2020-2021学年江西省寻乌中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

- 1 - 寻乌中学 2020—2021 学年度上学期期中考试 高二数学(文)试卷 一、选择题 (每小题 5 分,共 60 分) 1．经过点  1,4A  且在 x 轴上的截距为 3的直线方程是( ) A． 3y x   B． 3y x= + C． 3y x   D． 5y x   2．已知  2,0A ，  1, 2B  ，则以 AB 为直径的圆的方程为（ ） A．   2 23 312 4x y       B．   2 23 312 4x y       C．   2 23 512 4x y       D．   2 23 512 4x y       3．两条平行直线3 4 5 0x y   与 6 8 9 0x y   间的距离等于（ ） A． 1 10 B． 1 5 C． 4 5 D． 4 10 4．已知点 ，点 Q 是直线 l： 上的动点，则 的最小值为 A．2 B． C． D． 5．已知双曲线 C： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的实轴长为 4，左焦点 F 到 C 的一条渐近 线的距离为 3，则 C 的方程为（ ） A． 2 2 12 3 x y  B． 2 2 14 3 x y  C． 2 2 14 9 x y  D． 2 2 116 9 x y  6．已知圆  2 2: 2 2 4 4 0C x y x my m m R       ，则当圆C 的面积最小时，圆上的点 到坐标原点的距离的最大值为（ ） A． 5 B． 6 C． 5 1 D． 5 1 7．若直线 2 24 4mx ny x y   和圆 没有交点，则过点 ( , )m n 的直线与椭圆 2 2 19 4 x y  的 交点个数为（ ） A．2 个 B．至多一个 C．1 个 D．0 个 8．与圆 2 2 1x y  及圆 2 2 8 7 0x y x    都外切的圆的圆心在（ ）． A．一个圆上 B．一个椭圆上 C．双曲线的一支上 D．抛物线上 9．过点 作圆（x+1）2+（y-2）2=169 的弦，其中弦长为整数的弦共有（ ） A．16 条 B．17 条 C．32 条 D．34 条 10．已知斜率为 k ( 0)k  的直线l 过抛物线 2: 2 ( 0)C x py p  的焦点 F ，与抛物线C 交于 A ， B 两点，又直线 l 与圆 2 2 23 04x y py p    交于C ， D 两点．若| | 3| |AB CD ， 则 k 的值为( ) A． 2 B． 2 2 C． 4 D．8 11．点 P 为双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     右支上的一点，其左、右焦点分别为 1 2,F F ，若 1 2PF F 的内切圆 I 与 x 轴相切于点 A ，过 2F 作 PI 的垂线，垂足为 ,B O 为坐标原点，那么 OA OB 的值为 （ ） - 2 - A．1 B． 2 C． b a D． a b 12．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 变轨进入以 月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为 一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道 Ⅲ绕月飞行.已知椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的中心与 F 在同一直线上，设椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长半轴长 分别为 1a ， 2a ，半焦距分别为 1c ， 2c ， 则以下四个关系① 1 1 2 2a c a c   ，② 1 2 1 2 c c a a  ，③a1+c2=a2+c1，④ 1 2 1 2 c c a a  中正确的是( ) A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13．直线  2 1 2 0mx m y    和直线3 1 0x my   垂直，则实数 m 的值为_______. 14．若圆 2 24 4x y   与双曲线C ：   2 2 2 2 1 0, 0y x a ba b     的渐近线相切，则双曲线C 的离心率为_______. 15．若过点 (0 1)， 的直线 l 与抛物线 2 2y x 有且只有一个交点，则这样的直线 l 共有_____ 条. 16．已知直线 y=-x+1 与椭圆 )0(12 2 2 2  bab y a x 相交于 A ，B 两点，且 OA OB （O 为 坐标原点），若椭圆的离心率 1 3,2 2e       ，则 a 的最大值为___________． 三、解答题(共 70 分) 17．