2013版中考数学图表信息专题复习
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资料简介
专题一 图表信息 图表信息问题主要考查学生收集信息和处理信息的能力.解答这类问题时要把图表信息和相应的数学知识、数学模型相联系,要结合问题提供的信息,灵活运用数学知识进行联想、探索、发现和综合处理,准确地使用数学模型来解决问题.‎ 这种题型命题广泛,应用知识多,是近几年各地中考的一种新题型,也是今后命题的热点,考查形式有选择题、填空题、解答题.‎ 考向一 表格信息问题 表格信息问题涉及知识点比较广泛,主要有统计、方程(组)、不等式(组)、函数等.解答时关键要根据表格提供的信息,建立相应的数学模型.‎ ‎【例1】2011年4月25日,全国人大常委会公布《中华人民共和国个人所得税法修正案(草案)》,向社会公开征集意见.草案规定,公民全月工薪不超过3 000元的部分不必纳税,超过3 000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算.‎ 级数 全月应纳税所得额 税率 ‎1‎ 不超过1 500元的部分 ‎5%‎ ‎2‎ 超过1 500元至4 500元的部分 ‎10%‎ ‎3‎ 超过4 500元至9 000元的部分 ‎20%‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ 依据草案规定,解答下列问题:‎ ‎(1)李工程师的月工薪为8 000元,则他每月应当纳税多少元?‎ ‎(2)若某纳税人的月工薪不超过10 000元,他每月的纳税金额能超过月工薪的8%吗?若能,请给出该纳税人的月工薪范围;若不能,请说明理由.‎ 分析:(1)由于当工资为8 000元时,应该纳税,而且应该按照三个级别分别纳税;(2)由于工资为10 000元时,要分三种情况进行讨论:①工资小于等于4 500元;②工资大于4 500元但小于等于7 500元;③工资大于7 500元小于10 000元.‎ 解:(1)李工程师每月纳税:1 500×5%+3 000×10%+(8 000-7 500)×20%‎ ‎=75+300+100=475(元)‎ ‎(2)设该纳税人的月工薪为x元,则 当x≤4 500时,显然纳税金额达不到月工薪的8%.‎ 当4 500<x≤7 500时,由1 500×5%+(x-4 500)×10%>8%x,‎ 得x>18 750,不满足条件.‎ 当7 500<x≤10 000时,由1 500×5%+3 000×10%+(x-7 500)×20%>8%x,‎ 解得x>9 375,故9 375<x≤10 000.‎ 答:若该纳税人月工薪大于9 375元且不超过10 000元时,他的纳税金额能超过月工薪的8%.‎ 方法归纳 本题涉及的数学思想是分类思想.解题时分类讨论是解决问题的关键.‎ 考向二 图象信息问题 图象信息问题涉及的知识点主要是函数问题.解答时要注意分析图象中特殊“点”反映的信息.‎ ‎【例2】在一条直线上依次有A,B,C三个港口,甲、乙两船同时分别从A,B港口出发,沿直线匀速驶向C港,最终达到C港.设甲、乙两船行驶x(h)后,与B港的距离分别为y1,y2(km),y1,y2与x的函数关系如图所示.‎ ‎(1)填空:A,C两港口间的距离为__________ km,a=__________;‎ ‎(2)求图中点P的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;‎ ‎(3)若两船的距离不超过10 km时能够相互望见,求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围.‎ 分析:根据函数图象,容易发现A,B,C三港口位置示意图如下:‎ 图象中点P表示当甲到达B港口后再经过一段时间,甲、乙二船与B港口的距离相等,因此可以有两种解法,一种是利用函数解析式来求交点坐标;另一种则是利用追及问题一般方法来解,设甲船追上乙船时,用了t小时,则可知甲船t小时比乙船多行了30 km,由图容易知道甲、乙两船的速度分别是60 km/h,30 km/h,于是可列方程60t=30t+30轻松求解.对于第(3)小题,应该通过分类讨论来解决问题.‎ 解:(1)120 2‎ ‎(2)由点(3,90)求得,y2=30x.