2020-2021学年安徽省蚌埠第三中学高二上学期期中考试数学试题 word版

1 安徽省蚌埠第三中学 2020-2021 学年高二上学期期中考试数学试题 考试时间：120 分钟 试卷分值：150 分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分，将答案填在题后的表格中） 1. 如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是( ) A. 棱柱 B. 棱台 C. 圆锥 D. 圆柱 2. 若空间两个角 与 的两边对应平行，当 ㌳䁠 时，则 等于( ) A. 䁠 B. 䁠 或 ′䁠 C. ㌳䁠 D. ㌳䁠 或 ′䁠3. 已知一个正三棱锥的高为 3，如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置 的直观图，其中 ̵̵ ̵ൌ̵ ，则此三棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 4. 已知三角形的三个顶点 y′sr ， ys ㌳r ， ൌys′r ，则过 A 点的中线长为( ) A. 䁠 B. ′ 䁠 C. ′ D. 䁠5. 已知某几何体的三视图如图所示，其正视图与侧视图都是边长为 1 的正三角形，俯视图为正方形，则 该几何体的表面积是( ) A. 1 B. 2 C. D. 3 6. 设 l，m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是( ) A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 ᦙᦙC. 若 ᦙᦙ ， ，则 ᦙᦙ D. 若 ᦙᦙ ， ᦙᦙ ，则 ᦙᦙ7. 已知点 yܽs′ryܽ 䁠r 到直线 䁠 的距离为 1，则 a 的值为( ) A. ′ B. ′ ′ C. ′ D. ′ 8. 下列命题是公理的是( ) A. 平行于同一个平面的两个平面互相平行 B. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 D. 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 9. 如果两个球的体积之比为 ′ ，那么两个球的表面积之比为( ) 2 A. ′ B. ′ C. D. ′ 10. 已知直线 l 过点 y s r ， y′sr 两点，若直线 l 的倾斜角是 ′ ，则 ( ) A. ′ B. 0 C. ′ D. 11. 如图所示，在正方体 ൌܥ ൌܥ 中，E，F 分别是 ， ൌ 的中点， 则异面直线 EF 与 ൌܥ 所成的角为( ) A. 䁠 B. C. ㌳䁠 D. 䁠12. 若圆心坐标为 y′s r 的圆被直线 䁠 截得的弦长为 ′ ′ ，则圆的方 程为( ) A. y ′r ′ y r ′ B. y ′r ′ y r ′ ′C. y ′r ′ y r ′ D. y ′r ′ y r ′ ㌳题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13. 直线 䁠 的倾斜角为______． 14. 用一个平面去截半径为 5cm 的球，截面面积是 ′ . 则球心到截面的距离为_______cm． 15. 已知直线 ： ܽ ܽ 䁠 ， ′ ： y′ܽ r ܽ ܽ 䁠 ，互相平行，则 a 的值是______． 16. 如图所示，在三棱锥 ൌܥ 中，E，F，G，H 分别是棱 AB，BC，CD，DA 的中点，则当 AC，BD 满足条件______时，四边形 EFGH 是正方形． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. （10 分）如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO 底面 ABCD，E 是 PC 的中点。求证： yrሻᦙᦙ 平面 BDE y′r 平面 PAC 平面 BDE 3 18.（10 分）已知直线 l 的方程为 䁠 . yr 求过点 y ′s′r 且与直线 l 垂直的直线方程； y′r 求与直线 l 平行且距离为 2 的直线方程． 19.（12 分）如图，在正三棱柱 ൌ ൌ 中，点 D 在边 BC 上， ܥ ൌܥ ． yr 求证： ܥ 平面 ൌൌ y′r 若点 E 为 ൌ 的中点，求证：平面 ᦙᦙ 平面 ܥൌ . 20.