(10 分)设直线的方程为 ( 1) 2 0,a x y a a R      . （1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，求 a 的值. - 3 - 18.(12 分)在平面直角坐标系 xoy 中，已知中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 C 的离心率为 2 ，且双曲线 C 与斜率为 2 的直线 l 相交，且其中一个交点为 P（﹣3，0）． （1）求双曲线 C 的方程及它的渐近线方程； （2）求以直线 l 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程． 19．(12 分)已知抛物线 E：x2=2py（p＞0）的焦点为 F，直线 x=2 与 x 轴的交点为 M，与抛物 线 E 的交点为 N，且 4|FN|=5|MN|． （1）求 p 的值； （2）若直线 y=kx+2 与 E 交于 A，B 两点，C（0，-2），记直线 CA，CB 的斜率分别为 k1，k2，求证：k12+k22-2k2 为定值． 20．(12 分)已知直线 : ( 1) 2 5 3 0( )l k x y k k R      恒过定点 P ，圆C 经过点 (4,0)A 和 点 P ，且圆心在直线 - 2 1 0x y   上. （1）求定点 P 的坐标与圆C 的标准方程； （2）已知点 P 为圆C 直径的一个端点，若另一个端点为点Q ，问：在 y 轴上是否存在一 点 (0, )M m ，使得 PMQ 为直角三角形，若存在，求出 m 的值，若不存在，请说明理由. 21．(12 分)已知椭圆 的中心在原点，焦点在轴，焦距为 2，且长轴长是短轴长的 倍． （1）求椭圆 的标准方程； - 4 - （2）设 ，过椭圆 左焦点 的直线交 于 、 两点，若对满足条件的任意直线，不 等式 （ ）恒成立，求的最小值． 22．(12 分)已知 F 为抛物线  2 1 : 2 0 1C y px p   的焦点，E 为圆  2 2 2 : 4 1C x y   上 任意点，且 EF 最大值为 19 4 . （1）求抛物线 1C 的方程； （2）若   0 0 0, 2 4M x y y  在抛物线 1C 上，过 M 作圆 2C 的两条切线交抛物线 1C 于 A 、 B (A、B 异于点 M），求 AB 中点 D 的纵坐标的取值范围. 高二期中考试数学(文)试卷参考答案 1．经过点  1,4A  且在 x 轴上的截距为 3的直线方程是( ) A． 3y x   B． 3y x= + C． 3y x   D． 5y x   【答案】C 【详解】 根据题意，所求直线过点  1,4A  ，故可设为  4 1y k x   ， 0k  ，令 0y  ，得 1 34 kx     ，即 1k   ，即所求直线的方程为 3y x   . 故选 C. 2．已知  2,0A ，  1, 2B  ，则以 AB 为直径的圆的方程为（ ） A．   2 23 312 4x y       B．   2 23 312 4x y       C．   2 23 512 4x y       D．   2 23 512 4x y       【答案】D 【详解】 由  2,0A ，  1, 2B  ，且 AB 为直径， - 5 - 所以圆的圆心为 ,A B 的中点，即为 3 , 12     ， 又    2 22 1 0 2 5AB      ， 所以 5 2 2 ABr   ， 所以以 AB 为直径的圆的标准方程为   2 23 512 4x y       ， 故选：D 3．两条平行直线3 4 5 0x y   与 6 8 9 0x y   间的距离等于（ ） A． 1 10 B． 1 5 C． 4 5 D． 4 10 【答案】A 【详解】 直线 6 8 9 0x y   方程可化为： 93 4 02x y   ， 由平行直线间距离公式可知所求距离 2 2 95 2 1 103 4 d         . 故选： A . 4．已知点 ，点 Q 是直线 l： 上的动点，则 的最小值为 A．2 B． C． D． 【答案】B 解：点 ，点 Q 是直线 l： 上的动点， 的最小值为点 Q 到直线 l 的距离， 的最小值为 ． 故选：B． 5．已知双曲线 C： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的实轴长为 4，左焦点 F 到 C 的一条渐近 线的距离为 3，则 C 的方程为（ ） A． 2 2 12 3 x y  B． 2 2 14 3 x y  C． 2 2 14 9 x y  D． 2 2 116 9 x y  【答案】C 【详解】 因为实轴长 2 4a  ，所以 2a  ，  ,0F c ， 由对称性，双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离相等， 不妨取渐近线为 by xa  ，即 0bx ay  ， 点  ,0F c 到渐近线的距离   2 2 0b c bcd bca b        ， 所以 3b  ， - 6 - 所以 C 的方程为 2 2 14 9 x y  ， 故选：C. 6．