2020-2021学年山东省高二10月月考数学试题 Word版

1 2020-2021 学年山东省高二 10 月月考数学试题 （时间 120 分钟总分 150 分） 一、单选题（共 8 小题，每题 5 分） 1.空间直角坐标系中，点  2, 1,3P  关于点  1,2,3M  的对称点Q 的坐标为（ ） A． 4,1,1 B． 4,5,3 C． 4, 3,1 D． 5,3,4 2.已知定点  2,0P  和直线        : 1 3 1 2 2 5 0l x y R        ＋ ，则点 P 到直线l 的距离 d 的最 大值为（ ） A． 2 3 B. 10 C. 14 D． 2 15 3．顺次连接点  4,3A  ，  2,5B ，  3,2C ，  3,0D  所构成的图形是（ ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 4.  1, 1A   ，  3,1B ，直线 l 过点 1,2 ，且与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率取值范围是（ ） A． 1 3,2 2     B． 3 1,2 2     C． 1 3, ,2 2             D． 1 3, ,2 2              5.正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， M 、 N 分别为 1A D 、 AC 上的点，且满足 1 3A D MD ， 2AN NC ， 则异面直线 MN 与 1 1C D 所成角的余弦值为（ ）. A. 5 5 B. 2 4 C. 2 5 5 D. 3 3 6.若方程 2 2 22 0x y kx y k     所表示的圆取得最大面积，则直线  1 2y k x   的倾斜角 等于 （ ） A．135° B．45° C．60° D．120° 7.已知空间直角坐标系 Oxyz 中有一点  1, 1,2A   ，点 B  是平面 xOy 内的直线 1x y  上的动点，则 A ， B 两点间的最短距离是（ ） A. 6 B. 34 2 C.3 D. 17 2 8．在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 1AA  底面 ABCD .已知 1AB  ， 1 3AA  ， 2 E 为线段 AB 上一个动点，则 1D E CE 的最小值为（ ） A． 2 2 B． 2 2 C． 5 1 D． 10 二．多选题（共 4 小题，每题 5 分，选全得满分，不全得 3 分，错选 0 分） 9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点O ，有 1 1 1 6 3 2OP OA OB OC      ，则 P ， A ， B ，C 四点共面 C．设 , ,a b c    是空间中的一组基底，则 , ,a b b c c a        也是空间的一组基底 D．若 0a b  ，则 a b  是钝角 10．已知平面上一点  5,0M ，若直线上存在点 P 使 4PM ＝ ，则称该直线为“切割型直线”．下列直线 中是“切割型直线”的是（ ） A． 1y x  B． 2y  C． 4 3y x D． 2 1y x  11．已知二次函数  2 2 0y x x m m    交 x 轴于 A ， B 两点（ A ， B 不重合），交 y 轴于C 点．圆 M 过 A ， B ，C 三点．下列说法正确的是（ ） ①圆心 M 在直线 1x  上； ② m 的取值范围是 0,1 ； ③圆 M 半径的最小值为 1； ④存在定点 N ，使得圆 M 恒过点 N . A．① B．② C．③ D．④ 12．定义空间两个向量的一种运算 sin ,a b a b a b       ，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立 的有（ ） A．    a b a b      B． a b b a     C．     a b c a c b c           3 D．若  1 1,a x y ，  2 2,b x y ，则 1 2 2a b x y x y   三．填空题（共 4 小题，每题 5 分） 13.若  1,1,0a  ，  1,0,2b   ，则与 a b  共线的单位向量是____________. 14.将直线 : 2 1 0l x y   向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位得到直线 'l ，则直线 l 与 'l 之间的距离 为__________． 15．若直线 l 被直线 1 : 1 0l x y   与 2 : 3 0l x y   截得的线段长为 2 2 ，则直线 l 的倾斜角  0 90     的值为________． 16．如图所示的正方体是一个三阶魔方（由 27 个全等的棱长为 1 的小正方体构成），正方形 ABCD 是上底 面正中间一个正方形，正方形 1 1 1 1A B C D 是下底面最大的正方形，已知点 P 是线段 AC 上的动点，点Q 是线 段 1B D 上的动点，则线段 PQ长度的最小值为_______． 