2020-2021学年山东省东营二中高二上学期第八周周测数学试题 word版

1 山东省东营二中 2020-2021 学年高二上学期第八周周测数学试题 考试时间：120 分钟 总分：150 分 第 I 卷（选择题） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线 3 2 0x y   的倾斜角是（ ） A.30° B.60° C.120° D.150° 2.经过 (0,2)A ， (1,0)B 两点的直线的方向向量为 (1, )k ，则 k 的值是（ ） A.1 B.-1 C.-2 D.2 3.如右图，在四面体 OABC 中，D 是 BC 的中点，G 是 AD 的中点，则OG  等于（ ） A. 1 1 1 3 3 3OA OB OC    B. 1 1 1 2 4 4OA OB OC    C. 1 1 1 2 3 4OA OB OC    D. 1 1 1 4 4 6OA OB OC    4.设 x y R， ，向量  ,1,1a x ，  1, ,1b y ，  2, 2,2c   ，且 a c  ， / /b c   ，则 a b  （ ） A. 2 2 B.3 C. 5 D.4 5.点  2,5P 关于直线 1 0x y   的对称点的坐标为( ) A． B． C． D． 6.已知直线  1 : 2 1 2 3 0l x a y a     ， 2 2 : 3 4 0l ax y a    ，则“ 3 2a  ”是“ 1 2l l// ”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，棱 AB，A1D1 的中点分别为 E，F，则直线 EF 与平面 AA1D1D 所成角的正弦值为 （ ） A. 30 6 B. 2 5 5 C. 6 6 D. 5 5 8.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 BC 的中点，点 P 在底面 ABCD 上（包括边界．．．．）移动，且 满足 1 1B P D E ，则线段 B1P 的长度的最大值为（ ） A. 6 5 5 B. 2 5 C. 2 2 D.3 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9.已知向量  1,1,0a  ，则与 a  共线的单位向量 e  =（ ） A. 2 2, ,02 2       B. (0,1,0) C. 2 2, ,02 2       D. ( 1, 1,0)  10.下列说法不正确的是（ ） A. 1 1 y y kx x   不能表示过点 1 1)(M x y， 且斜率为 k 的直线方程； B.在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a，b 的直线方程为 1x y a b   ； C.直线 y kx b  与 y 轴的交点到原点的距离为 b； D.平面内的所有直线的方程都可以用斜截式来表示. 11.已知直线 l1： 2 3 1 0x y   和 l2： 4 6 9 0x y   ，若直线 l 到直线 l1 的距离与到直线 l2 的距离之比为 1:2， 则直线的方程为（ ） A. 2 3 8 0x y   B. 4 6 5 0x y   C. 6 9 10 0 x y   D. 12 18 13 0x y   12.设动点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上，记 1 1=D P λD B   ，当 APC 为钝角时，则实数λ可能的取 值是（ ） A. 1 2 B. 2 3 C. 1 3 D.1 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.点 ( 5,7)P  到直线12 5 1 0x y   的距离为________； 14.在棱长为 1 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为线段 DD1 的中点，则 A1 到平面 AB1E 的距离为________； 2 15.直线l 过点 (4,1) 且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________， 当△AOB 面积取最小值时直线 l 的一般式方程是____________； 16.点 P 是棱长为 4 的正四面体表面上的动点, MN 是该四面体内切球的一条直径,则 PNPM  的最大值 是 . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分）求适合下列条件的直线方程： （1）已知 (2, 3)A  ， (3, 2)B  ，求线段 AB 的垂直平分线的方程； （2）求经过点 (2, 3)A  并且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程. 18.