2022届高考数学一轮复习第二章第九节导数概念及其运算定积分课时作业理含解析北师大版
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资料简介
第二章 第九节 导数概念及其运算、定积分 授课提示:对应学生用书第 287 页 [A 组 基础保分练] 1.∫ π 20(sin x-acos x)dx=2,则实数 a 等于( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析:由题意知(-cos x-asin x)| π 20=1-a=2,a=-1. 答案:A 2.函数 f(x)=exln x 在点(1,f(1))处的切线方程是( ) A.y=2e(x-1) B.y=ex-1 C.y=e(x-1) D.y=x-e 解析:f(1)=0,∵f′(x)=ex ln x+ 1 x ,∴f′(1)=e, ∴切线方程是 y=e(x-1). 答案:C 3.(2021·南昌模拟)已知 f(x)在 R 上连续可导,f′(x)为其导函数,且 f(x)=ex+e-x-xf′(1)·(ex -e-x),则 f′(2)+f′(-2)-f′(0)f′(1)=( ) A.4e2+4e-2 2-4e-2 C.0 D.4e2 解析:函数 f(-x)=e-x+ex-(-x)f′(1)·(e-x-ex)=f(x),即函数 f(x)是偶函数,两边对 x 求导 数,得-f′(-x)=f′(x).即 f′(-x)=-f′(x),则 f′(x)是 R 上的奇函数,则 f′(0)=0,f′(-2)= -f′(2),即 f′(2)+f′(-2)=0,则 f′(2)+f′(-2)-f′(0)f′(1)=0. 答案:C 4.曲线 y=ax 在 x=0 处的切线方程是 xln 2+y-1=0,则 a=( ) A. 1 2 C.ln 2 D.ln 1 2 解析:由题意知,y′=axln a,则在 x=0 处,y′=ln a,又切点为(0,1),∴切线方程为 xln a -y+1=0,∴a= 1 2 . 答案:A 5.设函数 f(x)=x+ 1 x +b,若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处的切线经过坐标原点,则 ab=( ) A.1 C.-1 D.-2 解析:由题意可得,f(a)=a+ 1 a +b,f′(x)=1- 1 x2 ,所以 f′(a)=1- 1 a2 ,故切线方程是 y-a- 1 a -b= 1- 1 a2 (x-a),将(0,0)代入得-a- 1 a -b= 1- 1 a2 (-a),故 b=- 2 a ,故 ab=-2. 答案:D 6.如图所示为函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图像.那么 y=f(x),y=g(x)的图像可能是 ( ) 解析:由 y=f′(x)的图像知 y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减,说明函数 y=f(x)的切线的斜率在 (0,+∞y=f′(x)与 y=g′(x)的图像在 x=x0 处相交,说明 y=f(x)与 y=g(x)的图像在 x=x0 处 的切线的斜率相同,故排除 B. 答案:D 7.(2021·天津模拟)已知函数 f(x)=(x2-a)ln x,f′(x)是函数 f(x)的导函数,若 f′(1)=-2,则 a 的值为________. 解析:∵f(x)=(x2-a)ln x(x>0),∴f′(x)=2xln x+ x2-a x ,∴f′(1)=1-a=-2,得 a=3. 答案:3 8.已知函数 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=x3-ln x,则曲线 y=f(x)在点(-1,-1)处的 切线的斜率为________. 解析:因为当 x>0 时,f(x)=x3-ln x,所以当 x<0 时,-x>0,f(-x)=-x3-ln(-x).因 为函数 f(x)为奇函数,所以 f(x)=-f(-x)=x3+ln(-x),则 f′(x)=3x2+ 1 x ,所以 f′(-1)=2, 所以曲线 y=f(x)在点(-1,-1)处的切线的斜率为 2. 答案:2 9.已知函数 f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程. 解析:(1)∵f′(x)=3x2-8x+5,∴f′(2)=1,又 f(2)=-2,∴曲线在点(2,f(2))处的切线方程 为 y+2=x-2,即 x-y-4=0. (2)设曲线与经过点 A(2,-2)的切线相切于点 P(x0,x3 0-4x2 0+5x0-4), ∵f′(x0)=3x2 0-8x0+5, ∴切线方程为 y-(x3 0-4x2 0+5x0-4)=(3x2 0-8x0+5)·(x-x0), 又切线过点 A(2,-2), ∴-2-(x3 0-4x2 0+5x0-4)=(3x2 0-8x0+5)(2-x0),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得 x0=2 或 1, ∴经过点 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y-4=0 或 y+2=0. 10.(2021·淮南模拟)已知函数 f(x)=x2-ln x. (1)求函数 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)在函数 f(x)=x2-ln x 的图像上是否存在两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点 的横坐标都在区间 1 2 ,1 上?若存在,求出这两点的坐标,若不存在,请说明理由. 解析:(1)由题意可得 f(1)=1,且 f′(x)=2x- 1 x ,f′(1)=2-1=1,则所求切线方程为 y-1=1 ×(x-1),即 y=x. (2)假设存在两点满足题意,且设切点坐标为(x1,y1),(x2,y2), 则 x1,x2∈ 1 2 ,1 ,不妨设 x1<x2, 结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得 2x1- 1 x1 2x2- 1 x2 =-1, 又函数 f′(x)=2x- 1 x 在区间 1 2 ,1 上单调递增,函数的值域为[-1,1], 故-1≤2x1- 1 x1 <2x2- 1 x2 ≤1, 据此有 2x1- 1 x1 =-1, 2x2- 1 x2 =1, 解得 x1= 1 2 ,x2=1 x1=-1,x2=- 1 2 舍去 , 故存在两点 1 2 ,ln 2+ 1 4 ,(1,1)满足题意. [B 组 能力提升练] 1.(2021·南阳模拟)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(e)+ln x,则 f(e)=( ) A.e B.- 1 e C.-1 D.-e 解析:由 f(x)=2xf′(e)+ln x,得 f′(x)=2f′(e)+ 1 x ,则 f′(e)=2f′(e)+ 1 e ,所以 f′(e)=- 1 e ,故 f(x)=- 2 e x+ln x,所以 f(e)=-1. 答案:C 2.