2020-2021学年湖北省鄂州高中、鄂南高中高二上学期10月联考数学试题（解析版）

第 1 页 共 18 页 2020-2021 学年湖北省鄂州高中、鄂南高中高二上学期 10 月 联考数学试题 一、单选题 1．已知直线 6 3 2 0x y   的倾斜角为 ，则 2sin 2 2cos   （ ） A． 2 5  B． 4 5  C． 12 5  D． 2 5 【答案】D 【解析】由已知条件可得 2tan  ，而 2 2 2 2 2sin cos 2cossin 2 2cos sin cos          2 2tan 2 tan 1     ，从而可求得结果 【详解】 解：因为直线 6 3 2 0x y   的倾斜角为 ， 所以 2tan  ，所以 cos 0  ， 所以 2 2 2 2 2sin cos 2cossin 2 2cos sin cos          2 2tan 2 tan 1     2 2 2 2 2 2 1 5    ， 故选：D 【点睛】 此题考查直线的倾斜角和斜率的关系，考查正弦的二倍角公式的应用，考查同角三角函 数的关系，属于基础题 2．已知向量 a 与b 的夹角为 45°，| | 2,| | 2a b  ，当 (2 )b a b   时，实数  为 （ ） A．1 B．2 C． 1 2 D． 1 2  【答案】B 【解析】由向量垂直得向量的数量积为 0，根据数量积的运算律计算可得． 【详解】 ∵ (2 )b a b   ，∴ 22 (2 ) 2 2 cos45 0b a b a b b a b b                ， 第 2 页 共 18 页 ∴ 22 22 cos45 2 2 2 a b         ． 故选：B． 【点睛】 本题考查向量垂直的数量积表示，考查数量积的运算律，属于基础题． 3．若圆 2 2: 9C x y  上恰有 3 个点到直线 : 0( 0)l x y b b    的距离为 2， 1 : 3 2 0l x y   ，则l 与 1l 间的距离为（ ） A．1 B． 2 C．3 D．2 【答案】D 【解析】由直线和圆位置关系知，与直线l 距离为 2 的两条平行线中一条与圆相交，一 条与圆相切，从而可得圆心到直线 l 的距离，由此求得直线 l 的方程，再由平行线间距 离公式求解． 【详解】 ∵圆 2 2: 9C x y  上恰有 3 个点到直线 : 0( 0)l x y b b    的距离为 2，圆的半径 为 3， ∴与直线l 距离为 2 的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切，则圆心 (0,0)C 到直 线 l 的距离为 1，∴ 1 2 b  ，∵ 0b  ，∴ 2b  ，即直线 l 方程为 2 0x y   ， ∴ l 与 1l 间的距离为 2 3 2 2 2 d    ． 故选：D． 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，考查两平行线间的距离公式，用圆心到直线的距离判断 直线与圆的位置关系是常用方法． 4．已知椭圆 2 2 125 9 x y  的左右焦点为 1 2,F F ，点 P 在椭圆上，则 1 2PF PF 的最大值 是（ ） A．9 B．16 C．25 D．27 【答案】C 第 3 页 共 18 页 【解析】由椭圆定义得 1 2PF PF ，然后由基本不等式可得结论． 【详解】 由题意 5a  ， 1 2 2 10PF PF a   ， 2 2 1 2 1 2 10 252 2 PF PFPF PF             ，当且仅当 1 2 5PF PF  时等号成立， 故选：C． 【点睛】 本题考查椭圆的定义，考查基本不等式求最值．掌握椭圆的定义是解题基础． 5．已知 2sin 3 3       ，则sin 26       （ ） A． 1 9 B． 1 9  C． 1 9  D． 8 9  【答案】B 【解析】由余弦的二倍角公式求得 2cos 2 3     ，再由诱导公式可得． 【详解】 由题意 2 22 2 1cos 2 1 2sin 1 23 3 3 9                          ， 又 2cos 2 cos 2 sin 23 6 2 6                               ，∴ 1sin 2 6 9       ． 故选：B． 【点睛】 本题考查二倍角公式，诱导公式，解题关键是寻找到“已知角”和“未知角”的关系， 确定先用的公式与顺序，从而正确快速求解． 6．已知半径为 2 的圆经过点 (4,3) ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】设圆心坐标得圆的圆心轨迹方程，再利用点与点的距离公式求解 【详解】 半径为2的圆经过点（3，4），设圆心坐标为 ,a b 则圆的方程为   2 23 + 4 =4a b  ， 可得该圆的圆心轨迹为（3，4）为圆心，2 为半径的圆， 第 4 页 共 18 页 故圆心到原点的距离的最小值为（3，4）到原点的距离减半径， 即 2 23 4 2 3   故选：A． 