2020-2021学年江西省赣州市高二上学期第二次大考数学（理）试题 Word版

1 2020-2021 学年度第一学期高二第二次大考 数 学（理）试 卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一 项是符合题目要求的 ） 1．直线l 的方程为 3 3 1 0x y   ，则直线l 的倾斜角为（ ） A．150 B．120 C． 60 D．30 2．在空间直角坐标系中，已知 ( 1,0,2)M  ， (3,2, 4)N  ，则 MN 的中点 P 到坐标原点O 的距离为 （ ） A． 3 B． 2 C．2 D．3 3．一个长方体切去一个小长方体,所得几何体的主视图与左视图分别如图所示,则该几何体的俯视图 为( ) 4．圆锥的高扩大到原来的 2 倍，底面半径缩短到原来的 2 1 ，则圆锥的体积（ ） A．扩大到原来的 2 倍 B．缩小到原来的一半 C．缩小到原来的 6 1 D. 不变 5．等比数列 na ，满足 0, 1na q  ，且 3 5 20a a  ， 2 6 64a a  ，则 5S  （ ） A．31 B．36 C．42 D．48 6．在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， N，M 分别是 11BA 和 1BB 的 中点，则直线 AM 与CN 所成角 的余弦值为( ) A． 5 1 B． 5 2 C． 5 21 D． 5 62 7．圆 x2＋y2－4x－4y－10＝0 上的点到直线 x＋y－14＝0 的最大距离与最小距离的差是 ( ) A． 36 B． 18 C． 5 2 D． 6 2 2 8．在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 cos (2 )cosc a B a b A   ，则 ABC 为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 9. 已知空间中不同直线 m n、 和不同平面 、  ，下面四个结论： ①若 m n、 互为异面直线， / /m  ， //n  ， //m ， / /n  ，则 / /  ； ②若 m n ， m  ， / /n  ，则  ； ③若 n  ， / /m  ，则 n m ； ④若  ， m  ， mn // ，则 / /n  .其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③ 10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着 一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边 饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 2 2 1x y  ，若将军从点 (2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为 3x y  ，并假定将军只要到 达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A． 10 1 B． 2 2 1 C． 2 2 D． 10 11．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1， E 是棱 1 1D C 的中点，点 F 在正方体内部或正方体的 表面上，且 EF ∥平面 1 1A BC ，则动点 F 的轨迹所形成的区域面积是（ ） A． 9 8 B． 3 2 C． 3 3 4 D． 2 12．如图，矩形 ABCD 中， 2AB AD ，E 为边 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 翻转成 1A DE （ 1A 平面 ABCD ）．若 M 、 O 分别为线段 1AC 、 DE 的中点，则在 ADE 翻转过程中， 下列说法错误的是（ ） A．与平面 1A DE 垂直的直线必与直线 BM 垂直 B．异面直线 BM 与 1A E 所成角是定值 C．一定存在某个位置，使 DE MO D．三棱锥 1A ADE 外接球半径与棱 AD 的长之比为定值 3 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卡上的相应位置） 13．已知向量 ( 1,2), ( ,1)a b m    ，若向量 a b  与 a  垂直，则 m  . 14．如图, ' ' 'AO B 为水平放置的 AOB 斜二测画法的直观图，且 2, 3O A O B     ,则 AOB 的周长为 . 15．在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 C：   2 23 4x y a    上存 在两点 A、B 满足： 60AOB   ，则实数 a 的最大值是 . 16．已知边长为 2 3 的菱形 ABCD 中， 60BAD   ，沿对角线 BD 折成二面角 A BD C  为120 的四面体 ABCD ，则四面体 ABCD 的外接球的表面积为 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 17．（本小题满分 10 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 9AC  ， 12BC  ， 15AB  ，点 D 是 AB 的中点． （1）求证： 1AC B C ； （2）求证： 1AC ∥平面 1CDB ． 