第10讲 一次函数
考纲要求
命题趋势
1．理解一次函数的概念，会利用待定系数法确定一次函数的表达式．
2．会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质．
3．体会一次函数与二元一次方程的关系，能用一次函数解决简单实际问题.
一次函数是中考的重点，主要考查一次函数的定义、图象、性质及其实际应用，有时与方程、不等式相结合．题型有选择题、填空题、解答题.
知识梳理
一、一次函数和正比例函数的定义
一般地，如果y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．
特别地，当b＝__________时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数．
二、一次函数的图象与性质
1．一次函数的图象
(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和的一条直线．
(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．
(3)因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可．
2．一次函数图象的性质
函数
系数取值
大致图象
经过的象限
函数性质
y＝kx
(k≠0)
k＞0
______
y随x增大而增大
k＜0
______
y随x增大而减小
y＝kx＋b
(k≠0)
k＞0，b＞0
______
y随x增大而增大
k＞0，b＜0
______
k＜0，b＞0
______
y随x增大而减小
k＜0，b＜0
______
一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到，b＞0，上移b个单位；b＜0，下移|b|个单位．
三、利用待定系数法求一次函数的解析式
因为在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中有两个未知数k和b，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P1(a1，b1)，P2(a2，b2)代入得求出k，b的值即可，这种方法叫做__________．
四、一次函数与方程、方程组及不等式的关系
1．y＝kx＋b与kx＋b＝0
直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．
2．y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0
从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围．
3．一次函数与方程组
两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．
自主测试
1．已知一次函数y＝x＋b的图象经过一、二、三象限，则b的值可以是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
2．一辆汽车的油箱中现有汽油60升，如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：升)随行驶里程x(单位：千米)的增加而减小，若这辆汽车平均耗油量为0.2升/千米，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是( )
3．一次函数y＝2x－1的图象经过点(a,3)，则a＝__________.
4．写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式：__________.
5．某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元/克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元/克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．
(1)分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y(元)和重量x(克)之间的函数关系式；
(2)李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？
考点一、一次函数的图象与性质
【例1】已知关于x的一次函数y＝kx＋4k－2(k≠0)．若其图象经过原点，则k＝__________；若y随x的增大而减小，则k的取值范围是__________．
解析：∵一次函数图象经过原点，∴4k－2＝0，∴k＝；
若y随x的增大而减小，则k＜0.
答案： k＜0
方法总结 一次函数的k值决定直线的方向，如果k＞0，直线就从左往右上升，y随x的增大而增大；如果k＜0，直线就从左往右下降，y随x的增大而减小；而b值决定直线和y轴的交点，如果b＞0，则与y轴的正半轴相交；如果b＜0，则与y轴交于负半轴；当b＝0时，一次函数就变成正比例函数，图象过原点.
触类旁通1 已知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m，n的取值范围是( )
A．m＞0，n＜2 B．m＞0，n＞2
C．m＜0，n＜2 D．m＜0，n＞2
考点二、确定一次函数的解析式
【例2】如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A(－2，－1)，B(1,3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D.
(1)求该一次函数的解析式；
(2)试求△DOC的面积．
分析：求经过已知两点坐标的直线解析式，一般是按待定系数法步骤求得，又由于点C，D分别在x，y轴上，据其坐标特点可求出CO，DO的长．
解：(1)把A，B点代入得解得
∴y＝x＋.
(2)由(1)得C，D，则OC＝，OD＝.∴△DOC的面积＝××＝.
方法总结 用待定系数法求一次函数的步骤：①设出函数关系式；②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入函数关系式中，得到关于待定系数的方程(组)；③解方程(组)，求出待定系数的值，写出函数关系式．
触类旁通2 已知：一次函数y＝kx＋b的图象经过M(0,2)，N(1,3)两点．
(1)求k，b的值；
(2)若一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点为A(a,0)，求a的值．
考点三、一次函数与方程(组)、不等式的关系
【例3】如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得二元一次方程组的解是__________．
解析：如图所示，二元一次方程组的解就是直线y＝ax＋b与直线y＝kx的交点，所以点P的坐标就是方程组的解，即
答案：
方法总结 两个函数图象的交点坐标，既满足其中一个函数的表达式，也满足另一个函数的表达式，求函数图象的交点坐标，就是解这两个函数图象的表达式所组成的方程组的解，讨论图象的交点问题就是讨论方程组解的情况．
触类旁通3 如图，直线y1＝kx＋b过点A(0,2)，且与直线y2＝mx交于点P(1，m)，则不等式组mx＞kx＋b＞mx－2的解集是__________．
考点四、一次函数的应用
【例4】小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O—A—B—C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为__________分钟，小聪返回学校的速度为__________千米/分；
(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分)之间的函数关系；
(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？
解：(1)15
(2)由图象可知，s是t的正比例函数．
设所求函数的解析式为s＝kt(k≠0)，代入(45,4)，得4＝45k，解得k＝.∴s与t的函数关系式为s＝t(0≤t≤45)．
(3)由图象可知，小聪在30≤t≤45的时段内s是t的一次函数，设函数解析式为s＝mt＋n(m≠0)．
代入(30,4)，(45,0)，得解得
∴s＝－t＋12(30≤t≤45)．令－t＋12＝t，解得t＝.当t＝时，s＝×＝3.
