2020-2021学年山东省高二上学期10月份质量检测考试数学试题 Word版

1 秘密★启用前 山东省 2020-2021 学年高二上学期 10 月份质量检测考试数学试题 2020.10 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页．满分 150 分，考试用时 120 分钟．答题前，考生务必用 0.5 毫米 黑色签字笔将自己的姓名、考号、班级填写在答题纸和答题卡规定的位置． 考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（共 60 分） 注意事项： 1．第Ⅰ卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号．不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分． 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的． 1．已知空间向量 (2, 3,5)a   与向量 ( 4, , )b x y  平行，则 x，y 的值分别为（ ） A．6 和 10 B． 6 和 10 C． 6 和 10 D．6 和 10 2．已知直线的倾斜角为 45°，在 x 轴上的截距为 2，则此直线方程为（ ） A． 2y x   B． 2y x  C． 2y x  D． 2y x   3．在正四面体 P ABC 中，棱长为 2，且 E 是棱 AB 中点，则 PE BC  的值为（ ） A． 1 B．1 C． 3 D． 7 3 4．已知 0, 0a b  ，两直线 1 : ( 1) 1 0l a x y    ， 2 : 2 1 0l x by   且 1 2l l ，则 2 1 a b  的最小值为 （ ） A．2 B．4 C．8 D．9 5．已知直线 1 0ax y   及两点 ( 2,1)P  、 (3,2)Q ，若直线与线段 PQ 的延长线相交（不含 Q 点），则 实数 a 的取值范围是（ ） A． 1a   或 1a  B． 11 5a    C． 1 15 a  D． 1 1a   6．直线 cos 4 0x y    的倾斜角的取值范围是（ ） A．[0, ) B． 0, ,4 2             C． 0, 4      D． 30, ,4 4             2 7．在棱长为 a 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，P 为 1 1A D 的中点，Q 为 1 1A B 上任意一点，E，F 为CD 上两 个动点，且 EF 的长为定值，则点 Q 到平面 PEF 的距离（ ） A．等于 5 5 a B．和 EF 的长度有关系 C．等于 2 3 a D．和点 Q 的位置有关 8．已知平面上一点 (5,0)M 若直线 l 上存在点 P 使| | 4PM  则称该直线为点 (5,0)M 的“相关直线”，下 列直线中不是点 (5,0)M 的“相关直线”的是（ ） A． 3y x  B． 2y  C． 4 3 0x y  D． 2 1 0x y   二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）． A．若向量 ,a b  与空间任意向量都不能构成基底，则 //a b ； B．若非零向量 , ,a b c   满足 ,a b c b    则有 //a c  ； C．若 , ,OA OB OC    是空间的一组基底，且 1 1 1 3 3 3OD OA OB OC      ，则 A，B，C，D 四点共面； D．若向量 , ,a b b c a c       ，是空间一组基底，则 , ,a b c   也是空间的一组基底． 10．下列说法错误的是（ ） A．“ 1a   ”是“直线 2 1 0a x y   与直线 2 0x ay   互相垂直”的充要条件； B．直线 2 6 0ax y   与直线 2( 1) 1 0x a y a     互相平行，则 1a   ； C．过    1 1 2 2, , ,x y x y 两点的所有直线的方程为 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x    ； D．经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 2 0x y   ． 11．如图，在菱形 ABCD 中， 2AB  ， 60BAD  ，将 ABD 沿对角线 BD 翻折到 PBD 位置，连结 PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） 3 A． PC 与平面 BCD 所成的最大角为 45° B．存在某个位置，使得 PB CD C．当二面角 P BD C  的大小为 90°时， 6PC  D．存在某个位置，使得 B 到平面 PDC 的距离为 3 12．在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，下列结论正确的有（ ） A．二面角 1 1A CD D  的大小为 45° B．异面直线 1 1D B 与CD 所成的角为 60° C． 1D 到平面 1 1A DCB 的距离为 2 D．直线 1 1D B 与平面 1 1A DCB 所成的角为 30° 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 3．在空间直角坐标系中，点 ( 2,1, 3)A 在平面 yOz 上的射影为点 B，在平面 xOz 上的射影为点 C，则 | |BC  ________． 