3.2.2 双曲线简单的几何性质
双曲线的定义
点p到两定点
F1 F2的距离之差
的绝对值为常数
（小于F1 F2的距离）
点p 的轨迹
X
Y
0F1 F2
p
复习回顾：
222 bac
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a0,b>0) (a>0,b>0)
椭圆的几何性质我们讨论了
哪些方面：
方程、图形、顶点(特殊点)、
范围、对称性、离心率e、准线
12
2
2
2
b
y
a
x
Ø双曲线图像(1)
双曲线的简单几何性质
标 准 方 程
范 围
对称性
顶 点
焦 点
对称轴
离心率
渐近线
双 曲 线 的 顶 点:
在双曲线的标准方程中，令y=0得
x=±a,因此把A1（-a，0）, A2（a，
0）叫做双曲线的顶点.
如图:线段A1A2叫做双曲线的
实轴,它的长等于2a, a叫做双
曲线的实半轴长.
线段B1B2叫做双曲线的虚轴
,它的长等于2b, b叫做双曲
线的虚半轴长.
双 曲 线 的 范 围
根据双曲线的标准方程
可得： 即 ，所以x≥a或 x≤-
a
这说明双曲线在不等式
x≥a或 x≤-a所表示的区
域内,即在直线x=-a,x=a两侧.
当x的绝对值无限增大时，
y的绝对值也无限增大,所以
曲线是无限伸展的,不像椭圆那样是封闭曲线.
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b- = > >
12
2
a
x 22 ax
3，双 曲 线 的 对 称 性:
双曲线关于每个坐标轴
和原点都是对称的.坐标轴
是双曲线的对称轴,原点是
双曲线的对称中心.双曲线
的对称中心叫做双曲线的
中心.
4、离心率
双曲线的
叫做的比双曲线的焦距与实轴长 ,a
ce
离心率。
c>a>0 e >1
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
（1）定义：
（2）e的范围：
（3）e的含义：
11)( 22
22
ea
c
a
ac
a
b
也增大增大且时，当
a
bea
be ,),,0(),1(
的夹角增大增大时，渐近线与实轴e
a
ce 222 bac
二四个参数中，知二可求、、、在 ecba
（4）等轴双曲线的离心率e= ? 2
( 5 )
的双曲线是等轴双曲线离心率 2e
v 双曲线的渐近线
Y
y= 4
3 xy= - 4
3 x
-4 4
-3
3
0 X
想一想：怎样较为准确的画出
的图象 ？
2 2
116 9
x y
2
2
2
3 3 1616 14 4
3 16 314 4
y x x x
y x xx
因为
讨论第一象限，其他按对称性处理。
Y
XF1 F2A1 A2
B1
B2
0
M
N
第一象限的曲线方程 c ：
直线方程： y= a
b x
y= √xab 2- a2 ( x＞ a)C:
设M（x,y) 是c上一点,
y= a
b xN (x,Y)是直线
..
上一点。
y = a
b x±
.Q
双曲线 的渐近线方程是12
2
2
2
b
y
a
x
MN
= Y- y
= a
b ( x - √x – a 22 )
x + √x – a 22
ab=
Y
XF1 F2A1 A2
B1
B2
0
M
N
...Q
( x - √x – a 22 )
= a
b ( x - √x – a 22 ). ( x + √x – a 22 )
( x + √x – a 22 )
>0
时，且当 x x + √x – a 22
ab 0
Y
XF1 F2A1 A2
B1
B2
0
a
b =√ e - 12
§ e越小（接近1）
双曲线开口越小
a
b 越接近0
§ e越大 a
b
双曲线开口越大
越大
渐近线方程的记忆
渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把
双曲线的标准方程 或
右边的常数1换为0，就是渐近线方程．
)0,0(12
2
2
2
bab
x
a
y
12
2
2
2
b
y
a
x
练习：求下列双曲线的渐近线方程
(1)4x2－9y2=36,
(2)25x2－4y2=100.
2x±3y=0
5x±2y=0
Ø双曲线图像与性质(1)
标 准 方 程
范 围
对称性
顶 点
焦 点
对称轴
离心率
渐近线
Y
XF1 F2A1 A2
B1
B2
0
12
2
2
2
b
y
a
x
x≥a 或x≤-a
关于x轴，y轴，原点对称。
A1（-a，0),A2（a，0）
实轴 A1A2 虚轴 B1B2
F1 (-c , 0 ), F2( c , 0 )
a
ce=
y = a
b x±
X
Y
F1
F2
O
B1
B2
A2A1
Ø 双曲线图像(2)
标 准 方 程
范 围
对称性
顶 点
焦 点
对称轴
离心率
渐近线
12
2
2
2
b
x
a
y
Ø双曲线图像与性质(2)
标 准 方 程
范 围
对称性
顶 点
焦 点
对称轴
离心率
渐近线
y≥a 或y≤-a
关于x轴，y轴，原点对称。
B1（0, -a ),B2（0，a）
实轴 B1B2 虚轴 A1A2
F1 (0 , -c ), F2( 0 , c )
a
ce=
y = b
a x±
12
2
2
2
a
x
b
y
X
Y
F1
F2
O
B1
B2
A2A1
12
2
2
2
b
x
a
y
Ø上述两种双曲线性质对比
标 准 方 程
范 围
对称性
顶 点
焦 点
对称轴
离心率
渐近线
12
2
2
2
b
y
a
x
x≥a 或x≤-a
关于x轴，y轴，原点对称。
A1（-a，0),A2（a，0）
实轴 A1A2 虚轴 B1B2
F1 (-c , 0 ), F2( c , 0 )
a
ce=
y = a
b x±
12
2
2
2
a
x
b
y
y≥a 或y≤-a
关于x轴，y轴，原点对称。
B1（0, -a ),B2（0，a）
F1 (0 , -c ), F2( 0 , c )
实轴 B1B2 虚轴 A1A2
a
ce=
y = b
a x±
例1:求双曲线 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c=
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率:
渐近线方程:
144169 22 xy
1
34 2
2
2
2
xy
534 22
4
5
a
ce
xy 3
4
例题讲解
2
16 9
3
2x y例 2.求 与 双 曲 线 - =1有 共 同 的 渐 近 线 ,
经 过 点 (2 ,-3)的 双 曲 线 方 程 .
2 29 514 4 3
x y 解一(待定系数法):双曲线方程 ,e= .
2 2
2 2
( 0)16 9
9, 14 4
x y
x y
解二(双曲线系法):设双曲线方程 ,
4= 则 .9
2
2 2
4
a b
ca
2x y例3.(1)设双曲线 - =1(00表示焦点在x轴上的双曲线；
λ
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