,所以 A 错; B. 因 ( x - 2)( x - 3) = x 2 - 3 x - 2 x + 6 = x 2 - 5 x + 6 ,与左边相等,并且右边是积的形式,所以 B 对; C .从左到右进行的是多项式的乘法,不是因式分解,所以 C 错; D .因 ( x + 2)( x + 3) = x 2 + 3 x + 2 x + 6 = x 2 + 5 x + 6 ,与左边不相等,所以 D 错. 答案   B 1. 牢记因式分解的结果是整式积的形式; 2 .因式分解和整式的乘法是互逆的. A .- a + a 3 =- a (1 + a 2 ) B . 2 a - 4 b + 2 = 2( a - 2 b ) C . a 2 - 4 = ( a - 2) 2 D . a 2 - 2 a + 1 = ( a - 1) 2 解析  因为- a + a 3 = a ( a 2 - 1) = a ( a + 1)( a - 1) .所以 A 错;因为 2 a - 4 b + 2 = 2( a - 2 b + 1) ,所以 B 错;因为 a 2 - 4 = ( a + 2)( a - 2) ,所以 C 错;因为 a 2 - 2 a + 1 = ( a - 1) 2 ,所以 D 对,选 D. 答案   D 【 预测 1】 下列因式分解正确的是 (    ) A .- 3( x - 1) =- 3 x - 1 B .- 3( x - 1) =- 3 x + 1 C .- 3( x - 1) =- 3 x - 3 D .- 3( x - 1) =- 3 x + 3 答案   D 【 预测 2】 下列运算正确的是 (    ) 常考角度 1 .提公因式法分解因式; 2 .公式法分解因式; 3 .分解因式的基本步骤. 对接点二:因式分解的基本方法 (1)(2012· 绍兴 ) a 3 - a (2)(2012· 湖州 ) x 2 - 36 (3)(2012· 潍坊 ) x 3 y - 2 x 2 y 2 + xy 3 分析   (1) 先提取公因式 a ,对另一个因式再用平方差公式分解; (2) 用平方差公式; (3) 先提取公因式 xy ,再对另一个因式用差的完全平方公式分解. 解   (1) a 3 - a = a ( a 2 - 1) = a ( a + 1)( a - 1) ; (2) x 2 - 36 = x 2 - 6 2 = ( x + 6)( x - 6) ; (3) x 3 y - 2 x 2 y 2 + xy 3 = xy ( x 2 - 2 xy + y 2 ) = xy ( x - y ) 2 . 【 例题 2】 将下列各式分解因式: 【 例题 3】 如图,在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形 ( a > b ) ,把剩下的部分拼成 一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分的面积,验证了公式 ________ . ∴ a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b ) ,从而验证了因式分解的平方差公式. 答案   a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b ) 1. 提公因式的方法:“一定”:确定公因式,可按“系数大、字母同、指数低”的原则来确定;“二提”:将各项的公因式提出来,并确定另一个因式; 2 .根据公式的结构特征套用公式; 3 .分解要彻底. (1)2 a 2 - 4 a = ________ ; (2) xy - y = _______ ; (3) x 2 - 9 y 2 = ______________ ; (4) a 2 - 6 a + 9 = _______ ; (5) x 2 y + 4 xy + 4 y = ________ ; (6)2 x 2 - 8 = _____________ . 【 预测 3】 分解下列各式: 2 a ( a - 2) y ( x - 1) ( x + 3 y )( x - 3 y ) ( a - 3) 2 y ( x + 2) 2 2( x + 2)( x - 2) 【 预测 4】 如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中的空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于 a , b 的恒等式 ________ . 解析  ∵小正方形的边长为 ( a - b ) ∴小正方形的面积 ( 空白部分的面积 ) = ( a - b ) 2 又∵大正方形的面积为 ( a + b ) 2 而四个全等的矩形的面积和 ( 阴影部分的面积 ) = 4 ab ∴小正方形面积 ( 空白部分面积 ) = ( a + b ) 2 - 4 ab = a 2 + 2 ab + b 2 - 4 ab ∴填 ( a - b ) 2 = a 2 - 2 ab + b 2 答案   ( a - b ) 2 = a 2 - 2 ab + b 2 常考角度 1 .利用因式分解求代数式的值; 2 .整体代入的思想. 对接点三:因式分解与求值 【 例题 4】 (2012· 杭州 ) 化简: 2[( m - 1) m + m ( m + 1)][( m - 1) m - m ( m + 1)] .若 m 是任意整数,请观察化简后的结果,你发现原式表示一个什么数? 分析  首先从第一个中括号和第二个中括号中各提取一个 m ,然后再对两个中括号余下的进行化简,得到最后结果,观察结果发现规律. 解   2[( m - 1) m + m ( m + 1)][( m - 1) m - m ( m + 1)] , = 2 m [( m - 1) + ( m + 1)] m [( m - 1) - ( m + 1)] , = 2 m 2 ( m - 1 + m + 1)( m - 1 - m - 1) , =- 8 m 3 = ( - 2 m ) 3 , 原式=- 8 m 3 或 ( - 2 m ) 3 , 所以不论 m 取什么整数,结果都表示一个能被 8 整除的数或一个偶数的立方. 1. 通过因式分解将多项式合理变形; 2 .根据已知条件整体代入; 3 .灵活运用因式分解使计算更简洁,提高准确 率. 解   a 2 b + ab 2 = ab ( a + b ) = 1×2 = 2. 解析   (2 x + 5)( x + 1) - ( x - 2)( x + 1) = ( x + 1)[(2 x + 5) - ( x - 2)] = ( x + 1)( x + 7) = ( - 7 + 1)( - 7 + 7) = 0 答案   0 解   x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 - 2 xy = 3 2 - 2×1 = 7. 【 预测 5】 已知实数 a 、 b 满足 ab = 1 , a + b = 2 ,求代数式 a 2 b + ab 2 的值. 【 预测 6】 当 x =- 7 时,代数式 (2 x + 5)( x + 1) - ( x - 2)( x + 1) 的值为 ________ . 【 预测 7】 已知 x + y = 3 , xy = 1. 求 x 2 + y 2 . 易 错 防 范 问题 1. 因式分解与整式的乘法易混; 问题 2. 提取公因式后,在确定另一个因式时,易掉 项、符号易出错; 问题 3. 分解不彻底. 因式分解常见错误 (1)(2012· 成都 ) - x 3 + 2 x 2 - x . (2)(2012· 重庆 ) x 4 - 1. [ 错解 ]   (1) 原式= x ( - x 2 + 2 x - 1) . (2) 原式= ( x 2 + 1)( x 2 - 1) . [ 错因分析 ]   (1) 只提取 x ,没把“-”号提取,后面也就分解不彻底了. (2) 分解不彻底,只分解到 ( x 2 + 1)( x 2 - 1) [ 正解 ]   (1) 原式=- x ( x 2 - 2 x + 1) =- x ( x - 1) 2 (2) 原式= ( x 2 + 1)( x 2 - 1) = ( x 2 + 1)( x + 1)( x - 1)   【 例题 5】 分解因式: 1. 理解因式分解的概念,结果必须是整式积的形式; 2 .掌握因式分解的思路:首先考虑能否提取公因式,再看多项式是几项,若是二项式,则看它能否用平方差公式来分解;若是三项式,则看它能否用完全平方公式来分解; 3 .分解必须彻底. 课 时 跟 踪 检 测 点击链接

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