四．解答题 17.（本题满分 10 分）在空间直角坐标系O xyz 中，  0,0,0O ，  1,0,0A ，  1,2,0B ，  0,1,2C ，点 P 满足 AP AC  . （1）求点 P 的坐标（用 表示）； （2）若OP BC ，求  的值． 18．（本题满分 12 分）已知圆 2 2: 3 0C x y Dx Ey     ，圆心在直线 1 0x y   上，且圆心在第二象 限，半径长为 2 ，求圆的一般方程． 19.（本题满分 12 分）点  2,0A 是圆 2 2 4x y  上的定点，点  1,1B 是圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． （1）求线段 AP 的中点 M 的轨迹方程； （2）若 90PBQ   ，求线段 P Q 的中点 N 的轨迹方程． 4 20.（本题满分 12 分）已知 ABC△ 中，点  1,2A ， AB 边和 AC 边上的中线方程分别是5 3 3 0x y   和 7 3 5 0x y   ，求 BC 所在直线方程． 21．（本题满分 12 分）如图，正三棱柱 1 1 1ABC A B C﹣ 中，底面边长为 2 ． （1）设侧棱长为 1，求证： 1 1AB BC ； （2）设 1AB 与 1BC 的夹角为 3  ，求侧棱的长． 22.（本题满分 12 分）如图，在四棱台 1 1 1 1ABCD A B C D 中，底面 ABCD 是菱形， 1 1 1 1 12AA A B AB   ， 60ABC   ， 1AA  平面 ABCD ． （1）若点 M 是 AD 的中点，求证： 1C M ∥平面 1 1AA B B ； （2）棱 BC 上是否存在一点 E ，使得二面角 1E AD D  的余弦值为 1 3 ？若存在，求线段CE 的长；若不 存在，请说明理由． 5 高二年级 10 月数学----参考答案 一、单选题 B B A C C A B D 二、多选题 ABC BC AD BD 三、填空题 13. 5 2 50, ,5 5      14. 2 5 5 15.15 或 75 16. 3 34 34 8.建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ， 则  0,0,0A ，  1 0,1, 3D ，  1,1,0C . ∵ E 为线段 AB 上一个动点， ∴设  ,0,0E t ，则 2 2 1 1 3 4D E t t     ，  21 1CE t   ， 故问题转化为求  22 1 4 1 1D E CE t t      的最小值问题，即转化为求平面直角坐标系tOu 中的一 个动点  ,0P t 到两定点  0 2M  ，  1,1N 的距离之和的最小值的问题，如图所示由此可知，当 M ，P ， N 三点共线时，    22 1 min min 4 1 1 1 9 10D E CE t t MN             ， 12.解：对于 A：    sin ,a b a b a b        ，  sin ,a b a b a b         ， 故    a b a b      不会恒成立； 6 对于 B， sin ,a b a b a b       ， sin ,b a b a b a       ，故 a b b a     恒成立； 对于 C，若 a b  ，且 0  ，   1 sin ,a b c b c b c          ，      sin , sin , 1 sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c                         ， 显然     a b c a c b c           不会恒成立； 对于 D， 1 2 1 2cos , x x y ya b a b      ， 2 1 2 1 2sin , 1 x x y ya b a b          ， 即有 2 2 21 2 1 2 1 2 1 21 x x y y x x y ya b a b a b aa b                           2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 x x y yx y x y x y             22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 22x y x y x x y y x y x y x x y y        1 2 2 1x y x y  . 则 1 2 2 1a b x y x y   恒成立. 16.以 1B 为坐标原点， 1 1B C ， 1 1B A 所在直线分别为 x 轴， y 轴建立空间直角坐标系， 则  1 0,0,0B ，  1,2,3A ，  2,1,3C ，  2,2,3D ， 设 1 1B Q B D  ， AP AC  ，  , 0,1   .  