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广东省 2020-2021 学年高二上学期 10 月 29 日限时训练
数学试题
一、单选题
1．圆 x2＋y2－2x＋4y＝0 与直线 2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
2．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1 的两条切线，切点分别为 A、B，则直线 AB 的方程为
( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
3．已知圆 C：x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0 和定点 A(1,2)，要使过点 A 的圆 C 的切线有两条，
则实数 a 的取值范围是( )
A．(－2 3
3
，2 3
3 ) B．(－ 3
3
， 3
3 )
C．(－∞，＋∞) D．(0，＋∞)
4．设点 P 是函数 y＝－ 4－x－12图象上的任意一点，点 Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的
最小值为( )
A．8 5
5
－2 B． 5
C． 5－2 D．7 5
5
－2
二、多选题
5．以下四个命题表述正确的是
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有 3 个点到直线的距离都等于 1
C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则
D. 已知圆，点 P 为直线上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 PA、PB，A、B 为切点，则
直线 AB 经过定点
6.已知圆，圆，则两圆的公切线方程为
A. B.
2
C. D.
三、填空题
7．直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＋2y－3＝0 交于 A，B 两点，则|AB|＝________．
8．过点 C( 2，0)引直线 l 与曲线 y＝ 1－x2相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB
的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于________．
四、解答题
9．已知圆 C 经过点 A(2，－1)，和直线 x＋y＝1 相切，且圆心在直线 y＝－2x 上．
(1)求圆 C 的方程；
(2)已知直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程．
10. 已知圆 C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0 与直线 l：x＋2y－3＝0.
(1)若直线 l 与圆 C 没有公共点，求 m 的取值范围；
(2)若直线 l 与圆 C 相交于 P、Q 两点，O 为原点，且 OP⊥OQ，求实数 m 的值．
3
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8
C A A C BCD ABCD 2 2 － 3
3
9．
[解] (1)设圆心的坐标为 C(a，－2a)， …………………2 分
则 （a－2）2＋（－2a＋1）2＝|a－2a－1|
2
.
化简，得 a2－2a＋1＝0，解得 a＝1.所以 C 点坐标为(1，－2)，………5 分
半径 r＝|AC|＝ （1－2）2＋（－2＋1）2＝ 2. …………………7 分
故圆 C 的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2. …………………9 分
(2)①当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝0，此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2，满足条
件． ………………13 分
②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx，
由题意得 |k＋2|
1＋k2
＝1，解得 k＝－3
4
， 则直线 l 的方程为 y＝－3
4x ……16 分
综上所述，直线 l 的方程为 x＝0 或 3x＋4y＝0. ………18 分
10.[解析] (1)将圆的方程配方，得(x＋1
2)2＋(y－3)2＝37－4m
4
，
故有37－4m
4
>0，解得 m0 成立，∴m＝3. ……………18 分
二、多选题
6．解：由得，
因此圆的圆心为，半径．由得，因此圆的圆心为，半径．
对于 A、因为到直线的距离为 1，所以直线是圆的切线．
又因为到直线的距离为 3，所以直线是圆的切线．
综上所述，直线是圆和圆的公切线，因此 A 正确；
对于 B、因为到直线的距离为，
所以直线是圆的切线．又因为到直线的距离为，所以直线是圆的切线．综上所述，直线是圆和圆的公切线，
因此 B 正确；
对于 C、因为到直线的距离为 1，所以直线是圆的切线．
又因为到直线的距离为 3，所以直线是圆的切线．
综上所述，直线是圆和圆的公切线，因此 C 正确；
对于 D、因为到直线的距离为，
所以直线是圆的切线．又因为到直线的距离为，
所以直线是圆的切线．综上所述，直线是圆和圆的公切线，因此 D 正确．
故选 ABCD．
8．[解析] 由于 y＝ 1－x2与 l 交于 A、B 两点，∴OA＝OB＝1，∴S△AOB＝1
2OA·OBsin∠AOB≤1
2
，且当∠
AOB＝π
2
时，S△AOB 取到最大值，此时 AB＝ 2，点 O 到直线 l 的距离 d＝ 2
2
，∴∠OCB＝π
6
，∴直线 l 的斜
率 k＝tan(π－π
6)＝－ 3
3
，
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