2022届高考数学一轮复习第八章第五节椭圆课时作业理含解析北师大版

第五节 椭圆 授课提示：对应学生用书第 361 页 [A 组 基础保分练] 1．设 F1，F2 分别是椭圆 x2 25 ＋ y2 16 ＝1 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是 F1P 的中点，|OM| ＝3，则 P 点到椭圆左焦点的距离为（ ） A．4 B．3 C．2 D．5 解析：连接 PF2（图略），由题意知，a＝5，在△PF1F2 中，|OM|＝ 1 2 |PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1| ＝2a－|PF2|＝10－6＝4． 答案：A 2．过点 A（3，－2）且与椭圆 x2 9 ＋ y2 4 ＝1 有相同焦点的椭圆方程为（ ） A． x2 15 ＋ y2 10 ＝1 B． x2 25 ＋ y2 20 ＝1 C． x2 10 ＋ y2 15 ＝1 D． x2 20 ＋ y2 15 ＝1 解析：法一：设所求椭圆方程为 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a＞b＞0），则 a2－b2＝c2＝5，且 9 a2 ＋ 4 b2 ＝1， 解方程组 a2－b2＝5， 9 a2 ＋ 4 b2 ＝1，得 a2＝15，b2＝10，故所求椭圆方程为 x2 15 ＋ y2 10 ＝1． 法二：椭圆 x2 9 ＋ y2 4 ＝1 的焦点坐标为（± 5，0），设所求椭圆方程为 x2 λ＋5 ＋ y2 λ ＝1（λ＞0）， 将点 A（3，－2）代入，得 9 λ＋5 ＋ 4 λ ＝1（λ＞0），解得λ＝10 或λ＝－2（舍去），故所求椭圆 方程为 x2 15 ＋ y2 10 ＝1． 答案：A 3．（2021·衡水模拟）已知椭圆 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a＞b＞0）的离心率为 1 3 ，则 a b ＝（ ） A． 9 8 B． 3 2 2 C． 4 3 D． 3 2 4 解析：因为 e＝ c a ＝ a2－b2 a2 ＝ 1 3 ，所以 8a2＝9b2，所以 a b ＝ 3 2 4 ． 答案：D 4．已知椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 3 3 ，过 F2 的 直线 l 交 C 于 A，B 两点．若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为（ ） A． x2 3 ＋ y2 2 ＝1 B． x2 3 ＋y2＝1 C． x2 12 ＋ y2 8 ＝1 D． x2 12 ＋ y2 4 ＝1 解析：由题意及椭圆的定义知 4a＝4 3，则 a＝ 3，又 c a ＝ c 3 ＝ 3 3 ，所以 c＝1，所以 b2 ＝2， 所以 C 的方程为 x2 3 ＋ y2 2 ＝1． 答案：A 5．（2020·石家庄质检）倾斜角为 π 4 的直线经过椭圆 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a>b>0）的右焦点 F，与椭圆 交于 A，B 两点，且AF→＝2FB→，则该椭圆的离心率为（ ） A． 3 2 B． 2 3 C． 2 2 D． 3 3 解析：由题可知，直线的方程为 y＝x－c，与椭圆方程联立 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1， y＝x－c， 得（b2＋a2）y2＋2b2cy －b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0．设 A（x1，y1），B（x2， y2），则 y1＋y2＝ －2b2c a2＋b2 ， y1y2＝ －b4 a2＋b2 ， 又AF→＝2FB→， 所以（c－x1，－y1）＝2（x2－c，y2），所以－y1＝2y2，可得 －y2＝ －2b2c a2＋b2 ， －2y2 2＝ －b4 a2＋b2 . 所以 1 2 ＝ 4c2 a2＋b2 ， 所以 e＝ 2 3 ． 答案：B 6．（2021·惠州调研）设 F1，F2 为椭圆 x2 9 ＋ y2 5 ＝1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的 中点在 y 轴上，则 |PF2| |PF1| 的值为（ ） A． 