2020-2021学年山东省济南市第一中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

1 济南市第一中学 2020-2021 学年度上学期期中试题 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求. 1．直线 3 1 0x y   的倾斜角  ( ) A． 30° B． 60 C．120 D．150 【答案】A 【解析】可得直线 3 1 0x y   的斜率为 3 3 Ak B    ， 由斜率和倾斜角的关系可得 3tan 3   ， 又∵ 0 180   ∴ 30   2.过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x2＋y2－4y＝0 所截得的弦长为( ) A. 3 B．2 C. 6 D．2 3 D 解析：由题意可知，直线 l 的方程为 y＝ 3x，圆 x2＋y2－4y＝0 可化为 x2＋(y－2)2＝4，所以圆心坐 2 标为(0，2)，半径 R＝2.圆心(0，2)到直线 3x－y＝0 的距离 d＝ 2 （ 3）2＋（－1）2 ＝1，所以弦长 l＝2 R2－d2 ＝2 3. 3．在四面体OABC 中， E 为OA中点， 1 3CF CB  ，若OA a  ，OB b  ， OC c  ，则 EF  （ ） A． 1 1 2 2 3 3a b c   B． 1 1 4 2 3 3a b c    C． 1 2 1 2 3 3a b c    D． 1 1 2 2 3 3a b c    【答案】D 【解析】 【分析】 运用空间向量基本定理及向量的线性运算可解答此问题． 【详解】 解：根据题意得， 1 2OE OA  ， 1 3CF CB  EF F OEO       1 2 AOC CF O     1 1 3 2CB OAOC          1 1 3 2OB OC OAOC           1 1 1 3 3 2OB OCO OAC           1 1 1 3 3 2OB OCC OAO       1 1 2 3 2 3OA OB OC      OA a   ，OB b  ， OC c  1 1 1 1 2 2 3 3 2 3 3 2EF OA OB OC a b c               故选： D ． 【点睛】 本题考查空间向量基本定理的简单应用以及向量的线性运算，属于基础题． 4．设椭圆 1C 的离心率为 5 13 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线 2C 上的点到椭圆 1C 的两个焦点的距离的差 3 的绝对值等于 8,则曲线 2C 的标准方程为（ ） A． 2 2 2 2 14 3 x y  B． 2 2 2 2 113 5 x y  C． 2 2 2 2 13 4 x y  D． 2 2 2 2 113 12 x y  【答案】A 【解析】因为椭圆焦点在 x 轴上且长轴长为 26，所以 13a  ，又因为椭圆 1C 的离心率为 5 13 ， 所以 5c  ，因为曲线 2C 上的点到椭圆 1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8， 所以 2 2 24, 5, 3      a c b c a ，所以曲线 2C 的标准方程为 2 2 2 2 14 3 x y  . 故选：A 5. 万众瞩目的北京冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日正式开幕，继 2008 年北京奥运会之后，国家体育场（又名 鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其 俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为 40cm，短轴长为 20cm， 小椭圆的短轴长为 10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm A. 30 B. 20 C. 10 D. 10 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意先求大椭圆离心率为 3 2e  ，根据两个椭圆的离心率相同，小椭圆的离心率为 3 2e  ，再根据小 椭圆的短轴长为 10cm，代入公式即可得解. 【详解】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同， 由大椭圆长轴长为 40cm，短轴长为 20cm， 可得焦距长为 20 3 cm，故离心率为 3 2e  ， 4 所以小椭圆离心率为 3 2e  ， 小椭圆的短轴长为 10cm，即 2 10b  cm， 由 2 21 be a   ，可得： 10a  cm， 所以长轴为 20 cm. 故选：B. 6．设 ,x y R ，向量      ,1,1 , 1, ,1 , 2, 4,2 ,a x b y c     且 , / /a c b c    ，则 a b   （ ） A． 2 2 B． 10 C．3 D．4 【答案】C 【解析】  / / , 2 4 1, 2, 1, 21b c y y b             ， ，  , 1 2 1 0, 1a b a b x x             ，    1,11 2, 1,2a a b      ， ，  22 22 1 2 3a b       7. 已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的一条渐近线方程为 3 0x y  ，则该双曲线的离心率是（ ） A． 10 3 B． 2 C． 7 3 D． 5 【答案】A 【解析】因为   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     渐近线方程为 0bx ay  ， 所以 2 2 10: 1: 3, 3 , 10 , 3 cb a a b c a b b e a         .