14．经过点 (2,1)P 作直线 l 分别交 x 轴、y 轴的正半轴于 A、B 两点，当 AOB 面积最小时，直线 l 的方程 为________． 15．过两条直线 3 1 0, 3 3 0x y x y      的交点 A，并且与原点的最短距离为 1 2 的直线的方程为 ___________． 16 ． 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 定 义 ： 平 面  的 一 般 方 程 为 4  2 2 20 , , , , 0Ax By Cz D A B C D R A B C        ， 点  0 0 0, ,P x y z 到 平 面  的 距 离 0 0 0 2 2 2 Ax By Cz Dd A B C      ，则在底面边长与高都为 2 的正四棱锥中，底面中心 O 到侧面的距离等于 ________． 四、解答题：本大题共 6 个小题，17 题 10 分，其余每题 12 分，共 60 分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤． 17．已知 Rt ABC 的顶点 ( 3,0)A  ，直角顶点 ( 1, 2 2)B   ，顶点 C 在 x 轴上． （1）求点 C 的坐标； （2）求斜边上的中线的方程． 18．已知平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D ， 1 1 60A AB DAB DAA       ， 1 1AD AA AB   ， 1 1 13AC NC  ， 1 4D B MB  ，设 AB a  ， AD b  ， 1AA c  ． （1）试用 , ,a b c   ，表示 MN  ； （2）求 MN 的长度； 19．已知 ABC 的顶点 (5,1)B ， AB 边上的高所在的直线 1l 的方程为 2 1 0x y   ，角 A 的平分线所在 直线 2l 的方程为 2 1 0x y   ． （1）求直线 AB 的方程； （2）求直线 AC 的方程． 20．如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，底面 ABC 为等腰直角三角形，AB AC ， 2AB AC  ， 1 4AA  ， M 是侧棱 1CC 上一点，设 MC h ． 5 （1）若 1h  ，求异面直线 BM 与 1AC 所成角的大小； （2）若 2h  ，求直线 1BA 与平面 ABM 所成角的正弦值； （3）若 3h  ，求点 M 到平面 1A BC 的距离． 21．已知直线 l 经过点 ( 2,3)P  ． （1）且原点到直线 l 的距离为 2，求直线 l 的方程； （2）若直线 l 被两条相交直线 2 2 0x y   和 3 0x y   所截得的线段恰被点 P 平分，求直线 l 的方程． 22．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD  平面 ABCD ，点 M 在线段 PB 上， //PD 平面 MAC ， 6PA PD  ， 4AB  ． （1）求证：M 为 PB 的中点； （2）求二面角 B PD A  的大小； （3）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值． 2019 级高二年级 10 月份质量检测考试 数学试题参考答案 一、选择题 1-4 DBAC 5-8 BDAD 9．ACD 10．ABCD 11．BC 12．ACD 二、填空题 13． 3 14． 2 4 0x y   15． 3 1 0x y   或 1 2x  16． 2 5 5 三、解答题 17．解（1）∵ Rt ABC 的顶点  3,0A  ，直角顶点 ( 1, 2 2)B   ，顶点 C 在 x 轴上， ∴ AB BC ，故 1AB BCk k   ． 又∵  3,0A  ，∴ 0 2 2 23 ( 1)ABk      ，∴ 2 2BCk  ， 6 ∴直线 BC 的方程为 22 2 ( 1)2y x   ，即 2 3 0x y   ． ∵点 C 在 x 轴上，∴令 0y  ，得 3x  ，即  3,0C ． （2）由（1）得  3,0C ，∴ AC 的中点为  0,0 ， ∴斜边上的中线为直线OB （O 为坐标原点），直线OB 的斜率 2 2k  ， ∴直线OB 的方程为 2 2y x ． 18．解：（1） 1 1 1 1MN MD D A A N      1 1 1 3 2 4 3D B AD AC       1 3 2 ( )4 3D D DB AD AB AD          3 3 2( ) ( )4 4 3c a b b a b          1 5 3 12 12 4a b c     ． （2）∵ 1 5 3 12 12 4MP a b c       ， ∴ 2 2 1 5 3 12 12 4MN a b c          1 25 9 5 3 15 138 144 144 16 144 48 48 144        ∴ MN 的长度为 138 12MN  ． 19．解：（1） AB 边上的高所在的直线 1l 的方程为 2 1 0x y   ， 所以直线 AB 上的高的斜率 1 2k  ，直线 AB 的斜率为 1 2k   ． 所以直线 AB 的方程为  1 2 5y x    ，整理得 2 11 0x y   ． （2）角 A 的平分线所在直线 2l 的方程为 2 1 0x y   ． 