平方差公式集体备课教案
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资料简介
双井中学八年级(数学)备课组 ‎ 集 体 备 课 教 案 主 备: 辅 备:‎ 上课时间 年 月 日 (星期 )‎ 本周第( )课时 总( )课时 上课教师 班 级 八年级( )班 课题:‎ ‎《14.2.1 平方差公式》‎ 三维 目标 知识与技能 会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算 过程与方法 在探索平方差公式的过程中,培养符号感和推理能力 情感态度与价值观 在计算过程中发现规律,并能用符号表示,从而体会数学的简捷美 教学重点:平方差公式的推导和应用 教学难点:理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式 教学方法与手段:探究与讲练相结合 教学过程:‎ 一.提出问题,创设情境 ‎ [师]你能用简便方法计算下列各题吗?‎ ‎ (1)2001×1999 (2)998×1002‎ ‎ [生甲]直接乘比较复杂,我考虑把它化成整百,整千的运算,从而使运算简单,2001可以写成2000+1,1999可以写成2000-1,那么2001×1999可以看成是多项式的积,根据多项式乘法法则可以很快算出.‎ ‎ [生乙]那么998×1002=(1000-2)(1000+2)了.‎ ‎ [师]很好,请同学们自己动手运算一下.‎ ‎ [生](1)2001×1999=(2000+1)(2000-1)‎ ‎ =20002-1×2000+1×2000+1×(-1)‎ ‎ =20002-1‎ ‎ =4000000-1‎ ‎ =3999999.‎ ‎ (2)998×1002=(1000-2)(1000+2)‎ ‎ =10002+1000×2+(-2)×1000+(-2)×2‎ ‎ =10002-22‎ ‎ =1000000-4‎ ‎ =1999996.‎ ‎ [师]2001×1999=20002-12‎ ‎ 998×1002=10002-22 ‎ ‎ 它们积的结果都是两个数的平方差,那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢?我们继续进行探索.‎ ‎ 二.导入新课 ‎ [师]出示投影片 ‎ 计算下列多项式的积.‎ 修订、增减 ‎ (1)(x+1)(x-1)‎ ‎ (2)(m+2)(m-2)‎ ‎ (3)(2x+1)(2x-1)‎ ‎ (4)(x+5y)(x-5y)‎ ‎ 观察上述算式,你发现什么规律?运算出结果后,你又发现什么规律?再举两例验证你的发现.‎ ‎ (学生讨论,教师引导)‎ ‎ [生甲]上面四个算式中每个因式都是两项.‎ ‎ [生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积.例如算式(1)是x与1这两个数的和与差的积;算式(2)是m与2这两个数的和与差的积;算式(3)是2x与1这两个数的和与差的积;算式(4)是x与5y这两个数的和与差的积.‎ ‎ [师]这个发现很重要,请同学们动笔算一下,相信你还会有更大的发现.‎ ‎ 解:(1)(x+1)(x-1)‎ ‎ =x2+x-x-1=x2-12‎ ‎ (2)(m+2)(m-2)‎ ‎ =m2+‎2m-2m-2×2=m2-22‎ ‎ (3)(2x+1)(2x-1)‎ ‎ =(2x)2+2x-2x-1=(2x)2-12‎ ‎ (4)(x+5y)(x-5y)‎ ‎ =x2+5y·x-x·5y-(5y)2‎ ‎ =x2-(5y)2‎ ‎[生]从刚才的运算我发现:‎ 也就是说,两个数的和与差的积等于这两个数的平方差,这和我们前面的简便运算得出的是同一结果.‎ ‎ [师]能不能再举例验证你的发现?‎ ‎ [生]能.例如:‎ ‎51×49=(50+1)(50-1)=502+50-50-1=502-12.‎ ‎ 即(50+1)(50-1)=502-12.‎ ‎ (-a+b)(-a-b)=(-a)·(-a)+(-a)·(-b)+b·(-a)+b·(-b)‎ ‎=(-a)2-b2=a2-b2‎ ‎ 这同样可以验证:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.‎ ‎ [师]为什么会是这样的呢?‎ ‎ [生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后,中间两项是同类项,且系数互为相反数,所以和为零,只剩下这两个数的平方差了.‎ ‎ [师]很好.请用一般形式表示上述规律,并对此规律进行证明.