【点睛】 本题考查了圆的轨迹方程，考查圆上的点到定点的距离得最值，是一道常规题． 7．已知O 为三角形 ABC 所在平面内一点，2 0OA OB OC      ，则 OBC ABC S S   （ ） A． 1 3 B． 1 4 C． 1 2 D． 1 5 【答案】C 【解析】取 BC 边中点 D ，由已知得 2 2OB OC OD AO      ，即O 是 AD 的中点， 可得到答案. 【详解】 取 BC 边中点 D ，连接 AD ，由 2 0OA OB OC      ，得 2 2OB OC OD AO      ，所以OD AO  ，所以O 是 AD 的中点， OBC 与 ABC 有相同的底边 BC ，它们的高之比即为 OD 与 AD 的比为 1 2 ， 1 2 OBC ABC S S    故选：C. 【点睛】 向量的加减运算是解决问题的关键，要正确分析. 8．如图，要测量电视塔 AB 的高度，在C 点测得塔顶 A 的仰角是 4  ，在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 6  ，水平面上的 , 40m3BCD CD   ，则电视塔 AB 的高度为（ ） m 第 5 页 共 18 页 A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】A 【解析】设电视塔高为 h ，表示出 ,BD BC 后由余弦定理列式可求得 h ． 【详解】 设 AB h ，则间 tan 4 hBC h  ， 3 tan 6 hBD h  ， 在 BCD 中， , 40m3BCD CD   ， 则 2 2 2 2 cosBD CB CD CB D BCD     ， 即 2 2 2 2 2 13 40 2 40 cos 40 803 2h h h h h         ，解得 20h  （ 40 舍去）． 故选：A． 【点睛】 本题考查解三角形的应用，根据已知条件选择恰当的公式求解是解题关键． 二、多选题 9．下列说法正确的是（ ） A．平面内到两个定点 1 2,F F 的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆； B．在 ABC 中，角 、 、A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 A B 则 a b ； C．若数列 na 为等比数列，则 1n na a  也为等比数列； D．垂直于同一个平面的两条直线平行． 【答案】BD 【解析】分别根据椭圆的定义，三角形的边角关系，等比数列的定义，线面垂直的性质 定理判断． 【详解】 第 6 页 共 18 页 若距离之和等于 1 2F F ，则轨迹是线段 1 2F F ，不是椭圆，A 错； 三角形中大边对大角，大角对大边，B 正确； { }na 的公比 1q   时， 1 0n na a   ， 1n na a  不是等比数列，C 错； 由线面垂直的性质定理知 D 正确． 故选：BD． 【点睛】 本题考查命题的真假判断，需要掌握椭圆的定义，三角形的边角关系，等比数列的定义， 线面垂直的性质定理等知识，考查知识面较广，属于基础题． 10．下列命题中的真命题有（ ） A．已知 ,a b 是实数，则“ 1 1 3 3 a b          ”是“ 3 3log loga b ”的充分而不必要条件； B．已知命题 : 0p x  ，总有 ( 1) 1xx e  ，则 0: 0p x   ，使得 0 1 1xx e  C．设 ,  是两个不同的平面，m 是直线且 m  ．“ / /m  ”是“ / /  ”的必要而不 充分条件； D．“ 2 0 0,2xx R x   ”的否定为“ 2, 2xx R x   ” 【答案】CD 【解析】根据全称命题、特称命题的否定的判定，充分不必要条件、必要不充分条件的 判断逐项排除. 【详解】 ,a b 是实数，由 1 1 3 3 a b          得 a b ，由 3 3log loga b 得 0a b  ， 所以错误； B. 命题 : 0p x  ，总有 ( 1) 1xx e  ，则 0: 0p x   ，使得  0 1 1xx e  ，所以错 误； C. 设 ,  是两个不同的平面，m 是直线且 m  ．“ / /m  ”是“ / /  ”的必要而不充 分条件，正确； D. “ 2 0 0,2xx R x   ”的否定为“ 2, 2xx R x   ”，正确， 故选：CD. 【点睛】 第 7 页 共 18 页 本题考查了全称命题、特称命题的否定，充分不必要条件、必要不充分条件的判断. 11．已知数列 na 的前 n 项和为 nS 且满足 1 1 13 0( 2), 3n n na S S n a    ，下列命题中 正确的是（ ） A． 1 nS       是等差数列 B． 1 3nS n  C． 1 3 ( 1)na n n    D． 