5 14 B． 5 9 C． 4 9 D． 5 13 解析：如图，设线段 PF1 的中点为 M，因为 O 是 F1F2 的中点，所以 OM∥PF2，可得 PF2⊥x 轴，可求得|PF2|＝ 5 3 ，|PF1|＝2a－|PF2|＝ 13 3 ， |PF2| |PF1| ＝ 5 13 ． 答案：D 7．（2021·郑州模拟）已知椭圆 y2 a2 ＋ x2 b2 ＝1（a＞b＞0）的右顶点为 A（1，0），过其焦点且垂 直于长轴的弦长为 1，则椭圆的方程为 _________． 解析：因为椭圆 y2 a2 ＋ x2 b2 ＝1 的右顶点为 A（1，0），所以 b＝1，焦点坐标为（0，c），因为过 焦点且垂直于长轴的弦长为 1，所以 2b2 a ＝1，a＝2，所以椭圆的方程为 y2 4 ＋x2＝1． 答案： y2 4 ＋x2＝1 8．已知椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a＞b＞0）的中心是坐标原点 O，左、右焦点分别为 F1，F2，设 P 是椭圆 C 上一点，满足 PF2⊥x 轴，|PF2|＝ 1 2 ，椭圆 C 的离心率为 3 2 ． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过椭圆 C 左焦点且倾斜角为 45°的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求△AOB 的面积． 解析：（1）由题意知，离心率 e＝ c a ＝ 3 2 ，|PF2|＝ b2 a ＝ 1 2 ，得 a＝2，b＝1，所以椭圆 C 的标 准方程为 x2 4 ＋y2＝1． （2）由条件可知 F1（－ 3，0），直线 l：y＝x＋ 3，联立直线 l 和椭圆 C 的方程，得 y＝x＋ 3， x2 4 ＋y2＝1， 消去 y 得 5x2＋8 3x＋8＝0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1＋x2＝－ 8 3 5 ，x1·x2＝ 8 5 ， 所以|y1－y2|＝|x1－x2|＝ （x1＋x2）2－4x1x2＝ 4 2 5 ，所以 S△AOB＝ 1 2 ·|y1－y2|·|OF1|＝ 2 6 5 ． 9．已知椭圆 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a＞b＞0），F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点， 直线 AF2 交椭圆于另一点 B． （1）若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； （2）若AF2 → ＝2F2B→ ，AF1 → ·AB→ ＝ 3 2 ，求椭圆的方程． 解析：（1）若∠F1AB＝90°，则△AOF2 为等腰直角三角形，所以有 OA＝OF2，即 b＝c． 所以 a＝ 2c，e＝ c a ＝ 2 2 ． （2）由题知 A（0，b），F1（－c，0），F2（c，0），其中 c＝ a2－b2，设 B（x，y）． 由AF2 → ＝2F2B→ ，得（c，－b）＝2（x－c，y）， 解得 x＝ 3c 2 ，y＝－ b 2 ，即 B 3c 2 ，－ b 2 ． 将 B 点坐标代入 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1，得 9 4 c2 a2 ＋ b2 4 b2 ＝1，即 9c2 4a2 ＋ 1 4 ＝1，解得 a2＝3c2．① 又由AF1 → ·AB→ ＝（－c，－b）· 3c 2 ，－ 3b 2 ＝ 3 2 ， 得 b2－c2＝1，即有 a2－2c2＝1．② 由①②解得 c2＝1，a2＝3，从而有 b2＝2． 所以椭圆的方程为 x2 3 ＋ y2 2 ＝1． [B 组 能力提升练] 1．（2021·吉安模拟）如图，用与底面成 45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭 圆的离心率为（ ） A． 2 2 B． 3 3 C． 3 2 D． 1 3 解析：设圆柱的底面圆的直径为 d，则椭圆的短轴长为 d． 因为截面与底面成 45°角，所以椭圆的长轴长为 2d， 所以椭圆的半焦距为 2 2 d 2 － d 2 2 ＝ d 2 ， 则 e＝ c a ＝ d 2 2 2 d ＝ 2 2 ． 答案：A 2．设椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 5 3 ，以 F1F2 为 直径的圆与椭圆 C 在第一象限的交点为 P，则直线 PF1 的斜率为（ ） A． 1 3 B． 1 2 C． 3 3 D． 3 2 解析：因为 e＝ c a ＝ 5 3 ，故可设 a＝3，c＝ 5，则 b＝2，S△PF1F2＝b2tan ∠F1PF2 2 ＝b2tan 45° ＝ 1 2 |PF1|·|PF2|＝4，因为 P 在第一象限，所以|PF1|＞|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，故|PF1| ＝4，|PF2|＝2，所以直线 PF1 的斜率 kPF1＝ |PF2| |PF1| ＝ 1 2 ． 答案：B 3．已知椭圆 C： x2 4 ＋ y2 3 ＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，椭圆 C 上点 A 满足 AF2⊥F1F2．若 点 P 是椭圆 C 上的动点，则F1P→ ·F2A→ 的最大值为（ ） A． 3 2 B． 3 3 2 C． 9 4 D． 15 4 解析：由椭圆 C： x2 4 ＋ y2 3 ＝1 可得 a2＝4，b2＝3，c＝ a2－b2＝1，可得 F1（－1，0），F2（1， 0）， 由 AF2⊥F1F2，令 x＝1，得 y＝± 3× 1－ 1 4 ＝± 3 2 ， 不妨设 A 点坐标为 1， 3 2 ． 设 P（m，n），则点 P 坐标满足 m2 4 ＋ n2 3 ＝1， 又－ 3≤n≤ 3， 则F1P→ ·F2A→ ＝（m＋1，n）· 0， 3 2 ＝ 3 2 n≤ 3 3 2 ， 可得F1P→ ·F2A→ 的最大值为 3 3 2 ． 答案：B 4．（2021·温州模拟）正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a＞b＞0）上，若椭圆 的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． 5－1 2 ，1 B． 0， 5－1 2 C． 3－1 2 ，1 D． 0， 3－1 2 解析：设正方形的边长为 2m，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m＞c．又正方形 ABCD 的四 个顶点都在椭圆 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a＞b＞0）上，∴ m2 a2 ＋ m2 b2 ＝1＞ c2 a2 ＋ c2 b2 ＝e2＋ e2 1－e2 ，整理得 e4 －3e2＋1＞0，e2＜ 3－ 5 2 ＝ （ 5－1）2 4 ，∴0＜e＜ 5－1 2 ． 答案：B 5．若 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋ y2 b2 ＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为_________． 解析：设点 A 在点 B 上方，F1（－c，0），F2（c，0），其中 c＝ 1－b2，则可设 A（c，b2）， B（x0，y0），由|AF1|＝3|F1B|，可得AF1 → ＝3F1B→ ，故 －2c＝3（x0＋c）， －b2＝3y0， 即 x0＝－ 5 3 c， y0＝－ 1 3 b2， 代入 椭圆方程可得 25（1－b2） 9 ＋ 1 9 b2＝1，解得 b2＝ 2 3 ，故椭圆方程为 x2＋ 3y2 2 ＝1． 答案：x2＋ 3y2 2 ＝1 6．设 F1，F2 分别是椭圆 x2 25 ＋ y2 16 ＝1 的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点 M 的坐标为（6， 4），则|PM|－|PF1|的最小值为_________． 解析：由椭圆的方程可知 F2（3，0），由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|．所以|PM|－|PF1| ＝|PM|－（2a－|PF2|）＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当 M，P，F2 三点共线时取得 等号，又|MF2|＝ （6－3）2＋（4－0）2＝5，2a＝10，所以|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即 |PM|－|PF1|的最小值为－5． 