‎ ‎ [生]这个规律用符号表示为:‎ ‎ (a+b)(a-b)=a2-b2.其中a、b表示任意数,也可以表示任意的单项式、多项式.‎ ‎ 利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明:‎ ‎ (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.‎ ‎ [师]同学们真不简单.老师为你们感到骄傲.能不能给我们发现的规律(a+b)(a-b)=a2-b2起一个名字呢?‎ ‎ [生]最终结果是两个数的平方差,叫它“平方差公式”怎样样?‎ ‎ [师]有道理.这就是我们探究得到的“平方差公式”,请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式.‎ ‎ (出示投影)‎ ‎ 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.‎ ‎ 即:(a+b)(a-b)=a2-b2‎ ‎ 平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式,用它直接运算会很简便,但必须注意符合公式的结构特征才能应用.‎ ‎ 在应用中体会公式特征,感受平方差公式给运算带来的方便,从而灵活运用平方差公式进行计算 ‎ (出示投影片)‎ ‎ 例1:运用平方差公式计算:‎ ‎ (1)(3x+2)(3x-2)‎ ‎ (2)(b+‎2a)(‎2a-b)‎ ‎ (3)(-x+2y)(-x-2y)‎ ‎ 例2:计算:‎ ‎ (1)102×98‎ ‎ (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)‎ ‎ [师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征,学会对号入座.‎ ‎ 在例1的(1)中可以把3x看作a,2看作b.‎ ‎ 即:(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22‎ ‎ (a+b)(a-b)=a2-b2‎ ‎ 同样的方法可以完成(2)、(3).如果形式上不符合公式特征,可以做一些简单的转化工作,使它符合平方差公式的特征.比如(2)应先作如下转化:‎ ‎ (b+‎2a)(‎2a-b)=(‎2a+b)(‎2a-b).‎ ‎ 如果转化后还不能符合公式特征,则应考虑多项式的乘法法则.‎ ‎ (作如上分析后,学生可以自己完成两个例题.也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的)‎ ‎ [例1]解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.‎ ‎ (2)(b+‎2a)(‎2a-b)=(‎2a+b)(‎2a-b)=(‎2a)2-b2=‎4a2-b2.‎ ‎ (3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.‎ ‎ [例2]解:(1)102×98=(100+2)(100-2)‎ ‎ =1002-22=10000-4=9996.‎ ‎ (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)‎ ‎ =y2-22-(y2+5y-y-5)‎ ‎ =y2-4-y2-4y+5‎ ‎ =-4y+1.‎ 三.随堂练习 ‎ P108练习1,2‎ 教师小结:‎ 通过本节学习我们掌握了如下知识.‎ ‎ (1)平方差公式 ‎ 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.这个公式叫做乘法的平方差公式.即(a+b)(a-b)=a2-b2.‎ ‎ (2)公式的结构特征 ‎ ①公式的字母a、b可以表示数,也可以表示单项式、多项式;‎ ‎ ②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式;‎ ‎ ③有些式子表面上不能应用公式,但通过适当变形实质上能应用公式.如:(x+y-z)(x-y-z)=[(x-z)+y][(x-z)-y]=(x-z)2-y2. ‎ 布置作业:课本P习题14.2第1题 板书设计:‎ 14.2.1 平方差公式 归纳规律──平方差公式;‎ 文字语言:两数和与这两数差的积,等于它们的平方差 符号语言:(a+b)(a-b)=a2-b2‎ 应用、升华:‎ 教学反思:‎

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