2020-2021学年山东省德州市夏津第一中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）

第 1 页 共 19 页 2020-2021 学年山东省德州市夏津第一中学高二上学期 9 月月 考数学试题 一、单选题 1．已知向量  1, 2, 1a   ，则下列向量中与 a  同向的单位向量的坐标是（ ） A． 1 2 1, ,2 2 2      B． 1 2 1, ,2 2 2      C． 1 2 1, ,2 2 2      D． 1 2 1, ,2 2 2       【答案】B 【解析】求得 a r ，进而可计算得出与 a  同向的单位向量 a a   的坐标. 【详解】  1, 2, 1a    ，则 1 2 1 2a     ， 所以，与 a  同向的单位向量的坐标是 1 2 1, ,2 2 2 a a         . 故选：B. 【点睛】 本题考查与向量同向的单位向量的坐标，考查计算能力，属于基础题. 2．直线 3 3 5 0x y   的倾斜角为（ ） A． 6  B． 3  C． 2 3  D． 5 6  【答案】A 【解析】根据直线倾斜角的正切值等于切线斜率求解即可. 【详解】 直线 3 3 5 0x y   的斜率为 3 3 ,故倾斜角 的正切值 3tan 3   , 又  0,  ,故 6   . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了直线倾斜角与斜率的关系,属于基础题型. 第 2 页 共 19 页 3．已知在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，底面是边长为 2 的正三角形， 1AA AB ，则异 面直线 1A B 与 1AC 所成角的余弦值为（ ） A． 1 4  B． 1 4 C． 15 4  D． 15 4 【答案】B 【解析】以 A 为原点，在平面 ABC 内，过点 A 作 AC 的垂线为 x 轴，以 AC 为 y 轴， 1AA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 1A B 与 1AC 所成角的余 弦值． 【详解】 以 A 为原点，在平面 ABC 内，过点 A 作 AC 的垂线为 x 轴，以 AC 为 y 轴， 1AA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 由题得， (0A ，0， 0) ， 1(0,0,2)A ， ( 3,1,0)B , 1 (0C ，2， 2) ， 1 ( 3,1, 2)A B   ， 1 (0,2,2)AC  ， 设异面直线 1A B 与 1AC 所成角为 ， 则 1 1 1 1 1 1 0 2 4 1cos | cos , | | | | | 4| | | | 8 8 A B ACA B AC A B AC                ． 异面直线 1A B 与 1AC 所成角的余弦值为 1 4 ． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．已知直线 1 : 1 0l ax y   ， 2 : 1 0l x ay   ，若 1 2l l// ，则实数 a （ ） A． 1 或 1 B．0 或 1 C．1 D． 1 第 3 页 共 19 页 【答案】D 【解析】讨论 a ，根据两条直线平行的条件列式可解得结果. 【详解】 当 0a  时， 2l 的斜率不存在， 1l 的斜率为 0，此时 1 2l l ，不合题意； 当 0a  时，由 1 2l l// 可得 1 1 1 1 a a   ，解得 1a   ， 故选：D 【点睛】 本题查了由两条直线平行求参数，属于基础题. 5．如图，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 2 2AA AB  ，则点C 到平面 1BDC 的 距离为（ ） A． 2 2 3 B． 2 3 C． 7 3 D． 2 【答案】B 【解析】结合余弦定理、三角形面积公式、棱锥得体积公式，利用等体积法 1 1 1 1 3 3BDC BCDS d S CC      ，即可求出答案． 