3nS 是等比数列 【答案】ABD 【解析】由 1( 2)n n na S S n   代入已知式，可得{ }nS 的递推式，变形后可证 1 nS       是 等差数列，从而可求得 nS ，利用 nS 求出 na ，并确定 3nS 的表达式，判断 D． 【详解】 因为 1( 2)n n na S S n   ， 1 13 0n n n nS S S S    ，所以 1 1 1 3 n nS S    ， 所以 1 nS       是等差数列，A 正确； 公差为 3，又 1 1 1 1 3S a   ，所以 1 3 3( 1) 3 n n nS     ， 1 3nS n  ．B 正确； 2n  时，由 1n n na S S   求得 1 3 ( 1)na n n   ，但 1 3a  不适合此表达式，因此 C 错； 由 1 3nS n  得 13 1 1 3 3 3n n nS   ，∴ 3nS 是等比数列，D 正确． 故选：ABD． 【点睛】 本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由 1( 2)n n na S S n   ，化已知等式为{ }nS 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列． 12．己知正三棱锥 P ABC 的底面边长为 1，点 P 到底面 ABC 的距离为 2 ，则（ ） A．该三棱锥的内切球半径为 2 6 B．该三棱锥外接球半径为 7 2 12 C．该三棱锥体积为 2 12 D． AB 与 PC 所成的角为 2  第 8 页 共 18 页 【答案】ABD 【解析】【详解】 如图， PM 是棱锥的高，则 M 是 ABC 的中心， D 是 AB 中点， 23 314 4ABCS   △ ， 1 1 3 623 3 4 12P ABC ABCV S PM      △ ，C 错； 1 3 313 2 6DM     ， 2 2 3 5 3( 2) 6 6PD        ， 3 3CM  ． 1 2PBCS BC PD  △ 1 5 3 5 312 6 12     ， 所以 5 3 3 3 33 3 12 4 2PBC ABCS S S     △ △ ， 设内切球半径为 r ，则 1 3 P ABCSr V  ， 63 212 63 3 2 r    ，A 正确； 易知外接球球心在高 PM 上，球心为O ，设外接球半径为 R ， 则  2 2 232 3R R        ，解得 7 2 12R  ，B 正确； 由 PM  平面 ABC ，AB Ì平面 ABC 得 PM AB ，又CD AB ，CD PM M ， 所以 AB  平面 PCD， PC  平面 PCD，所以 AB PC ，所以 AB 与 PC 所成的角 为 2  ，D 正确． 故选：ABD． 【点睛】 本题考查正棱锥的性质，考查棱锥的体积，内切球与外接球问题，异面直线所成的角， 第 9 页 共 18 页 掌握正棱锥的性质是解题关键． 三、填空题 13．已知等差数列 na 前 n 项和 nS ，且 2019 20200, 0S S  ，若 1 0k ka a   ，则 k 的 值为________ 【答案】1010 【解析】利用等差数列的性质与前 n 项和公式求解． 【详解】 1 2019 2019 2019( ) 02 a aS   ，则 1 2019 0a a  ， 1 2019 10102 0a a a   ，∴ 1010 0a  ， 1 2020 2020 2020( ) 02 a aS   ，则 1 2020 0a a  ，∴ 1 2020 1010 1011 0a a a a    ， ∴ 1011 0a  ，由等差数列的性质知数列前1010项为正，从第 1011 项起均为负， ∴满足 1 0k ka a   的 1010k  ． 故答案为：1010． 【点睛】 本题考查等差数列的性质、等差数列的前 n 项和公式，掌握等差数列性质是解题关键． 14．已知 tan ,tan  为方程 2 5 3 6 0x x   的两根，且 , ,2 2         ，则    ________ 【答案】 2 3  【解析】应用韦达定理后，求得 tan( )  ，再确定  的范围后可得． 【详解】 由题意 tan tan 5 3 tan tan 6          ，∴ tan ,tan  均为负数，即 , ,02        ， ( ,0)    ， 又 tan tan 5 3tan( ) 31 tan tan 1 6            ， ∴ 2 3      ． 故答案为： 2 3  ． 第 10 页 共 18 页 【点睛】 本题考查两角和的正切公式，求角问题的解题方法与步骤：（1）确定角的范围（可能需 要通过三角函数值缩小范围）；（2）求出角的某个三角函数值，（3）得结论． 15．