答案：－5 7．（2020·高考全国卷Ⅱ）已知椭圆 C1： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a＞b＞0）的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦 点重合．C1 的中心与 C2 的顶点重合．过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|＝ 4 3 |AB|． （1）求 C1 的离心率； （2）设 M 是 C1 与 C2 的公共点，若|MF|＝5，求 C1 与 C2 的标准方程． 解析：（1）由已知可设 C2 的方程为 y2＝4cx，其中 c＝ a2－b2． 不妨设 A，C 在第一象限，由题设得 A，B 的纵坐标分别为 b2 a ，－ b2 a ；C，D 的纵坐标分别为 2c，－2c，故|AB|＝ 2b2 a ，|CD|＝4c． 由|CD|＝ 4 3 |AB|得 4c＝ 8b2 3a ，即 3× c a ＝2－2 c a 2 ． 解得 c a ＝－2（舍去）或 c a ＝ 1 2 ． 所以 C1 的离心率为 1 2 ． （2）由（1）知 a＝2c，b＝ 3c，故 C1： x2 4c2 ＋ y2 3c2 ＝1． 设 M（x0，y0），则 x2 0 4c2 ＋ y2 0 3c2 ＝1，y2 0＝4cx0， 故 x2 0 4c2 ＋ 4x0 3c ＝1． ① 因为 C2 的准线为 x＝－c， 所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故 x0＝5－c，代入①得 （5－c）2 4c2 ＋ 4（5－c） 3c ＝1，即 c2－ 2c－3＝0，解得 c＝－1（舍去）或 c＝3． 所以 C1 的标准方程为 x2 36 ＋ y2 27 ＝1，C2 的标准方程为 y2＝12x． [C 组 创新应用练] 1．有一个高为 12 cm，底面圆半径为 3 cm 的圆柱形玻璃杯，杯中所盛水的体积恰为该玻璃 杯容积的一半（玻璃杯厚度忽略不计），当玻璃杯倾斜时，杯中水面的形状为椭圆，则在杯中 的水不溢出的前提下，椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． 0， 5 5 B． 5 5 ，1 C． 0， 2 5 5 D． 2 5 5 ，1 解析：由题意知，当玻璃杯倾斜至杯中的水刚好不溢出时，杯中水面所形成的椭圆的离心率 最大，易知此时椭圆的长轴长为 122＋62＝6 5，短轴长为 6，所以椭圆的离心率 e＝ 1－ 3 3 5 2 ＝ 2 5 5 ，所以 e∈ 0， 2 5 5 ． 答案：C 2．已知直线 l：y＝kx＋2 过椭圆 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a＞b＞0）的上顶点 B 和左焦点 F，并被圆 x2 ＋y2＝4 截得的弦长为 L，若 L≥ 4 5 5 ，则椭圆离心率 e 的取值范围是_________． 解析：依题意，知 b＝2，kc＝2． 设圆心到直线 l 的距离为 d， 则 L＝2 4－d2≥ 4 5 5 ， 解得 d2≤ 16 5 ．又因为 d＝ 2 1＋k2 ，所以 1 1＋k2 ≤ 4 5 ， 解得 k2≥ 1 4 ． 于是 e2＝ c2 a2 ＝ c2 b2＋c2 ＝ 1 1＋k2 ，所以 0＜e2≤ 4 5 ，解得 0＜e≤ 2 5 5 ． 答案： 0， 2 5 5 3．（2021·衡水模拟）“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世 瞩目．2019 年，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着 陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面 100 千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个 长轴顶点距月球表面 15 千米，则椭圆形轨道的焦距为 千米． 解析：设椭圆的长半轴长为 a 千米，半焦距为 c 千米，月球半径为 r 千米． 由题意知 a＋c＝100＋r， a－c＝15＋r， 解得 2c＝85． 即椭圆形轨道的焦距为 85 千米． 答案：85