2020-2021学年山东省高二一部上学期第八周周测数学试题 word版

1 山东省 2020-2021 学年高二一部上学期第八周周测 数学试题 一、单项选择 1．已知空间中三点 (0,1,0)A ， (2,2,0)B ， ( 1,3,1)C  ，则（ ） A． AB  与 AC  是共线向量 B． AB  的单位向量是 2 5 5, ,05 5      C． AB  与 BC  夹角的余弦值是 55 11 D．平面 ABC 的一个法向量是 (1, 2,5) 2．直线 0ax y a  ＝ 与直线 0x ay a  ＝ 在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 3．若动点    1 1 2 2, , ,A x y B x y 分别在直线 1 : 7 0l x y   和 2 : 5 0l x y   上移动，则 AB 中点 M 到原点距离的最小值为( ) A．3 2 B． 2 3 C．3 3 D． 4 2 4．已知定点  2,0M ，  2,0N  ， P 是椭圆 2 2 19 5 x y  上的动点，则 9 1 PM PN  的最小值为 （ ） A．2 B． 7 3 C． 8 3 D．3 5．已知椭圆 C: 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )的左右焦点分别为 1 2,F F ,如果 C 上存在一点 Q,使 1 2 120FQF   ,则椭圆的离心率 e的取值范围为( ) 2 A． 10, 2      B． 1 12     ， C． 30, 2      D． 3 12      ， 6．点 (4, 2)P  与圆 2 2 4x y  上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ） A． 2 2( 2) ( 1) 1x y    B． 2 2( 2) ( 1) 4x y    C． 2 2( 4) ( 2) 4x y    D． 2 2( 2) ( 1) 1x y    7．已知圆 2 2 1 :( 2) ( 3) 1C x y    ，圆 2 2 2 :( 3) ( 4) 9C x y    ， ,M N 分别为圆 1 2,C C 上的点， P 为 x 轴上的动点，则| | | |PM PN 的最小值为( ) A． 17 B． 17 1 C． 6 2 2 D．5 2 4 8．在棱长为1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，则平面 1AB C 与平面 1 1AC D 之间的距离 ( ) A． 3 6 B． 3 3 C． 2 3 3 D． 3 2 二、多项选择 9．设 a ,b , c 是任意的非零空间向量,且两两不共线,则下列结论中正确的有（ ）． A．| | | | | |a b a b     B． ( ) ( ) 0a b c c a b        C． ( ) ( )b a c c a b       不与c 垂直 D． 2 2(3 2 ) (3 2 ) 9 | | 4 | |a b a b a b         10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(﹣4，0)，点 B 圆 C： 2 2( 2) 4x y   上任一点，点 P 为 AB 的中点，若点 M 满足 MA2＋MO2＝58，则线段 PM 的长度可能为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 11．以下四个命题表述正确的是（ ） 3 A．直线   3 4 3 3 0m x y m m R      恒过定点 3, 3  B．圆 2 2 4x y  上有且仅有 3 个点到直线 : 2 0l x y   的距离都等于 1 C 曲线 2 2 1 2 0C : x y x   与 2 2 2 4 8 0C : x y x y m     恰有三条公切线，则 4m  D．已知圆 2 2: 4C x y  ，点 P 为直线 14 2 x y  上一动点，过点 P 向圆C 引两条切线 PA 、 PB ， A 、 B 为切点，则直线 AB 经过定点 (1,2) 12．我们通常称离心率为 5 1 2  的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     ， 1 2,A A 分别为左、右顶点， 1 2,B B 分别为上、下顶点， 1 2,F F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点， 则满足下列条件能使椭圆 C 为“黄金椭圆”的有（ ） A． 2 1 1 2 2 1 2A F F A F F  B． 1 1 2 90F B A   C． 1PF x 轴，且 2 1//PO A B D．四边形 1 2 2 1A B A B 的内切圆过焦点 1 2,F F 三、填空 13．