5.2 y＝log2x的图像和性质
5．3 对数函数的图像和性质(1)
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思路1.复习以下内容：(1)对数函数的定义；(2)对数函数的反函数．
这些定义与性质有什么作用呢？这就是我们本堂课的主讲内容，教师点出课题．
推进新课
下面研究对数函数y＝log2x的图像和性质．可以用两种不同方法画出函数y＝log2x的图像．
方法一：描点法．
先列出x，y的对应值表如下：
x
…
1
2
4
8
…
y＝log2x
…
－2
－1
0
1
2
3
…
再用描点法画出图像如图2.
图2
方法二：画出函数x＝log2y的图像，再变换为y＝log2x的图像．
由于指数函数y＝ax和对数函数x＝logay所表示的x和y这两个变量间的关系是一样的，因而函数x＝log2y和y＝2x的图像是一样的(如图3(1))．
用x表示自变量，把x轴、y轴的位置互换，就得到y＝log2x的图像(如图3(2))．
(1) (2)
图3 图4
习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，把图3(2)翻转，使x轴在水平位置，得到通常的y＝log2x的图像(如图4)．
观察对数函数y＝log2x的图像，过点(1,0)，即x＝1时，y＝0；函数图像都在y轴右边，表示了零和负数没有对数；当x＞1时，y＝log2x的图像位于x轴上方，即x＞1时，y＞0；函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．
对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)，在其底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图像和性质可以总结如下表．
a＞1
0＜a＜1
图像
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(2)值域：R
(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，y＜0
(4)当x＞1时，y＜0；
当0＜x＜1时，y＞0
(5)是(0，＋∞)上的增函数
(5)是(0，＋∞)上的减函数
(1)根据你掌握的知识目前比较数的大小有什么方法？
(2)判断函数的单调性有哪些方法和步骤？
(3)判断函数的奇偶性有哪些方法和步骤？
活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．
问题(1)学生回顾数的大小的比较的方法，有些数一眼就能看出大小，有些数比较抽象，就用到某些函数的图像和性质，要分别对待，具体问题具体分析．
问题(2)学生回顾判断函数的单调性的方法和步骤，严格按步骤与规定．
问题(3)学生回顾判断函数的奇偶性的方法和步骤，严格按步骤与规定．
讨论结果：(1)比较数的大小：
①作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大．
②作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小．
③计算出每个数的值，再比较大小．
④是两个以上的数，有时采用中间量比较．
⑤利用图像法．
⑥利用函数的单调性．
(2)常用的方法有定义法、图像法、复合函数的单调性的判断．
利用定义证明单调性的步骤：
①在给定的区间上任取两个自变量的值x1，x2，且x1＜x2.
②作差或作商(同号数)，注意变形．
③判断差的符号，商与1的大小．
④确定增减性．
对于复合函数y＝f[g(x)]可以总结为：
当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f[g(x)]是增函数；
当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f[g(x)]是减函数．
又简称为口诀“同增异减”．
(3)有两种方法：定义法和图像法．
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系；
③作出相应结论：
若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；
若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．
图像法：
偶函数的图像关于y
轴对称；奇函数的图像关于原点对称．这也可以作为判断函数奇偶性的依据．下面看它们的应用．
思路1
例1 比较下列各组数中的两个值的大小：
(1)log25.3，log24.7；(2)log0.27，log0.29；(3)log3π，logπ3；(4)loga3.1，loga5.2(a＞0，a≠1)．
活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，并及时评价．对(1)与(2)由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成，直接利用对数函数的单调性；作出图像，利用图像法比较；计算出结果；作差利用对数函数的性质．对(4)因为底数的大小不确定，因此要分别讨论，再利用对数函数的单调性；作差利用对数函数的性质；转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小．对(3)两个对数式的底数和真数均不相同．设法找到一个具体的对数函数，根据这个函数的单调性来比较它们的大小，题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较．
解：(1)解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数y＝log2x的图像，如图5.
图5
在图像上，横坐标为4.7的点在横坐标为5.3的点的下方，
所以log24.7＜log25.3.
解法二：由函数y＝log2x在R＋上是单调增函数，且4.7＜5.3，
所以log24.7＜log25.3.
(2)因为0.2＜1，函数y＝log0.2x是减函数，7＜9，所以log0.27＞log0.29.
(3)解法一：因为函数y＝log3x和函数y＝logπx都是定义域上的增函数，
所以logπ3＜logππ＝1＝log33＜log3π.所以logπ3＜log3π.