已知圆  2 2: 2 2 4 4 0C x y x my m m R       ，则当圆C 的面积最小时，圆上的点 到坐标原点的距离的最大值为（ ） A． 5 B． 6 C． 5 1 D． 5 1 【答案】D 【详解】 由 2 2 2 2 4 4 0x y x my m      得   2 2 21 4 5x y m m m      ， 因此圆心为  1,C m ，半径为  22 4 5 2 1 1r m m m       ， 当且仅当 2m   时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为  1, 2C   ，半径为 1r  ， 因此圆心到坐标原点的距离为    2 21 2 5d r      ， 即原点在圆C 外， 根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 5 1d r   . 故选：D. 7．若直线 2 24 4mx ny x y   和圆 没有交点，则过点 ( , )m n 的直线与椭圆 2 2 19 4 x y  的 交点个数为（ ） A．2 个 B．至多一个 C．1 个 D．0 个 【答案】A 【详解】 直线 2 24 4mx ny x y   和圆 没有交点，故 4024 22 22   nm nm , 点 P(m,n)在以原点为圆心，半径为 2 的圆内，故圆 2 2m n =2 内切于椭圆，故点 P(m,n)在椭圆 内，则过点 ( , )m n 的直线与椭圆 2 2 19 4 x y  的交点个数为 2 个 8．与圆 2 2 1x y  及圆 2 2 8 7 0x y x    都外切的圆的圆心在（ ）． A．一个圆上 B．一个椭圆上 C．双曲线的一支上 D．抛物线上 【答案】C 【详解】 设动圆的圆心为 P ，半径为 r ，而圆 2 2 1x y  的圆心为 (0,0)O ，半径为 1； 圆 2 2 8 7 0x y x    的圆心为 (4,0)F ，半径为 3． 依题意得 3 , 1PF r PO r    ，则    3 1 2PF PO r r FO       ， 所以点 P 的轨迹是双曲线的一支（除（1,0））． 故选 C． 9．过点 作圆（x+1）2+（y-2）2=169 的弦，其中弦长为整数的弦共有（ ） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】C 【解析】 试题分析：圆的标准方程是： ，圆心 ，半径 ，过点 的最短的弦长为 10，最长的弦长为 26,（分别只有一条）还有长度为 的各 2 条，所 - 7 - 以共有弦长为整数的 条.选 C． 10．已知斜率为 k ( 0)k  的直线l 过抛物线 2: 2 ( 0)C x py p  的焦点 F ，与抛物线C 交于 A ， B 两点，又直线l 与圆 2 2 23 04x y py p    交于C ， D 两点．若| | 3| |AB CD ，则 k 的值为( ) A． 2 B． 2 2 C． 4 D．8 【答案】A 【详解】 设直线l 的方程为 2 py kx  代入抛物线 2: 2 ( 0)C x py p  消去 x ， 整理得： 2 2 2( 2 ) 04 py p pk y    ，则 2 1 2 2y y p pk   ， 所以 2 2 1 2| | 2 2 2AB y y p p pk p p pk        ， 圆 2 2 2 2 2 23 0 ( )4 2 px y py p x y p        ， 圆心为 (0, )2 p ，半径为 p ， 因为直线过圆心，所以| | 2CD p ， 因为| | 3| |AB CD ，所以 22 2 6 2p pk p k    . 故选：A. 11．点 P 为双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     右支上的一点，其左、右焦点分别为 1 2,F F ，若 1 2PF F 的内切圆 I 与 x 轴相切于点 A ，过 2F 作 PI 的垂线，垂足为 ,B O 为坐标原点，那么 OA OB 的值为 （ ） A．1 B． 2 C． b a D． a b 【答案】A 【解析】 F1(−c,0)、F2(c,0)，内切圆与 x 轴的切点是点 A ∵|PF1|−|PF2|=2a，及圆的切线长定理知， - 8 - |AF1|−|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为 x， 则|(x+c)−(c−x)|=2a ∴x=a； 即|OA|=a， 在三角形 PCF2 中,由题意得,它是一个等腰三角形,PC=PF2， ∴在三角形 F1CF2 中，有： OB= 1 2 CF1= 1 2 (PF1−PC)= 1 2 (PF1−PF2)= 1 2 ×2a=a， ∴|OB|=|OA|，所以 1OA OB  ，故选 A. 12．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 变轨进入以 月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一 个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕 月飞行.