18．（本小题满分 12 分） 在 ABC 中， acbca 2222  ． （I）求 B 的大小； （II）求 CA coscos2  的最大值． 4 19．（本小题满分 12 分） 设数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 11 a ， 121  nn Sa ,n∈N*． （I）求数列 na 的通项公式； （II）设 2 1 n n nc a  ，求数列 nc 的前 n 项和 nT ． 20．（本小题满分 12 分） 如图所示，正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的高为 2，点 D 是 1A B 的中点，点 E 是 1 1B C 的中点. （1）证明： / /DE 平面 1 1ACC A ； （2）若三棱锥 E DBC 的体积为 3 12 ，求该正三棱柱的底面边长. 21．（本小题满分 12 分） 在如图所示的几何体中， / /DE AC ，AC  平面 BCD， 2 4AC DE  ， 2BC  ， 1DC  ， 60BCD   . （1）证明： BD  平面 ACDE ； （2）求平面 BCD与平面 BAE 所成二面角的正弦值. 5 22．（本小题满分 12 分） 如图，在直角坐标系 xOy 中，圆 4: 22  yxO 与 x 轴负半轴交于点 A ，过点 A 的直线 AM ， AN 分别与圆O 交于 ,M N 两点,设直线 AM AN、 的斜率分别为 1 2k k、 . （1）若 1 2 12, 2k k   ，求△ AMN 的面积； （2）若 1 2 2k k   ，求证：直线 MN 过定点. 6 2020-2021 学年度第一学期高二第二次大考 数学（理）参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一 项是符合题目要求的 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A D B A B D D D A C C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卡上的相应位置） 13. 7 14. 12 15. 7 16. 28 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 17.解: （1）直三棱柱 1 1 1ABC A B C ， 1CC  面 ABC ， 1CC AC  ， 又 9AC  ， 12BC  ， 15AB  ， 2 2 2AB BC AB   ， AC BC  ， 1CC BC C ， AC  面 1 1BB C C ， 1AC B C  ．----------5 分 （2）取 1 1A B 的中点 1D ，连结 1 1C D 和 1AD ， 1 1AD D B ∥ ，且 1 1AD D B ， 四边形 1 1ACB D 为平行四边形， 1 1AD DB ∥ ， 1AD 面 1CDB ， 1 1CC DD ∥ ，且 1 1CC DD ，四边形 1 1CC D D 为平行四边形， 1 1C D CD ∥ ， 1 1C D ∥面 1CDB ， 1 1 1 1AD C D D  ，面 1 1AC D ∥面 1CDB ， 1AC ∥平面 1CDB ．----------10 分 18.解: （1） ，又∵ ，∴ ......................6 分 （2）由（1）知 ............................ 10 分 因为 ，所以当 时， 取得最大值 .................................12 分 19.解:（1）由 an+1=2Sn+1 可得 an=2Sn﹣1+1（n≥2），两式相减得 an+1﹣an=2an 7 即an+1=3an（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列． 所以an=3n﹣1． ................................................................5 分 （2）因为 1 2 1 3n n nc   ，所以 ． 则 ， 两式相减得： ． 所以 = ．...........................................................12 分 20. 解：（1）如图，连接 1 1,AB AC ，因为 D 是 1A B 的中点， E 是 1 1B C 的中点， 所以在 1 1B AC 中， 1/ /DE AC , DE  平面 1 1ACC A ， 1AC  平面 1 1ACC A ， 所以 / /DE 平面 1 1ACC A . -------------5 分 （2）由等体积法，得 E DBC D EBCV V  ， 因为 D 是 1A B 的中点， 所以点 D 到平面 1 1BCC B 的距离是点 A 到平面 1 1BCC B 的距离的一半. 如图，作 AF BC 交 BC 于点 F ，由正三棱柱的性质可知， AF  平面 1 1BCC B . 设底面正三角形的边长 a ，则三棱锥的高 1 3 2 4h AF a  ， ------------9 分 1 22EBCS a a     , 所以 21 3 3 3 12 12D EBC EBCV S h a     ，解得 1a  ， 所以该正三棱柱的底面边长为1. -------------12 分 21.