‎ 当x>0.5时,由点(0.5,0),(2,90)求得y1=60x-30.‎ 当y1=y2时,60x-30=30x,解得x=1.‎ 此时y1=y2=30.所以点P的坐标为(1,30).‎ 该点坐标的意义为:两船出发1 h后,甲船追上乙船,此时两船离B港的距离为30 km.‎ 求点P的坐标的另一种方法:‎ 由图可得,甲的速度为=60(km/h),‎ 乙的速度为=30(km/h).‎ 则甲追上乙所用的时间为=1(h).‎ 此时乙船行驶的路程为30×1=30(km).‎ 所以点P的坐标为(1,30).‎ ‎(3)①当x≤0.5时,由点(0,30),(0.5,0)求得,y1=-60x+30.‎ 依题意,(-60x+30)+30x≤10.‎ 解得x≥,不合题意.‎ ‎②当0.5<x≤1时,依题意,30x-(60x-30)≤10.‎ 解得x≥.所以≤x≤1.‎ ‎③当x>1时,依题意,(60x-30)-30x≤10.‎ 解得x≤.所以1<x≤.‎ 综上所述,当≤x≤时,甲、乙两船可以相互望见.‎ 方法归纳 本题涉及数形结合、分类讨论的数学思想.解题的关键是确定三个港口的位置.难点是对P点的含义理解.‎ 考向三 图表综合问题 图表综合问题主要分布于统计之中.解题时注意将图表中的信息综合在一起分析解答.‎ ‎【例3】某市“希望”中学为了了解学生“大间操”的活动情况,在七、八、九年级的学生中,分别抽取相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查(每人只能选一项).调查结果的部分数据如下表(图)所示,其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人,九年级最喜欢排球的人数为10.‎ 七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表 项目 排球 篮球 跳绳 踢毽 其他 人数/人 ‎7‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎6‎ 八年级学生最喜欢的运动项目人数统计图 九年级学生最喜欢的运动项目人数统计图 请根据统计表(图)解答下列问题:‎ ‎(1)本次调查抽取了多少名学生?‎ ‎(2)补全统计表和统计图,并求出“最喜欢跳绳”的学生占抽样总人数的百分比;‎ ‎(3)该校共有学生1 800人,学校想对“最喜欢踢毽”的学生每4人提供一个毽子,那么学校在“大间操”时至少应提供多少个毽子?‎ 分析:(1)因为三个年级都抽取了相同数量的学生,所以只需算出一个年级抽取的学生数即可;(2)根据(1)补充完整表格与统计图;(3)至少应提供的毽子个数=该校学生总人数乘以最喜欢踢毽人数所占的比例再除以4.‎ 解:(1)10÷20%=50(人),50×3=150(人).‎ ‎(2)七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表 项目 排球 篮球 跳绳 踢毽 其他 人数/人 ‎7‎ ‎8‎ ‎15‎ ‎14‎ ‎6‎ 八年级学生最喜欢的运动项目人数统计图 九年级学生最喜欢的运动项目人数统计图 ‎“最喜欢跳绳”的学生占抽样总人数的百分比为22%.‎ ‎(3)×1 800÷4=126(个).‎ 方法归纳 本题考查了统计图、统计表及根据样本估计总体,也是考查统计知识常见题型.解题时读懂图表并将图表信息综合考虑是关键. ‎ 一、选择题 ‎1.某住宅小区6月份1日至5日每天用水量变化情况如图所示,那么这5天平均每天的用水量是(  )‎ A.30吨 B.31吨 C.32吨 D.33吨 ‎2.(2011浙江台州)如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点M,N,已知点M的坐标为(1,3),点N的纵坐标为-1,根据图象信息可得关于x的方程=kx+b的解为(  )‎ A.-3,1 B.-3,3‎ C.-1,1 D.3,-1‎ 二、填空题 ‎3.上、下底面为全等的正六边形礼盒,其主视图与左视图均由矩形构成,主视图中大矩形边长如图所示,左视图中包含两全等的矩形,如果用彩色胶带如图包扎礼盒,所需胶带长度至少为__________.‎ ‎4.某村分给小慧家一套价格为12万元的住房.按要求,需首期(第一年)付房款3万元,从第二年起,每年应付房款0.5万元与上一年剩余房款的利息的和.