故选：A 8、. 在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1AB BC  ， 1 3AA  ，则异面直线 1AD 与 1DB 所成角的余弦值 5 为 A． 1 5 B． 5 6 C． 5 5 D． 2 2 【答案】C 【解析】以 D 为坐标原点，DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则 1 1(0,0,0), (1,0,0), (1,1, 3), (0,0, 3)D A B D ,所以 1 1( 1,0, 3), (1,1, 3)AD DB    , 因为 1 1 1 1 1 1 1 3 5cos , 52 5 AD DBAD DB AD DB            ，所以异面直线 1AD 与 1DB 所成角的余弦值为 5 5 ，选 C. 9.已知点  2, 2 , ,3( )1A B  ，若直线 1 0kx y   与线段 AB 有交点，则实数 k 的取值范围是（ ） A． 3( , 4) ,2       B． 34, 2     C． 3( , 4] ,2      D． 34, 2     【答案】C 【解析】 根据题意，若直线 l：kx﹣y﹣1＝0 与线段 AB 相交， 则 A、B 在直线的异侧或在直线上， 则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0， 即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得 k≤﹣4 或 k≥ 3 2 ， 即 k 的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[ 3 2 ，+∞）． 故选 C． 10．正三棱锥 P ABC 的侧面都是直角三角形， E ， F 分别是 AB ， BC 的中点，则 PB 与平面 PEF 所 成角的正弦为（ ） 6 A． 3 6 B． 6 6 C． 3 3 D． 6 3 【答案】C 【解析】以点 P 为原点，PA 为 x 轴，PB 为 y 轴，PC 为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设 2PA PB PC   ，则  (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), 0,1,1A B C E F ，  (0,2,0), (1,1,0), 0,1,1PB PE PF     ， 设平面 PEF 的法向量  , ,n x y z ， 则 0 0 n PE x y n PF y z             ，取 1x  得  1, 1,1n   ， 设平面 PB 与平面 PEF 所成角为 ，则 | | 2 3sin .3| | | | 2 3 PB n PB n          二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 11．圆 2 2 1 : 2 0x y xO    和圆 2 2 2 : 2 4 0O x y x y    的交点为 A，B，则有（ ） A．公共弦 AB 所在直线方程为 0x y  B．线段 AB 中垂线方程为 1 0x y   7 C．公共弦 AB 的长为 2 2 D．P 为圆 1O 上一动点，则 P 到直线 AB 距离的最大值为 2 12  【答案】ABD 【解析】对于 A，由圆 2 2 1 : 2 0x y xO    与圆 2 2 2 : 2 4 0O x y x y    的交点为 A，B， 两式作差可得 4 4 0x y  ，即公共弦 AB 所在直线方程为 0x y  ，故 A 正确；对于 B，圆 2 2 1 : 2 0x y xO    的圆心为 1,0 ， 1ABk  ，则线段 AB 中垂线斜率为 1 ，即线段 AB 中垂线方程为：  0 1 1y x     ，整理可得 1 0x y   ，故 B 正确；对于 C，圆 2 2 1 : 2 0x y xO    ，圆心 1O  1,0 到 0x y  的距离为  22 1 0 2 21 1 d     ，半径 1r  ， 所以 2 22 1 22AB        ，故 C 不正确； 对于 D，P 为圆 1O 上一动点，圆心 1O  1,0 到 0x y  的距离为 2 2d  ，半径 1r  ，即 P 到直线 AB 距 离的最大值为 2 12  ，故 D 正确.故选：ABD 12．已知双曲线C 过点 3, 2 且渐近线为 3 3y x  ，则下列结论正确的是（ ） A．C 的方程为 2 2 13 x y  B．C 的离心率为 3 C．曲线 2 1xy e   经过C 的一个焦点 D．直线 2 1 0x y   与C 有两个公共点 【答案】AC 【解析】对于选项 A：由已知 3 3y x  ，可得 2 21 3y x ，从而设所求双曲线方程为 2 21 3 x y   ，又由 双曲线C 过点 3, 2 ，从而 2 21 3 ( 2)3    ，即 1  ，从而选项 A 正确； 对于选项 B：由双曲线方程可知 3a  ， 1b  ， 2c  ，从而离心率为 2 2 3 33 ce a    ，所以 B 选项 错误； 8 对于选项 C：双曲线的右焦点坐标为 2,0 ，满足 2 1xy e   ，从而选项 C 正确； 对于选项 D：联立 2 2 2 1 0 13 x y x y       ，整理，得 2 2-2 2 0y y   ，由 2(2 2) 4 2 0     ，知直线与双 曲线 C 只有一个交点，选项 D 错误. 13．如图，设 E ， F 分别是正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱 DC 上两点，且 2AB  ， 1EF  ，其中正确 的命题为（ ） A．