解：(1)在 BCD 中， 2 22 1 2 1 2 60 3BD cos      . 所以 2 2 2BC BD DC  ，所以 BCD 为直角三角形， BD CD . -------------3 分 又因为 AC 平面 BCD，所以 AC BD . 而 AC CD C  ，所以 BD  平面 ACDE . -------------5 分 8 (2)(方法一)如图延长 AE ， CD 相交于G ，连接 BG ， 则平面 AEB  平面 BCD BG . 二面角 A BG C  就是平面 BCD与平面 BAE 所成二面角. 因为 , 2DE AC AC DE ，所以 DE 是 AGC 的中位线. 1GD DC  ，这样 2, 60 ,GC BC BCD BGC     是等边三角形. 取 BG 的中点为 H ，连接 ,AH CH ，因为 AC 平面 BCD. 所以 AHC 就是二面角 A BG C  的平面角. -------------10 分 在 , 4, 3Rt AHC AC CH   ，所以 4 4 19 1919 sin AHC   . -------------12 分 (方法二)建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz ， 可得          0,0,0 , 3,0,0 , 0,1,0 , 0,0,2 , 0,1,4D B C E A .    3,1,4 , 0,1,2BA EA    . 设  , ,n x y z 是平面 BAE 的法向量，则 3 4 0 2 0 n BA x y z n EA y z              令 3z  得  2, 2 3, 3n   . -------------9 分 取平面 BCD 的法向量为  0,0,1m  . -------------10 分 设平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的平面角为 ， 则 3 19 n mcos n m        ，从而 4 19 19sin  . -------------12 分 22.解:（1）由题知，得直线 AM 的方程为 42  xy ，直线 AN 的方程为 12 1  xy 所以，圆心到直线 AM 的距离 5 |4|d ，所以， 5 54 5 1642 AM ，-------------3 分 由题知 1 2 1k k   ，所以 AN⊥AM， 5 58AN ， 5 16 5 58 5 54 2 1 S -----------5 分 （2）方法一:由题知直线 AM 的方程  1 2y k x  ，直线 AN 的方程为   1 2 2y xk    9 联立方程  1 2 2 2 4 y k x x y      ，所以   2 2 1 12 1 2 2 0x k x k       ， 得 2x 或 2 1 2 1 2 2 1 kx k   所以 2 1 1 2 2 1 1 2 2 4,1 1 k kM k k       ，-------------7 分 同理， 2 1 1 2 2 1 1 2 8 8,4 4 k kN k k        ，-------------8 分 所以直线 MN 为 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 22 2 1 11 1 2 2 1 1 4 8 8 1 4 2 8( )2 2 2 84 4 1 4 k k k k k ky xk kk k k k          即 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 8 3 2 8( )4 2 4 k k ky xk k k       ，得 1 1 1 2 2 2 1 1 1 3 2 3 2( )2 2 2 3 k k ky x xk k k       ， 所以直线 MN 恒过定点 2( ,0)3  ．-------------12 分 方法二:由 1 2 2k k   知直线 MN 的斜率不为 0, 设直线 MN 的方程为 ( 2)x ty n n    , 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 联立 2 2 4 x ty n x y      得 2 2 2( 1) 2 4 0t y tny n     2 2 2 2 2 24 4( 1)( 4) 4(4 4 ) 0t n t n t n         且 2 1 2 1 22 2 2 4,1 1 tn ny y y yt t      -------------7 分 1 2 2k k   , 1 2 1 2 22 2 y y x x      1 2 1 22( 2)( 2) 0x x y y     又 1 1 2 2,x ty n x ty n    1 2 1 22( 2)( 2) 0ty n ty n y y       即 2 2 1 2 1 2(2 1) 2 ( 2)( ) 2( 2) 0t y y t n y y n       2 2 2 2 2 4 2(2 1) 2 ( 2) 2( 2) 01 1 n tnt t n nt t          -------------9 分 化简整理得 23 8 4 0n n   ,解得 2 3n   或 2n   (舍去) -------------11 分 10 直线 MN 的方程为 2 3x ty  ,故直线 MN 恒过定点 2( ,0)3  -------------12 分