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，棱长为 2，M 为 AB 的中点，则异面直线 1B M 与 1A D 所成角的余弦值是____________ 【答案】 10 5 【解析】连接 1 ,B C CM ，证明 1MB C （或其补角）为所求异面直线所成的角，在三 角形中应用余弦定理求解． 【详解】 如图，连接 1 ,B C CM ，正方体中 1 1A B 与 CD 平行且相等，∴ 1 1A B CD 是平行四边形， ∴ 1 1/ /B C A D ，∴异面直线 1B M 与 1A D 所成角为 1MB C （或其补角）， 1BCM△ 中，∵ M 是 AB 中点，∴ 1 5MC MB  ， 1 2 2B C ， 2 2 2 1 ( 5) (2 2) ( 5) 10cos 52 5 2 2 MB C       ． 故答案为： 10 5 ． 【点睛】 本题考查求异面直线所成的角，解题方法是作出异面直线所成的角并证明，然后解三角 形可得．三个步骤：一作二证三计算． 16．已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直 第 11 页 共 18 页 线交椭圆于 A B、 两点，且 OA OB  与 (4, 2)a   共线，则椭圆的离心率 e _______ 【答案】 2 2 【解析】把直线方程 y x c  代入椭圆方程，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由韦达定理得 1 2x x ，求OA OB  ，由 OA OB  与 (4, 2)a   共线，可得 , ,a b c 的等量关系，化简 变形后可求得离心率 e ． 【详解】 设椭圆方程是 2 2 2 2 1x y a b   ，右焦点为 2 ( ,0)F c ，直线l 方程为 y x c  ，代入椭圆方 程并整理得： 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0a b x a cx a c a b     ， 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 2 1 2 2 2 2a cx x a b    ，又 2 1 2 1 2 2 2 22 cby y x x c a b        ， ∵ 1 2 1 2( , )OA OB x x y y     与 (4, 2)a   共线， ∴ 1 2 1 2 4 2 x x y y   ，∴ 2 2 2 2 2 2 2a c cb a b a b   ，∴ 2 2 2 22 2( )a b a c   ， 2 22a c ， ∴ 2 2 ce a   ． 故答案为： 2 2 ． 【点睛】 本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于 , ,a b c 的等量关系．本题中直线方程代 入椭圆方程整理后应用韦达定理求出 1 2x x ，然后表示出 OA OB  ，由OA OB  与 (4, 2)a   共线，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能 力．属于中档题． 四、解答题 17．在 ABC 中，它的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，  2 2 23 , 3 312ABCS a b c ac    且sin 3 sinA B= 第 12 页 共 18 页 （1）求角C 的大小； （2）求 c 边的长． 【答案】（1） 6  ；（2） 3c  . 【解析】（1）已知三角形面积结合余弦定理可求得 tanC ，从而得C 角； （2）由正弦定理化角为边，再由余弦定理得 2 2 2 2 cosc a b ab C   ，两者结合可得 b c ，求出 A 角后，由余弦定理得 3a c ，从而可求得 c ． 【详解】 解：（1）由  2 2 23 12ABCS a b c   得 1 3sin 2 cos2 12ab C ab C  3tan 3C  又 (0, ) 6C C    （2）由sin 3 sinA B= 及正弦定理得 3a b= ， 由余弦定理得 2 2 2 2 2 32 cos ( 3 ) 2 3 2c a b ab C b b b b         b c  ，所以 6B C   ， 2 3A  ， 由正弦定理 sin sin a c A C  ，得 2sin 3 3 sin 6 c a c    ， 23 3 3ac c  ，所以 3c  ． 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理，考查运算求解能力．基础题． 18．已知四棱锥 S ABCD 的底面为正方形， SA  面 ABCD ， E 为 SC 上的一点， （1）求证：面 EBD 面 SAC （2）若 2, 1SA AB  ，求 SA 与平面 SBD 所成角的正弦值． 第 13 页 共 18 页 【答案】（1）证明见解析；（2） 1 3 . 