解法二：直接利用对数的性质，logπ3＜1，而log3π＞1，因此logπ3＜log3π.
(4)解法一：当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，且3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2.
当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，且3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
点评：对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明时，需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．同时本题采用了多种解法，从中还体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用.
变式训练
比较log20.7与log0.8两值的大小．
解：考查函数y＝log2x.
因为2＞1，所以函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．
又0.7＜1，所以log20.7＜log21＝0.再考查函数y＝logx，
因为0＜＜1，所以函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数．
又1＞0.8，所以log0.8＞log1＝0.所以log20.7＜0＜log0.8.
点评：题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对
数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较，这里的中间量是0.
例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝logax2；(2)y＝loga(4－x)．
活动：学生回忆，教师提示，学生展示解题过程，教师巡导，及时评价学生．此题主要利用对数及对数函数的定义及y＝logax的定义域(0，＋∞)求解．教师引导，学生回答，求函数定义域时应首先考虑函数解析式，这两类题既有二次根式，又有对数和指数式，且真数和指数中含有变量，因此考虑被开方数非负；零和负数没有对数等；转化为不等式来解．
解：(1)要使函数有意义，则需x2＞0，即x≠0，所以定义域为{x|x≠0}；
(2)因为4－x＞0，即x＜4，所以函数定义域为{x|x＜4}．
点评：该题主要考查对数函数及其性质，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可．
思路2
例1 已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．
活动：学生先思考讨论，再交流回答，教师要求学生展示自己的思维过程，教师根据实际，可以提示引导．学生回忆数的大小的比较方法，选择合适的．要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较；作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小．因为本题中的f(x)与g(x)的正负不确定，所以采取作差比较法．
解：f(x)，g(x)的定义域都是(0,1)∪(1，＋∞)．
f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝1＋logx3－logx4＝logxx.
(1)当0＜x＜1时，若0＜x＜1，即0＜x＜，此时logxx＞0，即0＜x＜1时，f(x)＞g(x)；若x≥1，即x≥，这与0＜x＜1相矛盾．
(2)当x＞1时，若x＞1，即x＞，此时logxx＞0，即x＞时，f(x)＞g(x)；
若x＝1，即x＝，此时logxx＝0，即x＝时，f(x)＝g(x)；
若0＜x＜1，即0＜x＜，此时logxx＜0，即1＜x＜时，f(x)＜g(x)．
综上所述，当x∈(0,1)∪时，f(x)＞g(x)；
当x＝时，f(x)＝g(x)；当x∈时，f(x)＜g(x)．
点评：对数值的正负取决于对数的底数和真数的关系．而已知条件并未指明时，需要对底数和真数进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握，注意体会和运用.
变式训练
已知logm5＜logn5，比较m，n的大小．
活动：学生观察思考，交流探讨，教师提示，并评价学生的思维过程．已知对数式的大小关系，要求我们确定底数的大小关系，若变量在真数位置上，我们就可以解决这个问题了，我们设法对原式进行变换使变量在真数位置上，我们知道log5m和logm5的关系是倒数关系，有了这个关系，题中已知条件就变为＜，由已知条件知道m、n都大于0，且都不等于1，据此确定m，n的大小关系．
解：因为logm5＜logn5，所以＜.
①当m＞1，n＞1时，得0＜＜，
所以log5n＜log5m.所以m＞n＞1.
②当0＜m＜1,0＜n＜1时，得＜＜0，
所以log5n＜log5m.所以0＜n＜m＜1.
③当0＜m＜1，n＞1时，得log5m＜0，log5n＞0，
所以0＜m＜1，n＞1.所以0＜m＜1＜n.
综上所述，m，n的大小关系为m＞n＞1或0＜n＜m＜1或0＜m＜1＜n.
点评：分类讨论是解题的关键.
例2 求函数y＝log2(x2－x－6)的单调区间，并证明．
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导．求函数的单调区间一般用定义法，有时也利用复合函数的单调性．定义法求函数的单调区间，其步骤是：①确定函数的定义域，在定义域内任取两个变量x1和x2，通常令x1＜x2；②通过作差比较f(x1)和f(x2)的大小，来确定函数的单调递增区间和单调递减区间(注意保持变量x1和x2的“任意性”)；③再归纳结论．
解法一：由x2－x－6＞0，得x＜－2或x＞3，不妨设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝log2(x－x1－6)－log2(x－x2－6)＝log2＝log2.
因为x1＜x2＜－2，所以x1－3＜x2－3＜0，x1＋2＜x2＋2＜0.所以＞1.