(2021·保定模拟)设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x +1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( ) A.2 B. 1 4 C.4 D.- 1 2 解析:因为曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,所以 g′f′(x)=g′(x)+2x, 故曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 f′(1)=g′(1)+2=4. 答案:C 3.(2021·广州模拟)已知过点 A(a,0)作曲线 C:y=x·ex 的切线有且仅有两条,则实数 a 的取 值范围是( ) A.(-∞,-4)∪(0,+∞) B.(0,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1) 解析:对 y=x·ex 求导得 y′=ex+x·ex=(1+x)ex.设切点坐标为(x0,x0ex0),则过点 A(a,0) 的切线斜率 k=(1+x0)ex0= x0ex0 x0-a ,化简得 x2 0-ax0-a=0.依题意知,上述关于 x0 的二次方 程 x2 0-ax0-a=0 有两个不相等的实数根,所以Δ=(-a)2-4×1×(-a)>0,解得 a<-4 或 a>0. 答案:A 4.(2021·宣城模拟)若曲线 y=aln x+x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是 π 3 , π 2 ,则 a= ( ) A. 1 24 B. 3 8 C. 3 4 D. 3 2 解析:因为 y=aln x+x2(a>0),所以 y′= a x +2x≥2 2a,因为曲线的切线的倾斜角的取值范 围是 π 3 , π 2 ,所以斜率 k≥ 3,因为 3=2 2a,所以 a= 3 8 . 答案:B 5.已知曲线 y= 1 x + ln x a 在 x=1 处的切线 l 与直线 2x+3y=0 垂直,则实数 a 的值为________. 解析:y′=- 1 x2 + 1 ax ,当 x=1 时,y′=-1+ 1 a .由于切线 l 与直线 2x+3y=0 垂直,所以 -1+ 1 a · - 2 3 =-1,解得 a= 2 5 . 答案: 2 5 6.(2021·乌鲁木齐模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y=x+m 与曲线 y=asin x+bcos x(a,b,m∈R)相切于点(0,1),则 a+b m 的值为________. 解析:根据题意,若直线 y=x+m 与曲线 y=asin x+bcos x(a,b,m∈R)相切于点(0,1), 则点(0,1)为直线 y=x+m 与曲线 y=asin x+bcos x 的交点, 则 1=0+m 且 1=asin 0+bcos 0,解得 m=1,b=1. 由 y=asin x+bcos x,得 y′=a·cos x-b·sin x, 所以当 x=0 时,y′=a·cos 0-b·sin 0=1,解得 a=1, 则 a+b m = 1+1 1 =2. 答案:2 7.已知函数 f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函数 f(x)的图像过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求 a,b 的值; (2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围. 解析:f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2). (1)由题意得 f(0)=b=0, f′(0)=-a(a+2)=-3, 解得 b=0,a=-3 或 a=1. (2)因为曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线, 所以关于 x 的方程 f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0 有两个不相等的实数根, 所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0, 即 4a2+4a+1>0, 所以 a≠- 1 2 . 所以 a 的取值范围为 -∞,- 1 2 ∪ - 1 2 ,+∞ . [C 组 创新应用练] 1.给出定义:设 f′(x)是函数 y=f(x)的导函数,f″(x)是函数 f′(x)的导函数,若方程 f″(x)=0 有 实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 f(x)的“拐点”.已知函数 f(x)=3x+4sin x-cos x 的拐 点是 M(x0,f(x0)),则点 M( ) A.在直线 y=-3x 上 B.在直线 y=3x 上 C.在直线 y=-4x 上 D.在直线 y=4x 上 解析:f′(x)=3+4cos x+sin x,f″(x)=-4sin x+cos x,结合题意知 4sin x0-cos x0=0, 所以 f(x0)=3x0,故 M(x0,f(x0))在直线 y=3x 上. 答案:B 2.在等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8),则 f′(0)=( ) A.26 9 C.212 D.215 解析:因为 f′(x)=x′·[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]+[(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8)]′·x=(x-a1)(x-a2)· …·(x-a8)+[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′·x, 所以 f′(0)=(0-a1)(0-a2)·…·(0-a8)+0=a1a2·…·a8. 因为数列{an}为等比数列,所以 a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=8,所以 f′(0)=84=212. 答案:C 3.(2021·长春模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 y=x 与直线 x=1 及 x 轴所围成的图 形绕 x 轴旋转一周得到一个圆锥,圆锥的体积 V 圆锥=错误!πx2dx= π 3 x3|1 0= π 3 .据此类比: 将曲线 y=2ln x 与直线 y=1 及 x 轴、y 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体,则 该旋转体的体积 V=________. 解析:类比已知结论,将曲线 y=2ln x 与直线 y=1 及 x 轴、y 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一 周得到旋转体的体积应为一定积分,被积函数为π(e y 2)2=πey,积分变量为 y,积分区间为[0, 1],即 V=错误! 1 0=π(e-1). 答案:π(e-1)

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