1 2 ,2 ,3B Q    ，  1 1 1 1 ,2 ,3B P B A AP B A AC            ，  1 1 1 2 ,2 2 ,3 3QP B P B Q              ， 7      2 2 2 21 2 2 2 3 3QP             ， 2 2 2 2 15 1 917 30 2 2 14 17 217 2 34                         当 15 17   且 1 2   时， 2 QP  取到最小值 9 34 ，所以线段 PQ长度的最小值为 3 34 34 . 四、解答题 17.解：（1）因为  1,0,0A ，  0,1,2C ，所以  1,1,2AC   ，因为 AP AC  ， 所以      1,0,0 1,1,2 1 , ,2OP OA AP OA AC                 ， 所以点 P 的坐标为  1 , ,2   . （2）因为  1, 1,2BC    ， OP BC ， 所以 0OP BC   ，即  1 1 1 2 2 0          ，解得 1 4   . 18.解：圆心 ,2 2 D EC     ， ∵圆心在直线 1 0x y   上， ∴ 1 02 2 D E    ，即 2D E   .① 又∵半径长 2 2 12 22 D Er    ， ∴ 2 2 20D E  ② 由①②可得 2 4 D E     ，或 4 2 D E     . 又∵圆心在第二象限， ∴ 02 D  ，即 0D  . 则 2 4 D E     . 故圆的一般方程为 2 2 2 4 3 0x y x y     . 8 19.解：（1）设线段 AP 的中点为  ,M x y ，由中点公式得点 P 坐标为 2 2,2x y . ∵点 P 在圆 2 2 4x y  上，∴   2 22 2 2 4x y   ， 故线段 AP 的中点 M 的轨迹方程为 2 21 1x y   . （2）设线段 PQ的中点为  ,N x y ，在 Rt PBQ△ 中， PM BM . 设O 为坐标原点，连接 ON （图略），则ON PQ ， ∴ 2 2 2 2 2OP ON PN ON BN    ， ∴    2 22 2 1 1 4x y x y      ， 故线段 PQ的中点 N 的轨迹方程为 2 2 1 0x y x y     . 20.解：设C 点坐标为 ,a b ，因为点 C 在 AB 边的中线上，所以有5 3 3 0a b   .① AC 的中点坐标为 1 2,2 2 a b      ，因为 AC 的中点在 AC 边的中线上， 所以有 1 a 2 b7 3 5 02 2       .②联立①②解得 3a  ， 4b  ，即  3,4C . 同理，可得  1, 4B   .则 BC 的方程是 2 2 0x y   . 21.解：证明：（1） 1 1AB AB BB    ， 11BC BB BC    . 因为 1BB  平面 ABC ，所以 1 0BB AB   ， 1 0BB BC   . 又 ABC△ 为正三角形，所以 2, , 3 3AB BC BA BC           . 因为    1 1 1 1AB BC AB BB BB BC         2 1 1 1AB BB AB BC BB BB BC             2 1cos , 1 1 0AB BC AB BC BB            ，所以 1 1AB BC . 解：（2）由（1）知 2 2 1 1 11 cos , 1AB BC AB BC AB BC BB BB              . 又 22 2 1 1 1 12AB AB BB BB BC         ， 所以 2 1 1 1 2 1 1 1cos 22 , BBAB BC BB       ，所以 1 2BB  ，即棱长为 2. 9 22.解：（1）证明：连接 1B A ，由已知得， 1 1B C BC AD∥ ∥ ，且 1 1 1 2BC AM BC  所以四边形 1 1AB C M 是平行四边形，即 1 1C M B A∥ ， 又 1C M  平观 1 1AA B B ， 1B A  平面 1 1AA B B ， 所以 1C M ∥平面 1 1AA B B （2）取 BC 中点Q ，连接 AQ 因为 ABCD 是菱形，且 60ABC   ，所以 ABC△ 是正三角形，所以 AQ BC 即 AQ AD ，由于 ABC 是正三角形所以，分别以 AQ ， AD ， 1AA 为 x 轴， y 轴，二轴，建 立空间直角坐标系，如图  0,0,0A ，  1 0,0,1A ，  1 0,1,1D ，  3,0,0Q 假设点 E 存在，设点 E 的坐标为 3, ,0 ， 1 1    3, ,0AE  ，  1 0,1,1AD  设平面 1AD E 的法向量  , ,n x y z 即 1 0 0 n AE n AD        即 3 0 0 x y y z      ，可取  , 3, 3n   平面 1ADD 的法向量为  3,0,0AQ  所以， 2 3 1cos , 33 6 AQ n        ，解得： 3 2    又由于二面角 1E AD D  大小为锐角，由图可知，点 E 在线段QC 上， 所以 3 2   ，即 31 2CE  