（12 分）已知圆 C 经过 ys′r 、 ys㌳r ，且圆心在直线 ′ 上． (1) 求圆 C 的方程． y′r 若直线 l 经过点 ሻy sr 与圆 C 相切，求直线 l 的方程． 4 21.（12 分）已知曲线 C： ′ ′ ′ 䁠 表示圆，圆心为 C． yr 求实数 m 的取值范围； y′r 若曲线 C 与直线 ′ 䁠 交于 M、N 两点，且 ൌ ൌ ，求实数 m 的值． 22.（14 分）如图所示，正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直， ܥ 䁠 ∘， oᦙᦙܥ ， ܥ ܥ ′o ′ ． yr 求证： ൌ 平面 BDE； y′r 求证： ൌᦙᦙ 平面 BEF； yr 若 AC 与 BD 相交于点 O，，求四面体 BOEF 的体积． 5 高二数学答案 1. C 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. C 8. C 9. C 10. A 11. C 12. A 13. 14. 4cm 15. 16. ൌ ܥ 且 ൌ ܥ17. 证明： yr 连接 OE， 是 AC 的中点，E 是 PC 的中点， ᦙᦙሻ ， 又 平面 BDE， ሻ 平面 BDE， ሻᦙᦙ 平面 BDE； y′r ሻ 底面 ABCD， ሻ ܥ ， 又 ൌ ܥ ，且 ൌ ሻ ， ܥ 平面 PAC， ܥ 平面 BDE， 平面 ሻൌ 平面 BDE． 18. 解： yr 设与直线 l： 䁠 垂直的直线方程为 䁠 ， 把点 y ′s′r 代入，得： ㌳ 䁠 ，解得 ′ ， 过点 y ′s′r 且与直线 l 垂直的直线方程为： ′ 䁠 ． y′r 设与直线 l 平行且距离为 2 的直线方程为 䁠 ， 则 ㌳ ′ ， 解得 或 ′ ． 与直线 l 平行且距离为 2 的直线方程为 ′ 䁠 或 䁠 ． 19. yr 因为正三棱柱 ൌ ൌ 所以 ൌൌ 平面 ABC ， 因为 ܥ 平面 ABC 所以 ൌൌ ܥ ， 因为 ܥ ൌܥ ， ൌൌ ൌܥ ൌ ， ൌൌ 平面 ൌൌ ， ൌܥ 平面 ൌൌ ， 所以 ܥ 平面 ൌൌ ， y′r 由 yr 知 ܥ 平面 ൌൌ ， ൌ 平面 ൌൌ ， 所以 ܥ ൌ ， 因为正三棱柱 ൌ ൌ ， 所以 ൌ 为正三角形 ， 所以 ൌ 所以 ܥ ൌܥ ， 因为正三棱柱 ൌ ൌ ， 所以 ൌ ൌ ， ൌᦙᦙൌ ， 因为 ൌ ， 所以 ܥ ൌ ， ܥᦙᦙൌ ， 所以四边形 ൌൌൌ 是平行四边形， 所以 ᦙᦙܥൌ ， 因为 ܥൌ 平面 ܥൌ ， 平面 ܥൌ ， 所以 ᦙᦙ 平面 ܥൌ ， 因为正三棱柱， 所以 ᦙᦙ ， ． ൌൌᦙᦙ ， ൌൌ . ， 因为 ܥ ൌܥs ൌ ， 6 所以 ܥᦙᦙsܥ ， 所以 ܥᦙᦙsܥ ， 所以四边形 ܥ 是平行四边形 ， 所以 ᦙᦙܥ ， 因为 平面 ܥൌ ， ܥ 平面 ܥൌ 所以 ᦙᦙ 平面 ܥൌ ， 因为 ， 所以平面 ᦙᦙ 平面 ܥൌ ． 20. 解： yr 圆心在直线 ′ 上， 故可设圆心 ൌyܽs′ܽr ，半径为 r， 则圆 C 的标准方程为 y ܽr ′ y ′ܽr ′ ′ ， 圆 C 经过 ys′r 、 ys㌳r ， y ܽr ′ y′ ′ܽr ′ ′ y ܽr ′ y㌳ ′ܽr ′ ′ ， 解得 ܽ ′ ， ， 圆 C 的标准方程为 y ′r ′ y r ′ y′r 由 y Ⅰ r 知，圆 C 的圆心为 ൌy′sr ，半径 ， 直线 l 经过点 ሻy sr ， 若直线斜率不存在， 则直线 l： ． 圆心 ൌy′sr 到直线 l 的距离为： ሻ ，故直线与圆相交，不符合题意， 若直线斜率存在，设斜率为 k， 则直线 l： y r ， 即 䁠 ， 圆心 ൌy′sr 到直线 l 的距离为： ′ ′ ′ ， 直线与圆相切， ，即 ′ ， y r ′ ′ ， 解得 ′ 或 ′ ， 直线 l 的方程为 ′ 䁠 或 ′ 䁠 ． 21. 解： yr 由 ܥ ′ ′ o ㌳ ′䁠 䁠 ，得 ሻ ． y′r 由题可知 ൌ 的圆心为 ൌys′r ，半径 C 到直线 ′ 䁠 的距离 ൌ ൌ ′即 䁠 ，解得 ′ ，满足 ሻ ， 故 ′ ． 22. 解： yr 面 ൌܥ 面 ܥo ܥ 面 ൌܥ ܥ ൌ ， ൌ ܥ ൌ ܥ ൌ 面 BDE y′r 取 EB 中点 G ，连 FG ， ൌᦙᦙo쳌 ൌᦙᦙ 面 EFB． yr 平面 ൌܥ 平面 ADEF， ܥ ， 平面 ܥo. 因为 oᦙᦙܥ ， ܥ 䁠 ， ܥ ܥ ′o ′ ， ܥo 的面积为 ܥo ′ ܥ ܥ ′ ， 四面体 BDEF 的体积 ܥo 又因为 O 是 BD 中点，所以 o ′ o ′ o ′ . 7