全国统考2022高考数学一轮复习单元质检卷十一计数原理理含解析北师大版

考试 - 1 - / 6 单元质检卷十一 计数原理 (时间:45 分钟满分:80 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.从 6 个盒子中选出 3 个来装东西,则甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有() A.16 种 B.18 种 C.22 种 D.37 种 2. ( 4 + 1 2 + 2) 5 的展开式中含 x5 项的系数为() A.160 B.210 C.120 D.252 3.若矩阵 a1a2a3a4b1b2b3b4 满足下列条件:①每行中的四个数均为集合{1,2,3,4}中不同元素; ②四列中有且只有两列的上下两数是相同的,则满足①②条件的矩阵的个数为() A.48 B.72 C.144 D.264 4.(1+x-x2) ( + 1 2 ) 6 的展开式中 x2 的系数为() A. 5 2 B. 15 4 C. 5 4 D. 25 4 5.2020 年 11 月 26 日,“一带一路”法治服务(泉城)高峰论坛在某某举办.组委会要从 6 个国 内媒体团和 3 个国外媒体团中选出 3 个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团 又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为() A.198 B.268 C.306 D.378 6.(2020 某某日照高三模拟)万历十二年,中国明代音乐理论家和数学家朱载堉在其著作《律学 新说》中,首次用珠算开方的办法计算出了十二个半音音阶的半音比例,这十二个半音音阶称为 考试 - 2 - / 6 十二平均律.十二平均律包括六个阳律(黄钟、太簇、姑洗、蕤宾、夷则、无射)和六个阴律(大 吕、夹钟、中吕、林钟、南吕、应钟).现从这十二平均律中取出两个阳律和两个阴律,排成一个 序列,组成一种旋律,要求序列中的两个阳律相邻,两个阴律不相邻,则可组成不同的旋律() A.450 种 B.900 种 C.1 350 种 D.1 800 种 7.(1+2 )3(1- 3 x )5 的展开式中 x 的系数是() A.-4 B.-2 C.2 D.4 8.已知(1+mx)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,若 a1+a2+a3+a4+a5=242,则 a0-a1+a2-a3+a4-a5=() A.1 B.-1 C.-81 D.81 9.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综 4 科的专题讲座,每 科一节课,每节至少有一科,且数学、理综不安排在同一节,则不同的安排方法共有() A.6 种 B.24 种 C.30 种 D.36 种 10.在 ( 3 - 2 ) 的二项展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,(1+2x)n (1 + 4 ) 4 的展开式中 x2y2 的系数是() A.58 B.62 C.52 D.42 11.已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念,且甲、乙两人均在丙领导人的同侧,则不同 的排法共有() A.240 种 B.360 种 C.480 种 D.600 种 考试 - 3 - / 6 12.甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她们选择骑共享电动车出行, 每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩一定要坐戊妈妈的车, 则他们坐车不同的搭配方式有() A.12 种 B.11 种 C.10 种 D.9 种 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知(1+2x)n 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大,则多项式(x2+1) ( + 1 ) 展开式中 的常数项为. 14.将数字“124470”重新排列后得到不同的偶数个数为. 15.已知 a>0,则当(a3-x) (1 + ) 9 的展开式的常数项(即不含 x 的项)取得最小值时,a=. 16.某电视台曾在某时间段连续播放 5个不同的商业广告,现在要在该时间段只保留其中的 2 个 商业广告,新增播 1 个商业广告与 2 个不同的公益宣传广告,且要求 2 个公益宣传广告既不能连 续播放也不能在首尾播放,则不同的播放顺序共有种. 参考答案 单元质检卷十一 计数原理 1.A 从 6 个盒子中选出 3 个来装东西,有 C6 3 种选法,甲、乙都未被选中的情况有 C4 3 种,所以甲、乙 两个盒子至少有一个被选中的情况有 C6 3 C4 3 =20-4=16(种),故选 A. 考试 - 4 - / 6 2.D∵ ( 4 + 1 2 + 2) 5 ( 2 + 1 ) 10 ,∴Tr+1= C10 ( 2 ) 10- · 1 C10 x20-3r,当 r=5 时,T6= C10 5 x5=252x5.故选 D. 3.C 第一步,排列第一行,有 A4 4 =24 种排列方法;第二步,由题意知有且只有两列的上下两数是相 同的,选择{1,2,3,4}中的两个数作为与上列相同的数字,有 C4 2 =6 种取法,而对于剩余两数,为使不 与上列数字相同,有且只有一种排法,因此,满足题中条件的矩阵的个数为 24×6=144.故选 C. 4.C ( + 1 2 ) 6 的展开式的通项为 Tr+1= C6 x6-r 1 2 =2-r C6 x6-2r,故 ( + 1 2 ) 6 的展开式中的常数项为 1 8 C6 3 20 8 5 2 ,一次项系数为 0,二次项的系数为 1 4 C6 2 15 4 ,(1+x-x2) x+ 1 2 6 的展开式中 x2 的系数 为 15 4 5 2 5 4 故选 C. 5.A 分两种情况,若选两个国内媒体团一个国外媒体团,有 C6 2 C3 1 A2 2 =90(种)不同提问方式;若选两 个国外媒体团一个国内媒体团,有 C6 1 C3 2 A3 3 =108(种)不同提问方式,所以共有 90+108=198(种) 提问方式.