如图，在正四面体 P ABC 中， ,M N 分别为 ,PA BC 的中点， D 是线段 MN 上一点，且 2ND DM ，若 PD xPA yPB zPC      ，则 x y z  的值为_______． 14．已知圆 C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0 和圆 C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0 只有一条公切线，若 a，b∈R 且 ab≠0，则 2 2 1 1 a b  的最小值为___________ 15．入射光线从 P(2,1)出发，经 x 轴反射后，通过点 Q(4,3)，则入射光线所在直线的方程为________. 4 16．设点 P 是椭圆C ： 2 2 18 4 x y  上的动点，F 为C 的右焦点，定点  2,1A ，则 PA PF 的取 值范围是____． 四、解答题 17．（本题满分 10 分）如图，等腰直角的直角顶点 (0, 1)C  ，斜边 AB 所在的直线方程为 2 8 0x y   ． （1）求的面积； （2）求斜边 AB 中点 D 的坐标． 18．（本题满分 12 分）已知圆 2 2: 4 3 0C x y x    . （1）求过点 (3,2)M 的圆的切线方程； （2）直线l 过点 3 1,2 2N      且被圆C 截得的弦长为 m ，求 m 的范围； 19．（本题满分 12 分）已知点 F 是椭圆   2 2 2 2 1 0x yC a b a b    ： 的右焦点，过点 F 的直线l 交椭 圆于 ,M N 两点，当直线l 过C 的下顶点时， l 的斜率为 3 ，当直线l 垂直于C 的长轴时，的面积 为 3 2 ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）当 2MF FN 时，求直线 l 的方程； 20．（本题满分 12 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， 60BAD   ， 四边形 BDEF 是矩形，平面 BDEF  平面 ABCD ， 2DE  ， M 为线段 BF 的中 5 点． （1）求 M 到平面 DEC 的距离； （2）求证： DM  平面 ACE ． 21．（本题满分 12 分）已知点  0, 2A  ，椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b     的离心率为 2 ,2 F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为 2，O 为坐标原点． （1）求 E 的方程； （2）设过点  0 3P ， 且斜率为 k 的直线l 与椭圆 E 交于不同的两 M、N，且 8 2| | 7MN  ，求 k 的 值. 22．（本题满分 12 分）如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面四边形 ABCD 是正方形，侧面 PDC 是边长为 a 的正三角形，且平面 PDC  底面 ABCD ， E 为 PC 的中点． （1）求异面直线 PA 与 DE 所成角的余弦值； （2）求直线 AP 与平面 ABCD 所成角的正弦值． 数学答案 1—8 D D A C D A D B 6 9—12 AD BC BCD BD 13---16 2 3 ， 9 ， 2x＋y－5＝0， 4 2 17,4 2 17    17. 【解析】 （1）顶点C 到斜边 AB 的距离为 2 2 | 0 2 ( 1) 8| 10 2 5 51 2 d        . 所以斜边| | 2 4 5AB d  ， 故△ 的面积为 1 1| | 2 5 4 5 202 2S AB d       ． （2）由题意知， CD AB ，设直线 CD 方程为 2 0x y m   点 (0, 1)C  代入方程点 1m   ，所以直线 CD 的方程为 2 1 0x y   ， 由 2 8 0 2 1 0 x y x y        ，解得 2 3 x y    ，所以点 D 的坐标为 (2,3) ． 18. 【解析】 （1）圆 2 2: 4 3 0C x y x    ，即 2 2( 2) 1x y   ， 其圆心为 (2,0) ，半径为 1. 当切线的斜率不存在时，切线方程为 3x  ，符合题意. 当切线的斜率存在时，设切线斜率为 k ，则切线方程为 2 ( 3)y k x   ， 即 3 2 0kx y k    ，由圆心到切线的距离等于半径，得 2 | 2 | 1 1 k k     ，解得 3 4k  ， 此时，切线方程为3 4 1 0x y   . 7 综上可得，圆的切线方程为 3x  或3 4 1 0x y   . （2）当直线 l CN 时，弦长 m 最短，此时直线l 的方程为 1 0x y   ， 所以 12 1 22m    ，当直线l 经过圆心时，弦长最长，长为 2，所以 [ 2,2]m . 