已知椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的中心与 F 在同一直线上，设椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长半轴长分别为 1a ， 2a ，半焦距分别为 1c ， 2c ，则以下四个关系① 1 1 2 2a c a c   ，② 1 2 1 2 c c a a  ，③a1+c2=a2+c1， ④ 1 2 1 2 c c a a  中正确的是( ) A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 【答案】C 【详解】 由图可知, 1 1a c PF  , 2 2a c PF  ,故①不正确； 由①可得 1 1 2 2a c a c   ,则 1 2 2 1a c a c   ,故③正确； 由③可得   2 2 1 2 2 1a c a c   ,则 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 12 2a c a c a c a c     ,即 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 12 2a c a c a c a c     ,所以 2 2 1 1 2 2 2 12 2b a c b a c   , 因为 1 2b b ,所以 1 2 2 1a c a c ,则 1 2 1 2 a a c c  ,所以 1 2 1 2 c c a a  ,故②正确,④错误. 故答案为:C 13．直线  2 1 2 0mx m y    和直线3 1 0x my   垂直，则实数 m 的值为_______. 【答案】-2 或 0 【详解】 因为直线  2 1 2 0mx m y    和直线3 1 0x my   垂直，所以  3 2 1 0m m m   ， - 9 - 即  2 4 0m m  ，解得 0m  或 2 . 14．若圆 2 24 4x y   与双曲线C ：   2 2 2 2 1 0, 0y x a ba b     的渐近线相切，则双曲线C 的离心率为_______. 【答案】2 【详解】 设双曲线的一条渐近线为 ay xb  ，即 0ax by  因为其与圆 2 24 4x y   相切，故 2 2 4 2a a b   整理可得 2 2 3b a  ，故离心率为 2 21 2 be a    . 15．若过点 (0 1)， 的直线 l 与抛物线 2 2y x 有且只有一个交点，则这样的直线 l 共有_______ 条. 【答案】3 解：（1）当过点 (0 1)， 的直线斜率不存在时，显然 0x  与抛物线 2 2y x 有且只有一个交点， （2）①当过点 (0 1)， 且直线抛物线 2 2y x 的对称轴平行，即斜率为 0 时，显然 1y   与抛 物线 2 2y x 有且只有一个交点， ②当直线过点 (0 1)， 且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线 方程为 1y kx  ，代入到抛物线方程 2 2y x ，消 y 得： 2 2 2( 1) 1 0k x k x    ， 由已知有 0k  ，则 2 24( 1) 4 0k k     ，解得： 1 2k   ，即直线线方程为 1 12y x   ， 综上可得：过点 (0 1)， 的直线 l 与抛物线 2 2y x 有且只有一个交点的直线 l 共有 3 条， 16．已知直线 1y x   与椭圆 )0(12 2 2 2  bab y a x 相交于 A ，B 两点，且OA OB （O 为坐标原点），若椭圆的离心率 1 3,2 2e       ，则 a 的最大值为___________． 【答案】 10 2 解：设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 由 2 2 2 2 1 1 y x x y a b      ，消去 y，可得   2 2 2 2 2 22 1 0a b x a x a b     ， ∴则  2 22 1 2 1 22 2 2 2 12 , a bax x x xa b a b      ， 由     22 2 2 2 22 4 1 0a a a b b       ，整理得 2 2 1a b  .     1 2 1 2 1 2 1 21 1 1y y x x x x x x          . OA OB （其中 O 为坐标原点），可得 0OA OB   ， 1 2 1 2 0x x y y   ，即   1 2 1 21 1 0x x x x      ，化简得  1 2 1 22 1 0x x x x    . - 10 -  2 2 2 2 2 2 2 1 22 1 0 a b a a b a b        .整理得 2 2 2 22 0a b a b   . 2 2 2 2 2 2b a c a a e    ， ∴代入上式，化简得 2 2 12 1 1a e    ， 2 2 1 112 1a e       . 