【详解】 解：设点C 到平面 1BDC 的距离为 d ， ∵ 1 2 2AA AB  ， 由题意， BCD 的面积 1 1 11 12 2 2BCDS BC CD       ， 在 1BDC 中，易求得 2BD  ， 1 1 5BC DC  ， ∴由余弦定理得 1 5 5 2 4cos 52 5 5 BC D       ， ∴ 1 3sin 5BC D  ， ∴ 1 1 1 1 1 sin2BDCS BC DC BC D     1 3 35 52 5 2      ， 第 4 页 共 19 页 又 1 1C BDC C BCDV V  ，即 1 1 1 1 3 3BDC BCDS d S CC      ， ∴ 1 1 1 2 22 3 3 2 BCD BDC S CCd S     ， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查等体积法求点到平面的距离，考查转化与化归思想，属于中档题． 6．已知空间向量  3,0,1a  ，  2,1,b n  ，  1,2,3c  且   2a c b     ，则 a  与b  的夹 角的余弦值为（ ） A． 210 21 B． 210 21  C． 7 21 D． 7 21  【答案】B 【解析】首先根据   2a c b     得到 4n   ，从而得到  2,1, 4b    ，再计算 cos ,a b   即可. 【详解】      3,0,1 1,2,3 2, 2, 2a c       ， 因为   4 2 2 2a c b n         ，解得 4n   ，即  2,1, 4b    . 所以 6 0 4 210cos , 219 0 1 4 1 16 a ba b a b                  . 故选：B 【点睛】 本题主要考查空间向量的夹角计算，属于简单题. 7．无论 a 取何实数，直线 2 1 0ax y a    恒过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】将直线化为点斜式，求出直线恒过定点即可得解； 【详解】 解：将直线方程化为点斜式为 1 ( 2)y a x   ，可知直线恒过定点 (2,1) ，因为点 (2,1) 在第一象限，所以直线恒过第一象限． 故选：A 第 5 页 共 19 页 【点睛】 本题考查直线过定点问题，属于基础题. 8．已知直线 : 2 3 12 0l x y   与 x 轴， y 轴分别交于 A ， B 两点，直线 m 过点 AB 的 中点，若直线 l ， m 及 x 轴围成的三角形面积为 6，则直线 m 的方程为（ ） A． 2 3 0x y  B． 2 9 0x y  C． 2 9 0x y  或 2 9 24 0x y   D． 2 3 0x y  或 2 9 24 0x y   【答案】D 【解析】求得 ,A B 的中点坐标为 (3,2) ，设直线 m 的方程为 3 2y kx k   ，且与 x 轴 交于点 ( ,0)CC x ，结合三角形的面积公式，列出方程，求得 0Cx  或 12Cx  ，进而求 得直线 m 的方程. 【详解】 由直线 2 3 12 0x y   ，可得与 x 轴， y 轴分别交于 (6,0), (0,4)A B ， 则 ,A B 的中点为 6 0 0 4( , )2 2   ，即中点坐标为 (3,2) ， 设直线 m 的方程为 2 ( 3)y k x   ，即 3 2y kx k   ，且与 x 轴交于点 ( ,0)CC x ， 因为直线 l ， m 及 x 轴围成的三角形面积为 6， 可得 1 1 6 2 62 2PAC B CS AC y x     ，即 6 6Cx  ，解得 0Cx  或 12Cx  ， 当 0Cx  时，即点 (0,0)C ，此时直线 m 的方程为 2 3y x ，即 2 3 0x y  ； 当 12Cx  时，即点 (12,0)C ，此时 2 0 2 3 12 9k    ，直线 m 的方程为 2 9 24 0x y   ， 综上可得直线 m 的方程为 2 3 0x y  或 2 9 24 0x y   . 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了直线方程的求解，以及三角形面积公式的应用，其中解答中熟练直线的 点斜式方程，以及结合三角形的面积公式列出方程求解是解答的关键，着重考查推理与 运算能力. 二、多选题 9．已知空间四边形OABC ，其对角线为 OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA、BC 的 中点，点G 在线段 MN 上，且 2MG GN  ，现用基组 , ,OA OB OC    表示向量OG  ， 第 6 页 共 19 页 有OG xOA yOB zOC      ，则（ ） A． 1 6x  B． 1 3y  C． 1 3z  D． 1x y z   【答案】ABC 【解析】求出 MN  关于OA  、OB  、OC  的表达式，可求得 OG  关于OA  、OB  、OC  的 表达式，可得出 x 、 y 、 z 的值，进而可判断出各选项的正误. 