第6讲 分式方程
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考纲要求
命题趋势
1．理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)，知道解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程．
2．了解解分式方程产生增根的原因，能解决有关字母系数的问题．
3．会列分式方程解决实际问题.
中考中多以选择题、填空题、解答题的形式考查以下几点：(1)找分式方程的最简公分母，将分式方程化成整式方程；(2)已知方程有增根，确定有关字母的值；(3)解分式方程．列分式方程解决实际问题是中考的重点.
知识梳理
一、分式方程
1．分母里含有________的有理方程叫做分式方程．
2．使分式方程分母为零的未知数的值即为__________；分式方程的增根有两个特征：
(1)增根使__________为零；
(2)增根是分式方程化成的__________方程的根．
二、分式方程的基本解法
解分式方程的一般步骤：
(1)去分母，把分式方程转化为__________方程．
(2)解这个整式方程，求得方程的根．
(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为零，则它不是原方程的根，而是方程的__________，必须舍去；如果使最简公分母不为零，则它是原分式方程的根．
三、分式方程的实际应用
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
(1)检验所求的解是否是所列分式方程的解；
(2)检验所求的解是否符合实际．
自主测试
1．分式方程－＝的解为( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝5 D．无解
2．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，那么两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
3．已知关于x的分式方程＝1的解是非正数，则a的取值范围是__________．
考点一、分式方程的解法
【例1】解方程：＝.
分析：把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程求得分式方程的解．
解：原方程两边同乘6x，得3(x＋1)＝2x·(x＋1)，整理得2x2－x－3＝0，解得x＝－1或x＝.经验证知它们都是原方程的解，故原方程的解为x＝－1或x＝.
方法总结 解分式方程时应注意以下两点：(1)去分母时，要将最简公分母乘以每一个式子，不要“漏乘”；(2)解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可．若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根．
触类旁通1 解方程：＋＝.
【例2】解方程：＋＝.
解：设＝y，则原方程化为y＋＝.
解得y1＝2，y2＝.当y＝2时，＝2，解得x＝－1；
当y＝时，＝，解得x＝2.
经检验，x1＝－1，x2＝2均符合题意，
所以原方程的解为x1＝－1，x2＝2.
方法总结 解分式方程时，如按常规用约去分母的方法解，所得到的整式方程比较复杂，不易继续求解，我们可采用换元法求解．一般分式方程有以下两种情况时，可考虑换元法：第一种情况是“倒数型”，如＋＝，由于与互为倒数，当设＝y时，原方程可化为2y＋＝；第二种情况是“平方型”，如2－2－3＝0，此时设x－＝y，则原方程可化为y2－2y－3＝0.
触类旁通2 方程－＝0的根是________．
考点二、分式方程的增根
【例3】分式方程－1＝有增根，则m的值为( )
A．0或3 B．1
C．1或－2 D．3
解析：由(x－1)(x＋2)＝0得增根可能是x＝1或x＝－2，把方程两边都乘(x－1)(x＋2)得x(x＋2)－(x－1)·(x＋2)＝m，当x＝1时，得m＝3，当x＝－2时，得m＝0，此时方程变为－1＝0，即x＝x－1，此时方程无解，故m＝0舍去，∴当m＝3时，原方程有增根x＝1.
答案：D
方法总结 利用增根求分式方程中字母的值：(1)确定增根；(2)将原分式方程化成整式方程；(3)增根代入变形后的整式方程，求出字母的值．
触类旁通3 若解分式方程＝－1时产生增根，则m的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
考点三、分式方程的应用
【例4】某品牌瓶装饮料每箱价格26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？
解：设该品牌饮料一箱有x瓶，依题意，得－＝0.6，
化简，得x2＋3x－130＝0，解得x1＝－13(不合题意，舍去)，x2＝10.经检验：x＝10符合题意．
答：该品牌饮料一箱有10瓶．
方法总结 列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”，将实际问题抽象为方程问题．同时，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根据具体问题的实际意义，检验是否合理．
触类旁通4 某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工要多用30天才可完成．
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作__________天(用含a的代数式表示)可完成此项工程；
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
1．(2012浙江丽水)把分式方程＝转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )
A．x B．2x
C．x＋4 D．x(x＋4)
2．(2012四川宜宾)分式方程－＝的解为( )
A．3 B．－3 C．无解 D．3或－3
3．(2012浙江台州)小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是( )
A．＝× B．＝×
C．＋＝ D．＝－
4．(2012四川攀枝花)若分式方程：2＋＝有增根，则k＝__________.
5．(2012广东梅州)解方程：＋＝－1.