所以 2 11 0 2 1 0 x y x y        ，解得 3 5 x y    故  3,5A ． 由于直线 AB 的斜率 2ABk   ，角 A 的平分线的斜率 2k  ，设直线 AC 的斜率 ACk k ， 利用到角公式： 2 ( 2) 2 1 4 1 2 k k     ，解得 2 11k  ， 7 所以直线 AC 的方程为 25 ( 3)11y x   ，整理得 2 11 49 0x y   ． 20．解：（1）以 A 为原点， AB 为 x 轴， AC 为 y 轴， 1AA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 当 1h  时，        12,0,0 , 0,2,1 , 0,0,4 , 0,2,0B M A C ， 1( 2,2,1), (0,2, 4)BM AC     ， 设异面直线 BM 与 1AC 所成角为 ， 则 1 1 cos 0, 2 BM AC BM AC            ． ∴异面直线 BM 与 1AC 所成角的大小为 2  ． （2） 2h  时，        12,0,0 , 0,2,2 , 0,0,4 , 0,0,0B M A A ， 1 ( 2,0,4), (2,0,0), (0,2,2)BA AB AM      ， 设平面 ABM 的法向量 ( , , )n x y z ， 则 2 0 2 2 0 n AB x n AM y z           ，取 1y  ，得 (0,1, 1)n   ， 设直线 1BA 与平面 ABM 所成角的大小为 ， 则 1 1 4 10sin 520 2| | BA n BA n           ． （3） 3h  时，        12,0,0 , 0,2,3 , 0,0,4 , 0,2,0B M A C ， 1( 2,2,3), ( 2,0,4), ( 2,2,0)BM BA BC        ， 8 设平面 1A BC 的法向量 ( , , )am b c ， 则 1 2 4 0 2 2 0 m BA a c m BC a b                ，取 2a  ，得 (2,2,1)m  ， ∴点 M 到平面 1A BC 的距离 | | 3 1| | 9 m BMd m      ． 21 解：（1）当直线斜率不存在时，直线方程为 2x   ； 当直线斜率存在时，设直线方程为  3 2y k x   ， 即 2 3 0kx y k    ，由 2 | 2 3| 2 1 k k    ，解得 5 12k   ； ∴直线 l 的方程为5 12 26 0x y   ． 综上，所求直线方程为 2x   或5 12 26 0x y   ； （2）设直线 l 夹在直线 1 2,l l 之间的线段为 AB（A 在 1l 上，B 在 2l 上），A，B 的坐标分别设为   1 1 2 2, , ,x y x y ， ∵ AB 被点 P 平分，∴ 1 2 1 24, 6x x y y     ，于是 2 1 2 14 , 6x x y y     ； 由于 A 在 1l 上，B 在 2l 上， ∴ 1 1 2 2 2 2 0 3 0 x y x y        ，解得 1 1 7 8,3 3x y  ，即 A 的坐标是 7 8,3 3     ， ∴直线 l 的方程的斜率为： 8 3 13 7 13( 2)3      ； ∴直线 l 的方程 13 [ ( 2)]13y x     ，即 13 37 0x y   ． ∴ 2 3 2 34 AP ACAE PC     ， ∴ 3cos 2 AEEAC AC    ， ∴ 30EAC   ，即二面角 E l C  的大小为 30°． 22【解答】（1）证明：如图，设 AC BD O  ， 9 ∵ ABCD 为正方形，∴O 为 BD 的中点，连接OM ， ∵ PD∥平面 ,MAC PD  平面 PBD ，平面 PBD  平面 AMC OM ， ∴ PD OM∥ ，则 BO BM BD BP  ，即 M 为 PB 的中点； （2）解：取 AD 中点 G， ∵ PA PD ，∴ PG AD ， ∵平面 PAD  平面 ABCD ，且平面 PAD  平面 ABCD AD ， ∴ PG  平面 ABCD ，则 PG AD ，连接OG ，则 PG OG ， 由 G 是 AD 的中点，O 是 AC 的中点，可得OG DC∥ ，则OG AD ． 以 G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系， 由 6, 4PA PD AB   ，得 2(2,0,0), ( 2,0,0), (0,0, 2), (2,4,0), ( 2,4,0), 1,2, 2D A P C B M        ， ( 2,0, 2)DP   ， ( 4,4,0)DB   ． 设平面 PBD 的一个法向量为 ( , , )m x y z ， 则由 0 0 m DP m DB          ，得 2 2 0 4 4 0 x z x y      ，取 2z  ，得 (1,1, 2)m  ． 取平面 PAD 的一个法向量为 (0,1,0)n  ． ∴ 1 1cos , 2 1 2| || | m nm n m n          ． ∴二面角 B PD A  的大小为 60°； （3）解： 23, 2, 2CM         ，平面 BDP 的一个法向量为 (1,1, 2)m  ． ∴直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为 2 2 6|cos , | 9| || | 19 4 12 CM mCM m CM m               ．