【解析】（1）由 BD AC 以及 SA BD 可得 BD  面 SAC ，再根据面面垂直的判定 定理即可证出； （2）设 SA 与平面 SBD 所成角为 ，用等积法可求出点 A 到面 SBD 的距离为 d ，根 据 sin d SA   即可解出． 【详解】 （1）∵底面 ABCD 为正方形，∴ BD AC ， 又∵ SA  面 ABCD ，∴ SA BD ，而 SA AC A  ∴ BD  面 SAC ， BD  面 EBD ，故面 EBD 面 SAC ． （2）设 A 到面 SBD 的距离为 d ． ∵ S ABD A SBDV V  ，∴ 1 1 1 1 12 1 1 2 43 2 3 2 2d          ∴ 2 3d  ．设 SA与面 SBD 所成的角为 ，∴ 2 13sin 2 3 d SA     ． 【点睛】 本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理的应用，以及利用等积法求斜线与平面所 成角，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于基础题． 19．已知数列 na 中，  * 1 11, 4 n n n aa a n Na   ， （1）求证： 1 1 3na      是等比数列，并求 na 的通项公式； （2）数列 nb 中，   *4 12 n n n n nb a n N  ，求数列 nb 的前 n 项和 nS ． 【答案】（1）证明见解析， 3 4 1n na   ；（2）  16 (3 6) 2n ns n n N     . 【解析】（1）根据等比数列的定义证明，由等比数列通项公式可得 na ； （2）求出 nb ，用错位相减法求和 nS ． 【详解】 解： 第 14 页 共 18 页 （1） 1 4 n n n aa a   ， 1 41 4 11 4 1n n n n n a a a a a        ， 1 1 14 n na a           ， 1 3   ， 1 1 1 1 143 3n na a         ， 1 1 1 4 03 3a    ， 1 1 3na       是以 4 3 为首项，4 为公比的等比数列，  11 1 4 1 14 4 13 3 3 n n n na a        ， ∴ 3 4 1n na   ． （2）   34 12 2 n n n n n n nb a   ， 2 1 1 13 6 32 2 2nnS n       ① 2 3 1 1 1 1 13 6 32 2 2 2n nS n        ② ① ② 得 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 33 3 3 3 32 2 2 2 2 2 2 2 n n n n nS n                             16 (3 6) 2n nS n n N     【点睛】 本题考查等比数列的证明与通项公式，考查错位相减法求和．数列求和有几种常用方法： 公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法． 20．有一堆规格相同的铁制（铁的密度为 37.8g / cm ）六角螺帽共重 6kg ，已知该种规 格的螺帽底面是正六边形，边长是12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ， 第 15 页 共 18 页 （1）求一个六角螺帽的体积；（精确到 30.001cm ） （2）问这堆六角螺帽大约有多少个？ （参考数据： 3.14, 3 1.73,2.952 7.8 23,1.083 7.8 8.45       ） 【答案】（1）  32.952 cm ；（2）261 个. 【解析】（1）利用六棱柱的体积减去圆柱的体积即得解； （2）计算 6 1000 (7.8 2.952)   即得解. 【详解】 （1）由题得 2 23 10(12) 6 10 3.14 104 2V           3736.8 785     3 32951.8 2952 mm 2.952 cm   （2）这堆螺帽的个数为： 6 1000 (7.8 2.952) 261    （个） 答：每个螺帽的体积为 32.952cm ，共有 261 个螺帽. 【点睛】 本题主要考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．已知圆 2 2: 4 2 3 0C x y x y     和圆外一点 (0, 8)M  ， （1）过点 M 作一条直线与圆C 交于 ,A B 两点，且| | 4AB  ，求直线 AB 的方程； （2）过点 M 作圆C 的切线，切点为 ,E F ，求 EF 所在的直线方程． 【答案】（1） 0x  或 45 28 224 0x y   ；（2） 2 7 11 0x y   . 