答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．
方法总结 用一次函数解决实际问题的一般步骤为：(1)根据题意，设定问题中的变量；(2)建立一次函数关系式模型；(3)确定自变量的取值范围；(4)与方程或不等式(组)结合解决实际问题．
1．(2012四川乐山)若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝ax＋c的图象可能是( )
2．(2012福建泉州)若y＝kx－4的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是下列的( )
A．－4 B．－ C．0 D．3
3．(2012浙江丽水)甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动，图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(千米)随时间t(分)变化的函数图象，则乙比甲每分钟多行驶__________千米．
4．(2012湖南株洲)一次函数y＝x＋2的图象不经过第__________象限．
5．(2012山东菏泽)如图，一次函数y＝－x＋2的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，求过B，C两点直线的解析式．
6．(2012上海)某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y(万元/吨)与生产数量x(吨)的函数关系式如图所示．
(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(2)当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．(注：总成本＝每吨的成本×生产数量)
1．关于一次函数y＝－x＋1的图象，下列所画正确的是( )
2．已知直线y＝kx＋b经过点(k,3)和(1，k)，则k的值为( )
A． B．± C． D．±
3．在平面直角坐标系中，把直线y＝x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为( )
A．y＝x＋1 B．y＝x－1
C．y＝x D．y＝x－2
4．一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论错误的是( )
(第4题图)
A．摩托车比汽车晚到1 h
B．A，B两地的路程为20 km
C．摩托车的速度为45 km/h
D．汽车的速度为60 km/h
5．如图所示，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为(2,0)，则下列说法：①y随x的增大而减小；②b＞0；③关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2.其中说法正确的有__________(把你认为说法正确的序号都填上)．
(第5题图)
6．点A(－3,4)在一次函数y＝－3x－5的图象上，图象与y轴的交点为B，那么△AOB的面积为________．
7．一辆汽车在行驶过程中，路程y(km)与时间x(h)之间的函数关系如图所示，当0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为y＝60x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为__________．
8．如图，函数y1＝k1x＋b的图象与函数y2＝(x＞0)的图象交于A，B两点，与y轴交于C点．已知A点的坐标为(2,1)，C点坐标为(0,3)．
(1)求函数y1的表达式和B点坐标；
(2)观察图象，比较当x＞0时，y1和y2的大小．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．D 2．D 3．2
4．答案不唯一，如：y＝－x＋1
5．解：(1)y甲＝477x，
当0＜x≤3时，y乙＝530x，当x＞3时，y乙＝530×3＋530(x－3)×80%＝424x＋318.
(2)由y甲＝y乙，得477x＝424x＋318，∴x＝6.
由y甲＞y乙，得477x＞424x＋318，则x＞6.
由y甲＜y乙，得477x＜424x＋318，则x＜6.
∴当x＝6时，到甲、乙两个商店购买费用相同．
当4≤x＜6时，到甲商店购买合算．
当6＜x≤10时，到乙商店购买合算．
探究考点方法
触类旁通1．D 因为从图象上知，图象自左而右是“下降”的，交y轴于正半轴，所以m＜0，n－2＞0，即m＜0，n＞2.
触类旁通2．解：(1)把M(0,2)，N(1,3)代入y＝kx＋b，
得解得∴y＝x＋2.
(2)由题意得a＋2＝0，
∴a＝－2.
触类旁通3．1＜x＜2 由图象可知，当x＞1时，mx＞kx＋b，把(1，m)和(0,2)代入y1＝kx＋b，得b＝2，m＝k＋2，解方程组得x＝2，
因为y3＝mx－2平行于y2＝mx，
所以当x＜2时，kx＋b＞mx－2.
故原不等式组的解集为1＜x＜2.
品鉴经典考题
1．A ∵a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，
∴a＜0，c＞0(b的正负情况不能确定)．
a＜0，则函数y＝ax＋c的图象经过第二、四象限，
c＞0，则函数y＝ax＋c的图象与y轴正半轴相交．
由图可知选A.
2．D 因为函数值y随x的增大而增大，则k＞0，故选D.
3． 因为甲的速度为12÷30＝(千米/分)，乙的速度为12÷(18－6)＝1(千米/分)，所以1－＝(千米)．
4．四 因为k＝1＞0，所以图象经过第一、三象限；
因为b＝2＞0，所以图象经过第一、二象限，所以函数图象不经过第四象限．
5．解：如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，则∠AOB＝∠CDA＝90°.
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO＋∠ABO＝∠BAO＋∠CAD＝90°，∴∠ABO＝∠CAD.
又∵AB＝AC，
∴△ABO≌△CAD，
∴AD＝OB＝2，CD＝AO＝3.
∵一次函数y＝－x＋2中，令x＝0，
解得y＝2；令y＝0，解得x＝3.
则B的坐标是(0,2)，A的坐标是(3,0)．
∴AD＝OB＝2，CD＝AO＝3，∴C(5,3)．
设过B，C两点直线的解析式是y＝kx＋b，
则∴k＝，b＝2，∴y＝x＋2.
6．解：(1)直接将(10,10)，(50,6)代入y＝kx＋b，
得y＝－x＋11(10≤x≤50)．
(2)x＝280，解得x1＝40或x2＝70.
由于10≤x≤50，所以x＝40.
答：该产品的生产数量是40吨．
研习预测试题
1．C 2．B 3．A
4．C ∵摩托车的速度为(180－20)÷4＝40(km/h)，
∴C错误．
5．①②③
6．7.5
7．y＝100x－40 ∵在0≤x≤1时，把x＝1代入y＝60x，则y＝60，那么当1≤x≤2时，由两点坐标(1,60)与(2,160)得函数解析式为y＝100x－40.
8．解：(1)由题意，得解得
所以y1＝－x＋3.
又A点在函数y2＝上，所以1＝.
解得k2＝2，所以y2＝(x＞0)．解方程组
得或所以点B的坐标为(1,2)．
(2)当0＜x＜1或x＞2时，y1＜y2；
当1＜x＜2时，y1＞y2；
当x＝1或x＝2时，y1＝y2.
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