假设剩余房款年利率为0.4%,小慧列表推算如下:‎ 第一年 第二年 第三年 ‎…‎ 应还款(万元)‎ ‎3‎ ‎0.5+9×0.4%‎ ‎0.5+8.5×0.4%‎ ‎…‎ 剩余房款(万元)‎ ‎9‎ ‎8.5‎ ‎8‎ ‎…‎ 若第n年小慧家仍需还款,则第n年应还款__________万元(n>1).‎ 三、解答题 ‎5.‎2012年5月20日是第23个中国学生营养日,某校社会实践小组在这天开展活动,调查快餐营养情况.他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图).根据信息,解答下列问题.‎ ‎(1)求这份快餐中所含脂肪质量;‎ ‎(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%,求这份快餐所含蛋白质的质量;‎ ‎(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%,求其中所含碳水化合物质量的最大值.‎ ‎6.如图①,A,B,C三个容积相同的容器之间有阀门连接,从某一时刻开始,打开A容器阀门,以4升/分的速度向B容器内注水5分钟,然后关闭,接着打开B容器阀门,以10升/分的速度向C容器内注水5分钟,然后关闭.设A,B,C三个容器内的水量分别为yA,yB,yC(单位:升),时间为t(单位:分).开始时,B容器内有水50升,yA,yC与t的函数图象如图②所示.请在0≤t≤10的范围内解答下列问题:‎ ‎ ‎ 图① 图②‎ ‎(1)求t=3时,yB的值;‎ ‎(2)求yB与t的函数关系式,并在图②中画出其函数图象;‎ ‎(3)求yA:yB:yC=2:3:4时t的值.‎ ‎7.某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件.受美元走低的影响,从去年1至9月,该配件的原材料价格一路攀升,每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1≤x≤9,且x取整数)之间的函数关系如下表:‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 价格y1(元/件)‎ ‎560‎ ‎580‎ ‎600‎ ‎620‎ ‎640‎ ‎660‎ ‎680‎ ‎700‎ ‎720‎ 随着国家调控措施的出台,原材料价格的涨势趋缓,10至12月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10≤x≤12,且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势:‎ ‎(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,直接写出y1与x之间的函数关系式,根据如图所示的变化趋势,直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式;‎ ‎(2)若去年该配件每件的售价为1 000元,生产每件配件的人力成本为50元,其他成本30元,该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1(1≤x≤9,且x取整数),10至12月的销售量p2(万件)与月份x满足关系式p2=-0.1x+2.9(10≤x≤12,且x取整数),求去年哪个月销售该配件的利润最大,并求出这个最大利润;‎ ‎(3)今年1至5月,每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元,人力成本比去年增加20%,其他成本没有变化,该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%,与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%.这样,在保证每月上万件配件销量的前提下,完成1至5月的总利润1 700万元的任务,请你参考以下数据,估算出a的整数值.(参考数据:992=9 801,982=9 604,972=9 409,962=9 216,952=9 025)‎ 参考答案 专题提升演练 ‎1.C 根据平均数公式可得这5天平均每天的用水量是=32(吨).