【详解】 如下图所示， NQ 为 BC 的中点，则  1 1 1 1 2 2 2 2ON OB BN OB BC OB OC OB OB OC                  ， M 为OA的中点，则 1 2OM OA  ， 1 1 1 2 2 2MN ON OM OB OC OA           ， 2MG GN   ，则 2 3MG MN  ， 2 1 2 1 1 1 1 1 1 3 2 3 2 2 2 6 3 3OG OM MG OM MN OA OB OC OA OA OB OC                           ， 1 6x  ， 1 3y z  ，则 5 6x y z   . 故选：ABC. 【点睛】 本题考查利用空间基底表示向量，考查计算能力，属于中等题. 10．下列关于直线的方程，叙述不正确的是（ ） A．经过定点  0 0 0,P x y 的直线都可以用方程  0 0y y k x x   表示 B．经过任意两个不同点  1 1 1,P x y ，  2 2 2,P x y 的直线都可以用方程      1 2 1 1 2 1y y x x x x y y     表示 第 7 页 共 19 页 C．不经过原点的直线都可以用方程 1x y a b   表示 D．经过定点  0,A b 的直线都可以用方程 y kx b  表示 【答案】ACD 【解析】根据各种直线方程的适用范围，逐个分析判断即可 【详解】 解：对于 A，经过定点  0 0 0,P x y ，且斜率存在的直线都可以用方程  0 0y y k x x   表 示，所以 A 错误； 对于 B，经过任意两个不同点  1 1 1,P x y ，  2 2 2,P x y 的直线都可以用方程      1 2 1 1 2 1y y x x x x y y     表示，所以 B 正确； 对于 C，不经过原点，且与坐标轴不垂直的直线都可以用方程 1x y a b   表示，所以 C 错误； 对于 D，经过定点  0,A b ，且斜率存在的直线都可以用方程 y kx b  表示，所以 D 错 误， 故选：ACD 【点睛】 此题考查各个直线方程的适用范围，考查命题的真假判断，属于基础题 11．已知直线 l 的一个方向向量为 3 1,6 2u        ，且l 经过点 1, 2 ，则下列结论中正 确的是（ ） A．l 的倾斜角等于150 B．l 在 x 轴上的截距等于 2 3 3 C．l 与直线 3 3 2 0x y   垂直 D．l 上存在与原点距离等于 1 的点 【答案】CD 【解析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程， 进而可判断 A，B，C，对于计算出原点到直的距离即可判断 【详解】 解：因为直线 l 的一个方向向量为 3 1,6 2u        ， 第 8 页 共 19 页 所以直线 l 的斜率为 1 2 3 3 6 k     ， 设直线的倾斜角为 （ [0 ,180 )    ），则 tan 3   ，所以 120   ，所以 A 错误； 因为 l 经过点 1, 2 ，所以直线l 的方程为 2 3( 1)y x    ，令 0y  ，则 2 3 13x    ， 所以 l 在 x 轴上的截距为 2 3 13   ，所以 B 错误； 因为直线 3 3 2 0x y   的斜率为 3 3 ，直线 l 的斜率为 3 ， 所以 33 13     ，所以l 与直线 3 3 2 0x y   垂直，所以 C 正确； 因为原点到直线 l 的距离为 2 2 2 3 2 3 121 ( 3) d      ， 所以 l 上存在与原点距离等于 1 的点，所以 D 正确， 故选：CD 【点睛】 此题考查直线方程的求法，考查两直线的位置关系，考查斜率与倾斜角的关系，考查点 到直线的距离公式的应用，属于中档题 12．如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AB BC ， 2AB  ， 4BC  ， 1 5BB  ， D 是 1 1AC 的中点，点 E 在棱 1AA 上且靠近 1A ，当 1CE B E 时，则（ ） A． 2 2BE  B． 6DE  C． 3 5ACES △ D．二面角 1 1A B E D  的余弦值为 21 21 【答案】BD 第 9 页 共 19 页 【解析】以 B 为原点， 1, ,BA BC BB 分别为 , ,x y z 轴建立空间直角坐标系，设 AE t ， 5 52 t  ，根据 1 0CE B E   求出 4t  ，可得 (2,0,4)E ，根据空间两点间的距离公式 求出 6DE  ， 2 5BE  ， 4 5ACES △ ，利用法向量求出二面角 1 1A B E D  的余 弦值为 21 21 . 