1 3,2 2e        ，平方得 21 3 4 4e  ， 21 314 4e    ，可得 2 4 1 43 1 e   ， 因此 2 2 2 7 1 7 52 1 5,3 1 6 2a ae       ，可得 2a 的最大值为 5 2 ， 满足条件 2 2 1a b  ， ∴当椭圆的离心率 3 2e  时， a 的最大值为 10 2 . 故答案为： 10 2 . 17．设直线的方程为 ( 1) 2 0,a x y a a R      . （1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，求 a 的值. 【答案】（1）3 0x y  或 2 0x y   （2） 3 7a   【详解】 （1）由题意知， 当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为 0， 此时 2a  ，直线的方程为3 0x y  ； 当直线不过原点时，由截距相等，得 22 1 aa a    ，则 0a  ， 直线的方程为 2 0x y   ， 综上所述，所求直线的方程为3 0x y  或 2 0x y   . （2）由题意知，直线在 x 轴， y 轴上的截距分别为 2 1 a a   、 2a  ，  1 2 2 12 1 a aa     ， 解得 3 7a   . 18.在平面直角坐标系 xoy 中，已知中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 C 的离心率为 2 ， 且双曲线 C 与斜率为 2 的直线 l 相交，且其中一个交点为 P（﹣3，0）． （1）求双曲线 C 的方程及它的渐近线方程； （2）求以直线 l 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程． 【答案】（1） 2 2 19 9 x y  ， y x  ；（2）y2=﹣12x，x2=24y. 试题解析：（1）由题意，设双曲线的方程为   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     ，∵点 P（﹣3，0）在 - 11 - 双曲线上，∴a=3．∵双曲线 C 的离心率为： 2 ，∴ 3 2c  ，∵c2=a2+b2，∴b=3，∴双曲 线的方程为： 2 2 19 9 x y  ，其渐近线方程为：y=±x． （2）由题意，直线 l 的方程为 y=2（x+3），即 y=2x+6，直线 l 与坐标轴交点分别为 F1（﹣3，0），F2（0,6）， ∴以 F1 为焦点的抛物线的标准方程为 y2=﹣12x； 以 F2 为焦点的抛物线的标准方程为 x2=24y. 19．已知抛物线 E：x2=2py（p＞0）的焦点为 F，直线 x=2 与 x 轴的交点为 M，与抛物线 E 的 交点为 N，且 4|FN|=5|MN|． （1）求 p 的值； （2）若直线 y=kx+2 与 E 交于 A，B 两点，C（0，-2），记直线 CA，CB 的斜率分别为 k1，k2， 求证：k12+k22-2k2 为定值． 【答案】（1）P=1；（2）见解析 【详解】 （1）设 N（2，y0），代入 x2=2py，得 0 2y p  ，而 M（2，0），则 2MN p  ．又 pF 0 2      ， ， 0 p 2 pNF y 2 p 2     ，由 4|FN|=5|MN|，得 8 102pp p   ，则 p=1， （2）设点 A（x1，y1）、B（x2，y2），由 2x 2y y kx 2      ，得 x2-2kx-4=0． 由韦达定理可得 x1+x2=2k，x1x2=-4．△=4k2+16＞0， 2 2 2 21 2 1 2 1 2 y 2 y 2k k ( ) ( )x x     = 2 2 1 2 2 2 1 2 (kx 4) (kx 4) x x   = 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 k x 8kx 16 k x 8kx 16 x x     = 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 12k 8k 16x x x x               =   2 1 22 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 8k x x (x x ) 2x x2k 16x x x x      =2k2-4k2+4k2+8=2k2+8， 因此， 2 2 2 1 2k k 2k 8   ． 20．已知直线 : ( 1) 2 5 3 0( )l k x y k k R      恒过定点 P ，圆C 经过点 (4,0)A 和点 P ， 且圆心在直线 - 2 1 0x y   上. （1）求定点 P 的坐标与圆C 的标准方程； （2）已知点 P 为圆C 直径的一个端点，若另一个端点为点 Q ，问：在 y 轴上是否存在一点 (0, )M m ，使得 PMQ 为直角三角形，若存在，求出 m 的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） (3,1) ， 2 2( 7) ( 4) 25x y    ；（2）存在， 5m  或 65 3 . 