‎ ‎2.A 把M点的坐标代入y=,求得m=3,所以得y=,再把y=-1代入y=求得x=-3,故关于x的方程=kx+b的解为x=-3,或1.‎ ‎3.431.76 cm 由图可知,正六边形的对角线长为60 cm,则其半径为30 cm,边心距为15 cm,故所需胶带长度至少为15×12+20×6≈431.76(cm).‎ ‎4.0.54-0.002n(填0.5+[9-(n-2)×0.5]×0.4%)‎ 关键是要理解付款的方式,第一年还掉3万元后,第二年付0.5万元和剩下的9万元的利息,第三年还0.5万元和剩下的(9-0.5)万元的利息,第四年则要还0.5万元和剩下的(9-2×0.5)万元的利息,…,所以除了第一年以外,第n年都是要还0.5万元和剩下的[9-(n-2)·0.5]万元的利息,可列式:0.5+[9-(n-2)×0.5]×0.4%,化简可知第n年应还款(0.54-0.002n)万元.‎ ‎5.解:(1)400×5%=20(克).‎ 答:这份快餐中所含脂肪质量为20克.‎ ‎(2)设所含矿物质的质量为x克,由题意得:x+4x+20+400×40%=400,‎ ‎∴x=44,∴4x=176.‎ 答:所含蛋白质的质量为176克.‎ ‎(3)解法一:设所含矿物质的质量为y克,则所含碳水化合物的质量为(380-5y)克,∴4y+(380-5y)≤400×85%,‎ ‎∴y≥40,∴380-5y≤180,‎ ‎∴所含碳水化合物质量的最大值为180克.‎ 解法二:设所含矿物质的质量为n克,则n≥(1-85%-5%)×400,∴n≥40,∴4n≥160,∴400×85%-4n≤180,‎ ‎∴所含碳水化合物质量的最大值为180克.‎ ‎6.解:(1)当t=3时,yB=50+4×3=62(升).‎ ‎(2)根据题意,‎ 当0≤t≤5时,‎ yB=50+4t.‎ 当5<t≤10时,‎ yB=70-10(t-5)=-10t+120.‎ yB与t的函数图象如图所示.‎ 图②‎ ‎(3)根据题意,设yA=2x,yB=3x,yC=4x.‎ ‎2x+3x+4x=50+60+70.解得x=20.‎ ‎∴yA=2x=40,yB=3x=60,yC=4x=80.‎ 由图象可知,当yA=40时,5≤t≤10,此时yB=-10t+120,yC=10t+20.‎ ‎∴-10t+120=60,解得t=6.‎ ‎10t+20=80,解得t=6.‎ ‎∴当t=6时,yA:yB:yC=2:3:4.‎ ‎7.解:(1)y1与x之间的函数关系式为y1=20x+540,‎ y2与x之间满足的一次函数关系式为y2=10x+630.‎ ‎(2)去年1至9月时,销售该配件的利润w=p1(1 000-50-30-y1)‎ ‎=(0.1x+1.1)(1 000-50-30-20x-540)‎ ‎=(0.1x+1.1)(380-20x)=-2x2+16x+418‎ ‎=-2(x-4)2+450,(1≤x≤9,且x取整数)‎ ‎∵-2<0,1≤x≤9,∴当x=4时,w最大=450(万元);‎ 去年10至12月时,销售该配件的利润w=p2(1 000-50-30-y2)‎ ‎=(-0.1x+2.9)(1 000-50-30-10x-630)‎ ‎=(-0.1x+2.9)(290-10x)=(x-29)2,(10≤x≤12,且x取整数)‎ 当10≤x≤12时,∵x<29,∴自变量x增大,函数值w减小,‎ ‎∴当x=10时,w最大=361(万元),∵450>361,‎ ‎∴去年4月份销售该配件的利润最大,最大利润为450万元.‎ ‎(3)去年12月份销售量为:-0.1×12+2.9=1.7(万件),‎ 今年原材料的价格为:750+60=810(元),‎ 今年人力成本为:50×(1+20%)=60(元),‎ 由题意,得5×[1 000(1+a%)-810-60-30]×1.7(1-0.1a%)=1 700,‎ 设t=a%,整理,得10t2-99t+10=0,解得t=,‎ ‎∵972=9 409,962=9 216,而9 401更接近9 409,‎ ‎∴≈97.‎ ‎∴t1≈0.1或t2≈9.8,∴a1≈10或a2≈980.‎ ‎∵1.7(1-0.1a%)≥1,∴a2≈980舍去,∴a≈10.‎ 答:a的整数值为10.‎

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