（12 分）如下图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中， 1 1 60A AB A AD BAD       ， 1 1AB AD AA   ， （1）求 A1C 的长； （2）求证：直线 A1C⊥平面 BDD1B1. 19.（12 分）已知△ABC 的顶点 (51)A ， ，边 AB 上的中线 CM 所在直线方程为 2 5 0x y － － ，边 AC 上的高 BH 所在直线方程为 2 5 0x y － － ， （1）求顶点 C 的坐标； （2）求△ABC 的面积. 20.（12 分）如右图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G 分别是 AB，CC1，AD 的中点. （1）求异面直线 B1E 与 BG 所成角的余弦值； （2）棱 CD 上是否存在点 T，使得 AT//平面 B1EF？请证明你的结论. 21.（12 分）如图,四边形 ABCD 是圆柱OQ 的轴截面,点 P 在圆柱OQ 的底面圆周上,G 是 DP的中点,圆柱OQ 的底面圆的半径 2OA ,圆柱的侧面积为 38 ,  120AOP . (1)求点 G 到直线 BC 的距离； (2)求平面 PAG 与平面 BAG 的夹角的余弦值. 22. （ 12 分 ） 如 图 (1) 所 示 , 在 ABCRt 中 ,  90C , 6,3  ACBC , ED, 分 别 是 ABAC, 上 的 点 , 且 2,// DEBCDE ,将 ADE 沿 DE 折起到 DEA1 的位置,使 CDCA 1 ,如图（2）所示. (1)求证： CA1 平面 BCDE ； (2)若 M 是 DA1 的中点,求CM 与平面 BEA1 所成角的大小； (3)线段 BC （不包括端点）上是否存在点 P ,使平面 DPA1 与平面 BEA1 垂直？说明理由. 3 答案： 东营市第二中学高二数学第八周周测答案 一、单选题：1-5：DCBCB 6-8：ACD 二、多选题：9.AC 10.BCD 11.BD 12.AB 三、填空题：13. 2 14. 4 3 15. 4 ， 4 8 0x y   16. 3 16 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.解：（1）线段 AB 的中点坐标 5 5,2 2     ， 2 ( 3) 13 2ABk     ， 2 分 线段 AB 垂直平分线的斜率为-1 3 分 所以线段 AB 垂直平分线的方程为 5 5 2 2y x       ，即 0x y  ， 5 分 （2）当直线的截距不为 0 时，可设直线方程为 1x y a a   ， 因为经过点 (2, 3)A  则 2 3 1a a   ，解得 1a   ，得所求直线方程是 1 0x y   7 分 当直线的截距为 0 时，故所求的直线过原点 (0,0) 点 (2,3)A 易得所求方程为：3 2 0x y + 9 分 综上可知所求方程为：3 2 0x y + 或 1 0x y + + 10 分 18.解：（1）如图，以 1AB AD AA   , , 作为基底， 2 2 1 1( )AC AB AD AA      2 2 2 1 1 12 2 2AB AD AA AB AD AB AA AA AD                 3 分 ∴ 2 2 2 2 1 1 1 12 2 2AC AB AD AA AB AD AB AA AA AD                  1 1 1 1 1 1 2  + + - - ∴ 1 2AC  6 分 (2)需证明 1 1( ) 0AC DB AB AD AA DB           ∴ 1AC DB 8 分 1 1 1 1( ) 0AC DD AB AD AA AA           ∴ 1 1AC DD 10 分 又∵ 1DB DD D  直线 A1C⊥平面 BDD1B1 12 分 19.解：由顶点 (51)A ， ,和边 AC 上的高 BH 所在直线方程为 2 5 0x y - - ， 得直线 AC 的方程： 2 11 0x y - ① 1 分 中线 CM 所在直线方程为 2 5 0x y - - ② 由①②解得 4x  ， 3y  所以顶点 (4,3)C ， 4 分 （2）设顶点 ( , )B m n 因为 AB 的中点在中线 CM 上，所以 5 12 5 02 2 m n    ③ 5 分 因为高 BH 所在直线方程为 2 5 0x y - - ，所以 2 5 0m n - - ④ 6 分 由③④解得 1m   ， 3n   ，所以顶点 ( 1, 3)B   ， 8 分 顶点 ( 1, 3)B   到直线 AC： 2 11 0x y ＋ － 距离为 2 2 2 ( 1) 3 11 16 52 1       10 分 线段 2 2(5 4) (1 3) 5AC      11 分 1 165 82 5ABCS     12 分 20.