三棱锥 1 1D B EF 的体积为定值 B．异面直线 1 1D B 与 EF 所成的角为 60 C． 1 1D B  平面 1B EF D．直线 1 1D B 与平面 1B EF 所成的角为30° 【答案】AD 【解析】解：对于 A， 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 21 2 23 2 3 2 3 D B EF B D EF D EFV V S BC EF DD                V 故三棱锥 1 1D B EF 的体积为定值，故 A 正确 9 对于 B， 1 1/ /EF D C ， 1 1D B 和 1 1D C 所成的角为 45，异面直线 1 1D B 与 EF 所成的角为 45，故 B 错误 对于 C， 若 1 1D B  平面 1B EF ，则 1 1D B  直线 EF ，即异面直线 1 1D B 与 EF 所成的角为90 ，故 C 错误 对于 D，以 D 为坐标原点，分布以 1, ,DA DC DD 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设  0, ,0E a ， 则  0,1+ ,0F a ，  1 2,2,2B ，  1 0,0,2D      1 1 12,2 ,2 , 0,1,0 , 2,2,0EB a EF D B      设平面 1B EF 的法向量为 ( ), , ,n x y z  = 则         1 , , 2,2 ,2 0 , , 0,1,0 0 n EB x y z a n EF x y z             ，即 0 0 y x z     令 1z   ，则  1,0, 1n      1 1 1 1 1 1 1,0, 1 2,2,0 1cos , 22 2 2 n D Bn D B n D B            1 1, 60n D B    所以直线 1 1D B 与平面 1B EF 所成的角为 30°，正确 14.已知实数 x ， y 满足方程 2 2 4 1 0x y x    ，则下列说法错误的是（ ） A． y x 的最大值为 6 2 B． 2 2x y 的最大值为 7 4 3 C． y x 的最大值为 3 2 D． x y 的最大值为 2 3 【答案】CD 【解析】对于 A，设 z y x  ，则 y = x+z ，z 表示直线 y = x+z 的纵截距，当直线与圆 2 2( 2) 3x y   10 有公共点时， | 2 | 3 2 z  ，解得 6 2 6 2z     ，所以 y x 的最大值为 6 2 ，故 A 说法正确； 对于 B， 2 2x y 的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为 2，则原点到圆 上的最大距离为 2 3 ，所以 2 2x y 的最大值为 2(2 3) 7 4 3   ，故 B 说法正确； 对于 C，设 y x k ，把 y kx 代入圆方程得 2 2(1 ) 4 1 0k x x    ，则 216 4(1 ) 0k     ，解得 3 3k   ， y x 最大值为 3 ，故 C 说法错误； 对于 D，设 m x y  ，则 y x m   ，m 表示直线 y x m   的纵截距，当直线与圆 2 2( 2) 3x y   有 公共点时，| 2 | 3 2 m   ，解得 6 2 6 2m     ，所以 x y 的最大值为 6 2 ，故 D 说法错误. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 15. 双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的其中一条渐近线方程为 2y x ，且焦点到渐近线的距离为 2 ，则双曲线的方程为 _______ 【答案】 2 2 14 yx   【解析】 【分析】 由双曲线的渐近线方程可得 2b a  ，再由焦点到渐近线的距离为 2 可得 2b  ，即可得答案； 【详解】由题意得： 2, 1 2, b aa b       ， 双曲线的方程为 2 2 14 yx   ， 故答案为： 2 2 14 yx   . 11 16．在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E，F 分别为棱 1 1,AA BB 的中点，G 为棱 1 1A B 上的一点， 且 1 (0 2)AG     ，则点 G 到平面 1D EF 的距离为_________． 【答案】 2 5 5 【解析】以 D 为原点， 1, ,DA DC DD 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz ， 则  2, ,2G  ， 1(0,0,2), (2,0,1), (2,2,1)D E F ， 所以 1 (2,0, 1)D E   ， 1 (2,2, 1)D F   ，  0, , 1GE    ， 设平面 1D EF 的法向量为 ( , , )n x y z ，则 2 0, 2 2 0, x z x y z       令 1x  ，则 0, 2y z  ， 所以平面 1D EF 的一个法向量 (1,0,2)n  ． 12 点G 到平面 1D EF 的距离为 1 2 2 5 5| | 5 GE n n        ， 17．若双曲线 2 2 2 2 x y a b － ＝1(a>0，b>0)与直线 y＝ 3 x 无交点，则离心率 e 的取值范围是________． 【答案】(1,2] 【解析】因为双曲线的渐近线为 y＝± b a x，要使直线 y＝ 3 x 与双曲线无交点，则直线 y＝ 3 x 应在两渐 近线之间，所以有 b a ≤ 3 ，即 b≤ 3 a，所以 b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即 c2≤4a2，e2≤4，所以 1