【详解】 依题意可知 BA BC ， 1BB BA ， 1BB BC ，以 B 为原点， 1, ,BA BC BB 分别为 , ,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系： 设 AE t ， 5 52 t  ，则 (0,0,0)B ， 1(0,0,5)B ， (0,4,0)C ， (2,0,0)A ， (2,0, )E t ， 1(2,0,5)A ， 1(0,4,5)C ， (1,2,5)D ， 所以 (2, 4, )CE t  ， 1 (2,0, 5)B E t  ， 因为 1CE B E ，所以 1 2 2 4 0 ( 5) 0CE B E t t         ，即 2 5 4 0t t   ， 解得 4t  或 1t  （舍）， 所以 (2,0,4)E ， 2 2 2(1 2) (2 0) (5 4) 6DE        ，故选项 B 正确， 2 2 2(2 0) (0 0) (4 0) 2 5BE        ，故选项 A 不正确， 因为 2 2 2 2AC AB BC 2 4 2 5     ， 所以 1 1 2 5 4 4 52 2ACES AC AE     △ ，故C 不正确， 取平面 1 1A B E 的一个法向量为 1 1 (0,4,0)B C  ， 设平面 1DB E 的法向量为 ( , , )n x y z ， 1 (1,2,0)B D  ， (1, 2, 1)DE    ， 第 10 页 共 19 页 由 1 0 0 B D n DE n           ，即 2 0 2 0 x y x y z       ， 取 1y  ，则 2x   ， 4z   ，所以  2,1, 4n    ， 显然二面角 1 1A B E D  为锐角， 所以二面角 1 1A B E D  的余弦值为 1 1 1 1 | | | || | B C n B C n    4 21 214 4 1 16      ，故选项 D 正 确. 故选：BD 【点睛】 本题考查了空间向量垂直的坐标表示，考查了空间两点间的距离公式，考查了二面角的 向量求法，属于中档题. 三、填空题 13．已知直线 0x my m   与 2 1 0x my   垂直，则 m  ____________． 【答案】 2 【解析】由题意得  1 2 0m m     ，解出即可． 【详解】 解：∵直线 0x my m   与 2 1 0x my   垂直， ∴  1 2 0m m     ，即 2 2m  ， 解得 2m   ， 故答案为： 2 ． 【点睛】 本题主要考查根据两条直线垂直求参数值，属于基础题． 14．已知点  3,1P 到直线 : 3 0l x ay   的距离为 1 2 ，则 a ____________. 【答案】 3 3  【解析】根据点到直线的距离公式列式可解得结果. 【详解】 第 11 页 共 19 页 由点到直线的距离公式得 2 | 3 3| 1 21 a a     ，解得 3 3a   . 故答案为： 3 3  . 【点睛】 本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题. 15．设动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 的对角线 BD1 上，记 1 1 D P D B ＝λ.当 ∠APC 为钝角时，λ的取值范围是________． 【答案】( 1 3 ，1) 【解析】本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，意在考 查考生的空间想象能力以及运算求解能力． 以 DA  、 DC  、 1DD  为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 D－xyz，则有 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，则 1D B  ＝(1,1，－1)，得 1D P  ＝λ 1D B  ＝(λ，λ， －λ)，所以 PA  ＝ 1PD  ＋ 1D A  ＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC  ＝ 1PD  ＋ 1DC  ＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然∠APC 不是平角， 所以∠APC 为钝角等价于 PA  · PC 