【详解】 （1）由 ( 1) 2 5 3 0k x y k     得， ( 3) ( 2 5) 0k x x y     ， 令 3 0 2 5 0 x x y       ，得 3 1 x y    ，即定点 P 的坐标为 (3,1) . 设圆C 的方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ， - 12 - 由条件得 16 4 0 9 1 3 0 2 1 02 2 D F D E F D E                          ，解得 14 8 40 D E F        . 所以圆C 的方程为 2 2 14 8 40 0x y x y     , 所以化为标准方程为 2 2( 7) ( 4) 25x y    . （2）设点 (3,1)P 关于圆心 (7,4) 的对称点为 0 0,x y ，则有 0 0 3 14 1 8 x y      ，解得 0 11x  ， 0 7y  ，故点Q 的坐标为 (11,7) . 因为 M 在圆外，所以点 M 不能作为直角三角形的顶点， 若点 P 为直角三角形的顶点，因为 4 1 3 7 3 4CPk   则有 1 3 1, 50 3 4 m m     ， 若点Q 是直角三角形的顶点，则有 7 3 651,0 11 4 3 m m     ， 综上， 5m  或 65 3 . 21．已知椭圆 的中心在原点，焦点在轴，焦距为 2，且长轴长是短轴长的 倍． （1）求椭圆 的标准方程； （2）设 ，过椭圆 左焦点 的直线交 于 、 两点，若对满足条件的任意直线，不等式 （ ）恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2）的最小值为 （ ）恒成立，只需 ，即的最小值为 ． 试题解析：（1）依题意， ， ， 解得 ， ，∴椭圆 的标准方程为 ． （2）设 ， ，所以 ， 当直线垂直于轴时， ， 且 ，此时 ， ， 所以 ． 当直线不垂直于轴时，设直线： ， 由 整理得 ， 所以 ， ， - 13 - 所以 ． 要使不等式 （ ）恒成立，只需 ，即的最小值为 ． 22．已知 F 为抛物线  2 1 : 2 0 1C y px p   的焦点，E 为圆  2 2 2 : 4 1C x y   上任意点， 且 EF 最大值为 19 4 . （1）求抛物线 1C 的方程； （2）若   0 0 0, 2 4M x y y  在抛物线 1C 上，过 M 作圆 2C 的两条切线交抛物线 1C 于 A 、 B (A、B 异于点 M），求 AB 中点 D 的纵坐标的取值范围. 【答案】（1） 2y x ；（2） 42, 5      . 【详解】 （1）抛物线 1C 的焦点为 ,02 pF      ，圆 2C 的圆心为  2 4,0C ，半径为1， 所以， 2max 191 4 12 4 pEF FC      ， 0 1p  ，解得 1 2p  ， 因此，抛物线 1C 的方程为 2y x ；   ，即在时当两条切线的斜率都存 ；得 ，的方程：，得由 ）即（的方程：设 ），，（的斜率不存在，则不妨设 ），（时，则，另一条切线斜率存在当一条切线斜率不存在 5y, 4 53-y2 5-y5-x5 52y 5-x5 52y5 52k1 1 554 d ,0555-xk5-y 5-5 55 16,4)2( 0 2 2 2 00              DB xy MB k kk kykxMB AMA M yx - 14 - 设点  1 1,A x y 、  2 2,B x y ， 设过点 M 的圆 2C 的切线方程为  2 0 0y y k x y   ，则  2 0 0 2 4 1 1 y k y k     ， 整理得   4 2 2 2 2 0 0 0 0 08 15 2 4 1 0y y k y y k y       ， 设两切线的斜率分别为 1k 、  2 1 2k k k ，则 1k 、 2k 是上述方程的两根， 由韦达定理得     2 0 0 1 2 4 2 0 0 2 4 8 15 y y k k y y      ， 2 0 1 2 4 2 0 0 1 8 15 yk k y y    ， 将方程  2 0 0y y k x y   代入抛物线 2C 的方程得  2 2 0 0y y k y y   ， 整理得  0 0 1 0y y ky ky    ，所以， 1 0 1 1y yk   ， 2 0 2 1y yk   ， 线段 AB 中点 D 的纵坐标为 0 01 2 1 2 1 2 0 2 1 2 0 0 0 1 1 2 3 3 12 2 2 1 y yy y k k k ky yk k y y y            )5( 0 y ， 函数   1f x x x   在区间   4,55,2  上为增函数， .5 4)(4 53 4 53)(2 ,4 15)(5 54 5 54)(2 3   xfxf xfxf 或 或 因此，线段 AB 的中点 D 的纵坐标的取值范围是 42, 5      .