第 16 页 共 18 页 【解析】（1）斜率存在时，设出直线方程 8y kx  ，求出圆心到直线的距离，由垂径 定理可得 k ，得直线方程，检验直线斜率不存在时，弦长为 4，符合题意； （2）求出以CM 为直径的圆的方程，此圆与圆C 的交线即为弦 EF 所在直线．两圆方 程相减得即． 【详解】 （1）圆 2 2:( 2) ( 1) 8C x y    ，则圆心 (2, 1)C  ，半径 2 2r  ， ①若直线 AB 的斜率存在，设直线 : 8AB y kx  ， 即 2 2 2 | 2 1 8| 458 0, (2 2) 2 ,281 kkx y d k k           此时，直线 AB 方程为 45 8 028 x y   ； ②若直线 AB 的斜率不存在，则直线 : 0AB x  ，代入 2 2 3 0y y   得 1 21, 3y y   ， 此时 AB 4 ，合乎题意. 综上所求直线 AB 的方程为： 0x  或 45 28 224 0x y   ； （2）以CM 为直径的圆的方程     2 1 8 0x x y y     ， 即： 2 2 2 9 8 0x y x y     ，①； 2 2 4 2 3 0x y x y     ，②. ①  ②得 2 7 11 0x y   ，因此，直线 EF 的方程为 2 7 11 0x y   . 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，考查求切点弦所在直线方程，垂径定理，属于中等题．掌 握切点弦的性质是解题关键． 22．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     ．离心率为 1 2 ，点 (0,2)G 与椭圆的左、右顶 点可以构成等腰直角三角形． 第 17 页 共 18 页 （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线 y kx m  与椭圆C 交于 ,M N 两点，O 为坐标原点直线 ,OM ON 的斜率 之积等于 3 4  ，试探求 OMN 的面积是否为定值，并说明理由． 【答案】（1） 2 2 14 3 x y  ；（2）是定值，理由见解析. 【解析】（1）由题意有 1 2 ce a   ，点 (0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角 三角形有 2a  ，即可写出椭圆方程；（2）直线 y kx m  与椭圆C 交于    1 1 2 2, , ,M x y N x y 两点，联立方程结合韦达定理即有   1 2 2 2 1 2 2 8km 3 4 4 m 3 3 4 x x k x x k        ，已知 3 4OM ONk k   应用点线距离公式、三角形面积公式即可说明 OMN 的面积是否为定 值； 【详解】 （1）椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     离心率为 1 2 ，即 1 2 ce a   ， ∵点 (0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形， ∴ 2a  ， 综上有： 1c  ， 3b  ，故椭圆方程为 2 2 14 3 x y  ， （2）由直线与椭圆交于 ,M N 两点，联立方程： 2 2 14 3 y kx m x y     ，整理得   2 2 23 4 8 4 3 0k x kmx m     ， 设    1 1 2 2, , ,M x y N x y ，则          2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 8 16 3 4 3 48 4 3 0 8{ 3 4 4 3 3 4 km k m k m kmx x k m x x k                ， 第 18 页 共 18 页     2 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 OM ON kx m kx m k x x mk x x my yk k x x x x x x                  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 m 3 8 3 4 3 4 3 44 3 4 3 k k m m k m k m m            ， 2 22 4 3m k   ， 2 2 2 2 2 1 2 2 2 4 34 3 4 3 m1 · 1 · 1 ·3 4 2 mkMN k x x k kk m         ， 原点O 到 l 的距离 2 | | 1 md k   ， 2 2 2 4 31 1 32 2 2 1OMN MN m mS d k m k          为定值； 【点睛】 本题考查了由离心率求椭圆方程，根据直线与椭圆的相交关系证明交点与原点构成的三 角形面积是否为定值的问题.