6．(2012山东临沂)某工厂加工某种产品，机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件．若加工1 800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍．求手工每小时加工产品的数量．
1．解方程＋＝3时，设＝y，则原方程化为y的整式方程为( )
A．2y2－6y＋1＝0 B．y2－3y＋2＝0
C．2y2－3y＋1＝0 D．y2＋2y－3＝0
2．分式方程＝的解是( )
A．x＝－2 B．x＝2
C．x＝1 D．x＝1或x＝2
3．若关于x的方程－＝0没有增根，则m的值不能是( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
4．某单位向一所希望小学赠送1 080件文具，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包
装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为( )
A．＝＋12 B．＝－12
C．＝－12 D．＝＋12
5．已知x＝1是分式方程＝的根，则实数k＝________.
6．若与1互为相反数，则x的值是__________．
7．已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围为__________．
8．解分式方程：(1)＋1＝；
(2)－＝1.
9．某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B 去分母，得3－2x＝x－2，解得x＝.经检验x＝是原方程的解．
2．C 相等关系为：货车行驶25千米所用时间＝小车行驶35千米所用时间．
3．a≤－1 去分母，得a＋2＝x＋1，解得x＝a＋1，由题意得a＋1≤0，所以a≤－1.
探究考点方法
触类旁通1．解：去分母，得x(x－2)＋(x＋2)2＝8.
去括号，得x2－2x＋x2＋4x＋4＝8.
整理，得x2＋x－2＝0.解得x1＝－2，x2＝1.
检验，当x1＝－2时，x2－4＝4－4＝0，∴x1＝－2是增根；
当x2＝1时，x2－4＝1－4＝－3≠0，
∴原方程的根是x＝1.
触类旁通2．解：－＝0，
60x＋180＝66x，
x＝30.
触类旁通3．C 使分母为零的未知数的值即为增根，增根一定是分式方程转化为整式方程后的这个整式方程的根．
∵＝－1有增根，∴x－1＝0，∴x＝1，∴mx＋1＝－x＋1.当x＝1时，解得m＝－1.
触类旁通4．解：(1)设乙单独做x天完成此项工程，则甲单独做(x＋30)天完成此项工程．由题意，得20＝1，
整理，得x2－10x－600＝0，
解得x1＝30，x2＝－20.
经检验：x1＝30，x2＝－20都是分式方程的解．
但x2＝－20不符合题意舍去，x＋30＝60.
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天．
(2)设甲单独做a天后，甲、乙再合作天，可以完成此项工程．
(3)由题意，得1×a＋(1＋2.5)≤64，
解得a≥36.
答：甲工程队至少要单独做36天后，再由甲、乙两队合作完成剩下的此项工程，才能使施工费不超过64万元．
品鉴经典考题
1．D
2．C 解方程去分母得12－2(x＋3)＝x－3解得x＝3，经检验x＝3是原方程的增根，原方程无解．
3．A 因为公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为(x＋20)千米/时，小王乘公共汽车从甲地到乙地所花的时间为小时，回来时路上所花时间为小时，根据相等关系：回来时路上所花时间＝去时路上所花时间×，列方程为＝×.
4．1 解方程去分母得2(x－2)＋1－kx＝－1，由于原方程有增根，则x＝2，解得k＝1.
5．解：方程两边都乘以(x＋1)(x－1)，得4－(x＋1)(x＋2)＝－(x2－1)，整理，得3x＝1，解得x＝.
经检验，x＝是原方程的解．
故原方程的解是x＝.
6．解：设手工每小时加工产品x件，则机器每小时加工产品(2x＋9)件．根据题意，得×＝.
解这个方程，得x＝27.
经检验，x＝27是原方程的解．
答：手工每小时加工产品27件．
研习预测试题
1．B 设＝y，则原方程化为y＋＝3，去分母移项得y2－3y＋2＝0.
2．C 去分母，得2x－5＝－3，解得x＝1.检验，当x＝1时，x－2≠0，所以原方程的解为x＝1.
3．B 将分式方程两边都乘以(x－1)，得m－1－x＝0，把x＝1代入m－1－x＝0，解得m＝2.所以若原分式方程没有增根，则m≠2.
4．B 因为B型包装箱每个可以装x件文具，则A型包装箱每个可以装(x－15)件文具．相等关系为：单独使用B型包装箱数＝单独使用A型包装箱数－12，列方程为＝－12.
5． 把x＝1代入方程，得＝3k，解得k＝.
6．－1 由题意，得＋1＝0，所以2＋(x－1)＝0，
所以x＝－1.经检验x＝－1是方程＋1＝0的解．
7．m＞－6且m≠－4 由＝3，得x＝m＋6，
∴m＋6＞0，m＞－6.又∵x－2≠0，即x≠2，∴m≠－4，
故m＞－6且m≠－4.
8．解：(1)去分母，得x2＋x(x＋1)＝(2x＋1)(x＋1)，解得x＝－.经检验：x＝－是原方程的解，
所以原方程的解为x＝－.
(2)去分母，得x－1－2x＝x2－1，
化简，得x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1.
经检验：x＝－1不是原方程的解．
所以原方程的解为x＝0.
9．解：设原计划每天铺设管道x米．
则＋＝27.
解得x＝10(米)．
经检验，x＝10是原方程的解．
答：原计划每天铺设管道10米．
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