2014届高考数学直线的倾斜角与斜率、直线的方程复习学案_
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资料简介
直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ‎[知识能否忆起]‎ 一、直线的倾斜角与斜率 ‎1.直线的倾斜角 ‎(1)定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.‎ ‎(2)倾斜角的范围为[0,π)_.‎ ‎2.直线的斜率 ‎(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan_α,倾斜角是90°的直线没有斜率.‎ ‎(2)过两点的直线的斜率公式:‎ 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k==.‎ 二、直线方程的形式及适用条件 名称 几何条件 方 程 局限性 点斜式 过点(x0,y0),斜率为k y-y0=k(x-x0)‎ 不含垂直于x轴的直线 斜截式 斜率为k,纵截距为b y=kx+b 不含垂直于x轴的直线 两点式 过两点(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2,y1≠y2)‎ = 不包括垂直于坐标轴的直线 截距式 在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a,b≠0)‎ +=1‎ 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax+By+C=0(A,B不全为0)‎ ‎[小题能否全取]‎ ‎1.(教材习题改编)直线x+y+m=0(m∈k)的倾斜角为(  )‎ A.30°           B.60°‎ C.150° D.120°‎ 解析:选C 由k=tan α=-,α∈[0,π)得α=150°.‎ ‎2.(教材习题改编)已知直线l过点P(-2,5),且斜率为-,则直线l的方程为(  )‎ A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0‎ C.4x+3y-14=0 D.4x-3y+14=0‎ 解析:选A 由y-5=-(x+2),得3x+4y-14=0.‎ ‎3.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为(  )‎ A.1 B.4‎ C.1或3 D.1或4‎ 解析:选A 由1=,得m+2=4-m,m=1.‎ ‎4.(2012·长春模拟)若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为________.‎ 解析:kAC==1,kAB==a-3.‎ 由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.‎ 答案:4‎ ‎5.若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l的方程为________.‎ 解析:由已知得直线l的斜率为k=-.‎ 所以l的方程为y-2=-(x+1),‎ 即3x+2y-1=0.‎ 答案:3x+2y-1=0‎ ‎1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在,每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.‎ ‎2.由斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性.‎ ‎3.用截距式写方程时,应先判断截距是否为0,若不确定,则需要分类讨论.‎ 直线的倾斜角与斜率 典题导入 ‎[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为,则y=(  )‎ A.-1            B.-3‎ C.0 D.2‎ ‎(2)(2012·苏州模拟)直线xcos θ+y+2=0的倾斜角的范围是________.‎ ‎[自主解答] (1)tan===y+2,因此y+2=-1.y=-3.‎ ‎(2)由题知k=-cos θ,故k∈,结合正切函数的图象,当k∈时,直线倾斜角α∈,当k∈时,直线倾斜角α∈,故直线的倾斜角的范围是∪.‎ ‎[答案] (1)B (2)∪ 由题悟法 ‎1.求倾斜角的取值范围的一般步骤:‎ ‎(1)求出斜率k=tan α的取值范围;‎ ‎(2)利用三角函数的单调性,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角α的取值范围.‎ ‎2.求倾斜角时要注意斜率是否存在.‎ 以题试法 ‎1.(2012·哈尔滨模拟)函数y=asin x-bcos x的一条对称轴为x=,则直线l:ax-by+c=0的倾斜角为(  )‎ A.45° B.60°‎ C.120° D.135°‎ 解析:选D 由函数y=f(x)=asin x-bcos x的一条对称轴为x=知,f(0)=f,即-b=a,则直线l的斜率为-1,故倾斜角为135°.‎ ‎2.(2012·金华模拟)已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是(  )‎ A. B.(-∞,-2]‎ C.(-∞,-2]∪ D. 解析:选D 由题意知直线l恒过定点P(2,1),如右图.若l与线段AB相交,则kPA≤k≤kPB.‎ ‎∵kPA=-2,kPB=,‎ ‎∴-2≤k≤.