所以log2＝log2＞0，
即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．
所以函数f(x)＝log2(x2－x－6)在区间(－∞，－2)上是减函数．
同理，函数f(x)＝log2(x2－x－6)在区间(3，＋∞)上是增函数．
解法二：令u＝x2－x－6，则y＝log2u.
因为y＝log2u为u的增函数，所以当u为x的增函数时，y为x的增函数；
当u为x的减函数时，y为x的减函数．
由x2－x－6＞0，得x＜－2或x＞3，借助于二次函数的图像，可知
当x∈(－∞，－2)时，u是x的减函数，
当x∈(3，＋∞)时，u是x的增函数．
所以原函数的单调减区间是(－∞，－2)，单调增区间是(3，＋∞)．
点评：本题考查复合函数单调性的判定方法．一般地，设函数y＝f(u)，u＝g(x)都是给定区间上的单调函数．若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相同，则函数y＝f[g(x)]是增函数；若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相反，则函数y＝f[g(x)]是减函数．
1．函数y＝的定义域是( )．
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
2．求y＝log0.3(x2－2x)的单调递减区间．
3．求函数y＝log2(x2－4x)的单调递增区间．
答案：1.要使函数有意义，需log2x－2≥0，log2x≥2，x≥4，因此函数的定义域是[4，＋∞)，选D.
2．先求定义域：由x2－2x＞0，得x(x－2)＞0，所以x＜0或x＞2.
因为函数y＝log0.3t是减函数，故所求单调减区间即为t＝x2－2x在定义域内的增区间．
又t＝x2－2x的对称轴为x＝1，所以所求单调递减区间为(2，＋∞)．
3．先求定义域：由x2－4x＞0得x(x－4)＞0，所以x＜0或x＞4.
又函数y＝log2t是增函数，故所求单调递增区间即为t＝x2－4x在定义域内的单调递增区间．
因为t＝x2－4x的对称轴为x＝2，
所以所求单调递增区间为(4，＋∞)．
探究y＝logax的图像随a的变化而变化的情况．
用计算机先画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log5x，y＝logx，y＝logx的图像，如图6.
图6
通过观察图像可总结如下规律：当a＞1时，a值越大，y＝logax的图像越靠近x轴；当0＜a＜1时，a值越大，y＝logax的图像越远离x轴．
本节课复习了对数函数及其性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的内容进行了学习，要高度重视，特别是要和高考接轨，注意题目的形式和难度．
1．求函数y＝＋lg(5－2x)的定义域．
解：要使函数有意义，只需即解得1≤x＜.
所以函数的定义域是.
2．求函数y＝log(x2－2x－3)的单调区间，并用单调定义给予证明．
解：∵x2－2x－3＞0，∴x＞3或x＜－1.
单调减区间是(3，＋∞)，单调增区间是(－∞，－1)．
证明：设x1，x2∈(3，＋∞)且x1＜x2，则y1＝log(x－2x1－3)，y2＝log(x－2x2－3)，(x－2x1－3)－(x－2x2－3)＝(x2－x1)[2－(x1＋x2)]．
∵x2＞x1＞3，∴x2－x1＞0,2－(x1＋x2)＜0.
∴(x－2x1－3)＜(x－2x2－3)．又底数0＜＜1，
∴y1－y2＞0，即y1＞y2.∴y在(3，＋∞)上是减函数．
同理可证y在(－∞，－1)上是增函数．
3．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，求a的取值范围．
解：因为a＞0且a≠1，
(1)当a＞1时，函数t＝2－ax＞0是减函数；
由y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，知y＝logat是增函数，所以a＞1；
由x∈[0,1]时，2－ax≥2－a＞0，得a＜2，所以1＜a＜2.
(2)当0＜a＜1时，函数t＝2－ax＞0是增函数；
由y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，知y＝logat是减函数，
所以0＜a＜1.由x∈[0,1]时，2－ax≥2－1＞0，所以0＜a＜1.
综上所述，0＜a＜1或1＜a＜2.
本堂课主要是复习对数函数及其性质，是在以前基础上的提高与深化，它起着承上启下的作用，侧重于对数函数的单调性和奇偶性，同时又兼顾了高考常考的内容，对于对数函数的单调性需严格按定义来加以论证，对于对数函数的奇偶性的判定也要按定义来加以论证，这类问题不但技巧性较强，而且涉及面广，容量大，因此要集中精力，提高学生兴趣，加快速度，高质量完成教学任务．
(设计者：路致芳)
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