2020-2021学年上海交大附中嘉定分校高二上学期10月月考数学试题 Word版

1 上海交大附中嘉定分校 2020-2021 学年高二上学期 10 月月考数学试题 2020.10 一. 填空题 1. 与向量 方向相反的单位向量是 2. 计算： 2 2 2 3 3 3 1 2lim( )n n n n n n n n       3. 平面直角坐标系 xOy 中，点 A、 B 的坐标分别为 (1,1) 、 (3,4) ，则线段 AB 的垂直平分线方程为（用一般式表示） 4. 若函数 22 4 5y x x   的图像按向量 平移后得到函数 22y x 的图像，则向量 的坐标为 5. 已知向量 ， ，且 与 的夹角为 60°，则 6. 已知点 ( , )P x y 和点 ( , )Q x y  ，且满足 a b x x c d y y              ，若点 P 与点 Q 始终关于 x 轴对称，则行列式 a b c d 的值为 7. 关于 x 、 y 的二元一次方程组 3 1 sin cos 2 x y x y       ， (0, )  无解，则  8. 行列式 2 4 1 5 lg 1 lg 4 3 x x   的值取得最大值时，实数 x 的值为 9. 设 0 0( , )P x y 是直线 : 2 4 0l x y   上的定点， M 为直线l 上的动点，若 为定值（其中O 为坐标原点）， 则该定值为 10. 如图，矩形 ABCD 中，点 P 在矩形边上运动，若 ， ，则 2 2  的值为 11. 如图，在△ ABC 中， 120BAC   ， 2AB  ， 1AC  ， D 满足 ，则 12. 设 P 是单位圆 O 外一点，过 P 作圆O 的切线，切点分别为 A、 B ，则 的最小值为 二. 选择题 13. 已知 ， ，则与 相等的是（ ） A. cos cos sin sin     B. sin cos sin cos      C. cos sin sin cos     D. sin cos cos sin     14. 为了得到函数 sin(2 )6y x   的图像，可以将函数 cos2y x 的图像（ ） A. 向右平移 6  个单位长度 B. 向右平移 3  个单位长度 2 C. 向左平移 6  个单位长度 D. 向左平移 3  个单位长度 15. 已知 、 、 是平面向量， 是单位向量，若非零向量 与 的夹角为 3  ，向量 满足 ，则 的最小值是（ ）A. 3 1 B. 3 1 C. 2 D. 2 3 16. 设函数 2 0( ) 1 0 x xf x x     ，则满足 ( 1) (2 )f x f x  的 x 的取值范围是（ ） A. ( ,1) B. (0, ) C. ( 1,0) D. ( ,0) 三. 解答题 17. 已知 (0, 1)A  ， ( 5,1)B  ， (7,2)D ，且 ∥ ， . （1）求直线 CD 的方程（用一般式表示）；（2）求点C 的坐标，并求四边形 ABCD 的面积. 18. 已知 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 . （1）若 ，且 ∥ ，求 的坐标；（2）若 ，且 与 的夹角为锐角，求实数  的取值范围. 19. 已知锐角三角形 ABC 中， 3sin( ) 5A B  ， 1sin( ) 5A B  . （1）求证： tan 2tanA B ；（2）设 3AB  ，求 AB 边上的高. 3 20. 在直角坐标平面中，已知点 1(1,2)P ， 2 2 (2,2 )P ， 3 3 (3,2 )P ，， ( ,2 )n nP n ，其中 n 是正整数，对平面上任一点 0A ， 记 1A 为 0A 关于点 1P 的对称点， 2A 为 1A 关于点 2P 的对称点，， nA 为 1nA  关于点 nP 的对称点. （1）求向量 的坐标； （2）当点 0A 在曲线C 上移动时，点 2A 的轨迹是函数 ( )y f x 的图像，其中 ( )f x 是以 3 为周期的周期函数，且 当 (0,3]x 时， ( ) lgf x x ，求以曲线 C 为图像的函数在 (1,4]上的解析式； （3）对任意偶数 n ，用 n 表示向量 的坐标. 4 2020-2021 学年上海交大附中嘉定分校高二月考数学试卷参考答案 一. 填空题 1. 3 4( , )5 5  2. 1 3. 4 6 23 0x y   4. ( 1, 3)  5. 7 6. 1 7. 6  8. 510 9. 16 5 10. 13 9 11. 8 3  12. 2 2 3 二. 选择题 13. C 14. B 15. A 16. D 三. 解答题 17.（1） 2 5 24 0x y   ；（2） ( 3,6)C  ， 87 2S  . 18.（1） ；（2） 5( ,0) (0, )3  U . 19. 解：（I）证明：∵sin（A+B）＝ ，sin（A﹣B）＝ ， ∴sinAcosB+cosAsinB＝ ，sinAcosB﹣cosAsinB＝ ， ∴sinAcosB＝ ，cosAsinB＝ ，∴tanA＝2tanB． （2）解：∵ ＜A+B＜ π ， ，∴ ， 即 ，将 tanA＝2tanB 代入上式并整理得 2tan2B﹣4tanB﹣1＝0 解得 ，因为 B 为锐角，所以 ，∴tanA＝2tanB＝2+ ． 设 AB 上的高为 CD，则 AB＝AD+DB＝ ，由 AB＝3 得 CD＝2+ 故 AB 边上的高为 2+ ． 20.（1） ；（2） ( ) lg( 1) 4g x x   ；（3） . 5 解：（1）设 A0（x0，y0），∵A1 为 A0 关于点 P1 的对称点，∴A1 坐标为（2﹣x0，4﹣y0） ∵A2 为 A1 关于点 P2 的对称点，∴A2 坐标为（2+x0，4+y0）∴ ； （2）∵f（x）是以 3 为周期的周期函数，且当 x ∈ （0，3]时，f（x）＝lgx ∴当 x ∈ （3，6]时，f（x）＝lg（x﹣3）∵A2 的轨迹是函数 y＝f（x）的图象， ∴当 2+x0 ∈ （3，6]时，4+y0＝lg（2+x0﹣3）＝lg（x0﹣1）， 即 x0 ∈ （1，4]时，4+y0＝lg（x0﹣1），y0＝lg（x0﹣1）﹣4， ∴A0（x0，y0）点满足 y＝lg（x﹣1）﹣4．∴当 x ∈ （1，4]时，g（x）＝lg（x﹣1）﹣4． （3）设 n 为任意偶数，则 ＝ + +…+ ， 由条件可知 ＝2 ，所以 ＝2（ + ） ＝2[（1，2）+（1，23）+…+（1，2n﹣1）]＝2 ＝ ．