【解析】以 D 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系： 设正方体棱长为 2a， （1）设异面直线 B1E 与 BG 所成角为θ， ∵ 1 (0, , 2 )B E a a   ， ( , 2 ,0)BG a a   2 分 ∴ 21 1 2 2 55 5 B E BG acosθ a aB E BG          ， 4 分 即异面直线 B1E 与 BG 所成角的余弦值为 2 5 。 5 分 4 （2）假设在棱 CD 上存在点 (0, ,0)T t ，  0,2t a ，使得 AT//平面 B1EF， (-2 , ,0)AT a t ， 6 分 设平面 B1EF 的法向量 ( , , )n x y z ， 1 (0, , 2 )B E a a   ， ( 2 , , )EF a a a  ， ∴ 1 2 0 2 0 B E n ay az EF n ax ay az                  ，令 1z  ，则 2y   ， 1 2x   ，∴ 1 , 2,12n        ， 9 分 ∴ 2 0AT n a t     ，解得： 2 at  ， ∴ 1 4DT DC ， 11 分 ∴棱 CD 上存在点 T，满足 1 4DT DC ，使得 AT//平面 B1EF 12 分 21.（1）解：以 P 为 原点,以 AP 的延长线为 x 轴,以 PB 所在的直线为 y 轴,如图建立空间直角坐标系, 设圆柱的高为 h ,则由侧面积得  3822  h ,则 32h , 由  120AOP ,得 2,32  BPAP . )3,0,3(),32,0,32(),32,2,0(),0,2,0(),0,0,32(),0,0,0(  GDCBAP , 3 分 )32,0,0(),3,2,3(  BCBG ,直线 BC 的单位方向向量为 )1,0,0(u , 4 分 设点 G 到直线 BC 的距离为 d ,则 3,103)2()3( 2222  uBGBG 7310)( 22  uBGBGd , 所以点 G 到直线 BC 的距离为 7 . 6 分 （2）平面 PAG 的法向量为 )0,1,0(1 n , )0,2,32( BA , 设平面 BAG 的法向量为 ),,( zyxn  , 则      0 0 nBG nBA ,      0323 0232 zyx yx ,      xz xy 3 ,令 1x ,则 )1,3,1( n . 9 分 设平面 PAG 与平面 BAG 的夹角 ,则 5 15 5 3 )1()3(1010 )1(0)3(110,coscos 222222 1 1 1    nn nnnn , 11 分 所以平面 PAG 与平面 BAG 的夹角的余弦值为 5 15 . 12 分 22.（1）证明： BCDECA BCDECDBC CCDBC CACD CABC DEBC CADE DCACA DCADE DCADCDA DDADC DCDE DADE 平面 平面 平面 平面 平面                              1 1 1 1 11 1 11 1 1 , // ,  3 分 （2）解：以 C 为 原点,以 DC 的延长线为 x 轴,以 1,CACB 所在的直线分别为 zy, 轴,如图建立空间直角坐标系, )3,0,1(),0,2,2(),0,0,2(),0,3,0(),32,0,0(),0,0,0( 1  MEDBAC , )32,2,2(),32,3,0(),3,0,1( 11  EABACM , 设平面 BEA1 的法向量为 ),,( zyxn  , 则      0 0 1 1 nEA nBA ,      03222 0323 zyx zy ,         yx yz 2 1 2 3 ,令 2y ,则 )3,2,1(n . 设CM 与平面 BEA1 的夹角 ,则 2 2 82 4 32)1(30)1( 3320)1()1(,cossin 222222      nCM nCMnCM 因为 ]2,0[   ,所 以 4   ,所以CM 与平面 BEA1 所成角为 4  . 7 分 （3）解：设点 P 的坐标为 )30)(0,,0(  mm , )0,,2(),32,0,2(1 mDPDA  , 5 设平面 DPA1 的法向量为 ),,( 1111 zyxn  , 则      0 0 1 11 nDP nDA ,      02 0322 11 11 myx zx ,         11 11 2 3 1 xmy xz ,令 mx 31  ,则 ),32,3(1 mmn  . 10 分 要使平面 DPA1 与平面 BEA1 垂直,需 0)(3)32(23)1(1  mmnn ,解得 2m ,不满足条件. 所以不存在这样的点 P . 12 分