故选 A. 6.B 分两步:第 1 步,取出两个阳律和两个阴律,有 C6 2 C6 2 =225(种);第 2 步,两个阳律相邻,两个阴律 不相邻,有 A2 2 A2 2 =4(种).根据分步乘法计数原理可得,共有 225×4=900(种). 7.C(1+2 )3 的展开式中常数项是 1,含 x 的项是 C3 2 (2 )2=12x; 1- 3 x 5 的展开式中常数项是 1,含 x 的项是 5 3 (- 3 )3=-10x,故(1+2 )3(1- 3 )5 的展开式中含 x 项的系数为 1×(-10)+1× 12=2. 8.B 令 x=0,得 a0=1;令 x=1,得(1+m)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=243,所以 1+m=3,即 m=2;令 x=-1,得(1-2)5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1.故选 B. 9.C 根据题意,由于 4 科的专题讲座每科一节课,每节至少有一科,必有两科在同一节,先从 4 个专 题讲座中任选 2 个看作整体,然后与其他 2 个讲座全排列,共 C4 2 A3 3 =36(种)情况,再从中排除数 学、理综安排在同一节的情形,将数学、理综看成一个整体,然后与其他 2 个讲座全排列,共 A3 3 =6(种)情况,故总的方法种数为 36-6=30.故选 C. 考试 - 5 - / 6 10.D ( 3 x- 2 x ) n 的二项展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,∴n=8,(1+2x)8 (1 + y 4 ) 4 的展开式 中 x2y2 的系数是 8 2 ×22× 4 2 × 1 4 2 =42.故选 D. 11.C 用分类讨论的方法解决.如图中的 6 个位置, 1 2 3 4 5 6 ①当领导丙在位置 1 时,不同的排法有 A5 5 =120(种); ②当领导丙在位置 2 时,不同的排法有 C3 1 A4 4 =72(种); ③当领导丙在位置 3 时,不同的排法有 A2 2 A3 3 + A3 2 A3 3 =48(种); ④当领导丙在位置 4 时,不同的排法有 A2 2 A3 3 + A3 2 A3 3 =48(种); ⑤当领导丙在位置 5 时,不同的排法有 C3 1 A4 4 =72(种); ⑥当领导丙在位置 6 时,不同的排法有 A5 5 =120(种). 由分类加法计数原理可得不同的排法共有 480 种.故选 C. 12.B(方法 1)不对号入座的递推公式为 a1=0,a2=1,an=(n-1)(an-1+an-2)(n≥3),据此可 得:a3=2,a4=9,a5=44,即五个人不对号入座的方法为 44 种,由排列组合的对称性可知,若甲的小 孩一定要坐戊妈妈的车,则坐车不同的搭配方式有 44 4 =11(种).故选 B. (方法 2)设五位妈妈分别为 A,B,C,D,E,五个小孩分别为 a,b,c,d,e,对五个小孩进行排列后坐 五位妈妈的车,由于甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,故排列的第五个位置一定是 a,对其余的四个 小孩进行排 列:bcde,bced,bdce,bdec,becd,bedc;cbde,cbed,cdbe,cdeb,cebd,cedb;dbce,dbec,dcbe, dceb,debc,decb;ebcd,ebdc,ecbd,ecdb,edbc,edcb.共有 24 种排列方法,其中满足题意的排 列方法为 bcde,bdec,bedc,cdbe,cdeb,cedb,dcbe,dceb,debc,ecdb,edbc,共有 11 种.故选 B. 考试 - 6 - / 6 13.35 由(1+2x)n 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大,所以 n=6. 多项式 ( + 1 ) 6 展开式的通项 Tr+1= C6 x6-rx-r= C6 x6-2r,其中 r=0,1,2,…,6.考虑 ( + 1 ) 6 展开 式中的常数项和含 x-2 的项:①令 6-2r=-2,则 r=4;②令 6-2r=0,则 r=3,故常数项为 C6 4 + C6 3 =15+20=35.故答案为 35. 14.204 根据题意,分 3 种情况讨论:①个位数字为 0,在前面 5 个数位中任选 2 个,安排 2 个数字 4,有 C5 2 =10(种)情况,将剩下的 3 个数字全排列,安排在其他的数位,有 A3 3 =6(种)情况,则此时有 10×6=60(个)偶数,②个位数字为 2,0 不能在首位,有 4 种情况,在剩下的 4 个数位中任选 2 个, 安排 2 个数字 4,有 C4 2 =6(种)情况,将剩下的 2 个数字全排列,安排在其他的数位,有 A2 2 =2(种)情 况,则此时有 4×6×2=48(个)偶数,③个位数字为 4,0 不能在首位,有 4 种情况,将剩下的 4 个数 字全排列,安排在其他的数位,有 A4 4 =24(种)情况,则此时有 4×24=96(个)偶数.则有 60+48+96=204(个)偶数. 15 3 (a3-x) (1 + ) 9 的展开式的常数项为 a3-x· C9 1 · =a3-9a,设 f(x)=x3-9x(x>0),f'(x)=3x2-9,当 00,故 f(x)min=f( 3 ).故答案为 3 16.120 由题意知,要在该时间段只保留其中的 2 个商业广告,有 A5 2 =20(种)情况,新增播 1 个商 业广告,利用插空法有 3 种情况,再在 2 个空中插入 2 个不同的公益宣传广告,共有 2 种情况.根 据分步乘法计数原理知,共有 20×3×2=120(种)播放顺序.故答案为 120 种.