19. 【解析】（Ⅰ）由题设： 3b c  ， 2 3 2 b c a  ， 解得： 2, 3a b  ，所以椭圆C 的方程为： 2 2 14 3 x y  ． （Ⅱ）当直线l 与 x轴重合时，可得 3MF FN ，不合题意； 当直线l 与 x轴不重合时，设直线l 的方程为： 1x ty  ， 设    1 1 2 2, , ,M x y N x y ，联立 2 2 1 3 4 12 x ty x y      ， 消去 x整理得： 2 23 4 6 9 0t y ty    ， 有 1 2 2 6 3 4 ty y t    ①， 1 2 2 9 3 4 y y t   ②， 由 2MF FN ，得 1 22y y  ③， 联立①②③得 2 2 2 2 72 9 (3 4) 3 4 t t t    ， 解得： 2 5 5t   ，所以直线l 的方程为： 5 2 5 0x y   ． 20. 【解析】 （1）设 AC BD O ，以O 为原点，OB 所在直线为 x 轴，OC 所在直线为 y 轴，过O 且与平面 8 ABCD 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 易知 z 轴在平面 BDEF 内，且 // //BF DE z 轴，则  0, 3,0C 、  1,0,0D  、  1,0,2E  、  1,0,1M ，  0,0,2DE  ，  1, 3,0DC  ，  2,0,1DM  ， 设平面 DEC 的一个法向量  , ,n x y z ， 则 2 0 3 0 n DE z n DC x y           ，取 3x  ，得  3, 1,0n   ， M 到平面 DEC 的距离 2 3 3 3 1 DM n h n         ， （2）证明：由（1）易知  0, 3,0A  ，则  0,2 3,0AC  ，  1, 3,2AE   ， 0 2 2 3 0 0 1 0AC DM          ， 1 2 3 0 2 1 0AE DM          ， DM AC  ， DM AE ， AC AE A  ， DM  平面 ACE . 21. 解：（1）由离心率 e 2 2 c a   ，则 a 2 c， 直线 AF 的斜率 k  0 2 0c    2，则 c＝1，a 2 ， b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆 E 的方程为 2 2 12 x y  ； 9 （2）设直线 l：y＝kx﹣ 3 ，设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 则 2 2 3 12 y kx x y      ，整理得：（1+2k2）x2﹣ 4 3 kx+4＝0， △＝（﹣ 4 3 k）2﹣4×4×（1+2k2）＞0，即 k2 1＞ ， ∴x1+x2 2 4 3 1 2 k k   ，x1x2 2 4 1 2k   ， ∴     2 2 22 2 1 2 1 2 1 2 2 4 1 1 8 21 1 4 1 2 7 k k MN k x x k x x x x k            ， 即 4 217 32 57 0k k   ,解得： 2 3k  或 19 17  （舍去）∴k＝± 3 ， 22. 【解析】取 DC 的中点O ，连接 PO ， PDC△ 为正三角形，O 为 DC 的中点，则 PO DC ． 又 平面 PDC  平面 ABCD ，平面 PDC  平面 ABCD DC ， PO  平面 PDC ， PO  平面 ABCD ．以点O 为坐标原点，OC 、OP 所在的直线分别为 y 、z 轴建立如下图所示 的空间直角坐标系O xyz ，则 30,0, 2P a       、 , ,02 aA a    、 0, ,02 aC      、 0, ,02 aD    . （1）设异面直线 PA 与 DE 所成的角为 ， E 为 PC 的中点， 30, ,4 4 aE a       ， 3 30, ,4 4DE a a         ， 3, ,2 2 aPA a a         ， 10 23 3 3 30 2 4 2 4 4 a aPA DE a a a a           ， 2PA a ， 3 2DE a 23 64cos cos , 432 2 aPA DE PA DE PA DE a a                 ， 因此，异面直线 PA 与 DE 所成角的余弦值为 6 4 ； （2）设直线 AP 与平面 ABCD 所成的角为 ，易知平面 ABCD 的一个法向量为  0,0,1n  ， 3 62cos , 42 1 aPA nPA n aPA n            . 因此，直线 AP 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 6 4 .