‎ 直 线 方 程 典题导入 ‎[例2] (1)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是________________.‎ ‎(2)(2012·东城模拟)若点P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为______________.‎ ‎[自主解答] (1)设所求直线方程为x-2y+m=0,由直线经过点(1, 0),得1+m=0,m=-1.‎ 则所求直线方程为x-2y-1=0.‎ ‎(2)由题意得,×kMN=-1,所以kMN=2,故弦MN所在直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.‎ ‎[答案] (1)x-2y-1=0 (2)2x-y-1=0‎ 由题悟法 求直线方程的方法主要有以下两种:‎ ‎(1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程;‎ ‎(2)待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代入求出直线方程.‎ 以题试法 ‎3.(2012·龙岩调研)已知△ABC中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).求:‎ ‎(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程;‎ ‎(2)BC边的中线所在直线的一般式方程,并化为截距式方程.‎ 解:(1)平行于BC边的中位线就是AB,AC中点的连线.‎ 因为线段AB,AC中点坐标分别为,,‎ 所以这条直线的方程为=,‎ 整理一般式方程为得6x-8y-13=0,截距式方程为-=1.‎ ‎(2)因为BC边上的中点为(2,3),所以BC边上的中线所在直线的方程为= ‎,即一般式方程为7x-y-11=0,截距式方程为-=1.‎ 直线方程的综合应用 典题导入 ‎[例3] (2012·开封模拟)过点P(3,0)作一直线,使它夹在两直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分,求此直线的方程.‎ ‎[自主解答] 法一:设点A(x,y)在l1上,点B(xB,yB)在l2上.‎ 由题意知则点B(6-x,-y),‎ 解方程组 得则k==8.‎ 故所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.‎ 法二:设所求的直线方程为y=k(x-3),‎ 点A,B的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),‎ 由解得 由解得 ‎∵P(3,0)是线段AB的中点,‎ ‎∴yA+yB=0,即+=0,‎ ‎∴k2-8k=0,解得k=0或k=8.‎ 若k=0,则xA=1,xB=-3,‎ 此时=≠3,∴k=0舍去,‎ 故所求的直线方程为y=8(x-3),‎ 即8x-y-24=0.‎ 由题悟法 解决直线方程的综合问题时,除灵活选择方程的形式外,还要注意题目中的隐含条件,若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值.‎ 以题试法 ‎4.(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴,y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点.‎ ‎(1)当△AOB面积最小时,求直线l的方程;‎ ‎(2)当|MA|·|MB|取得最小值时,求直线l的方程.‎ 解:(1)设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k0.‎ 故S=|OA||OB|=×(1+2k)‎ ‎=≥(4+4)=4,‎ 当且仅当4k=,即k=时,取等号.‎ 故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.‎ ‎1.(2012·郑州模拟)已知直线l1的方向向量为a=(1,3),直线l2的方向向量为b=(-1,k).若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2,则直线l2的方程为(  )‎ A.x+3y-5=0 B.x+3y-15=0‎ C.x-3y+5=0 D.x-3y+15=0‎ 解析:选B ∵kl1=3,kl2=-k,l1⊥l2,‎ ‎∴k=,l2的方程为y=-x+5,即x+3y-15=0.‎ ‎2.(2012·吴忠调研)若过点P(1-a,1+a)与Q(3,‎2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a 的取值范围是________.‎ 解析:k=tan α==.‎ ‎∵α为钝角,∴<0,即(a-1)(a+2)<0,‎ 故-2<a<1.‎ 答案:(-2,1)‎ ‎3.已知直线l过点P(3,2),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点如图,求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.‎ 解:设A(a,0),B(0,b),(a>0,b>0),则直线l的方程为+=1,‎ ‎∵l过点P(3,2),∴+=1.‎ ‎∴1=+≥2 ,即ab≥24.‎ ‎∴S△ABO=ab≥12.当且仅当=,即a=6,b=4时,‎ ‎△ABO的面积最小,最小值为12.‎ 此时直线l的方程为+=1.‎ 即2x+3y-12=0.‎

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